新高考2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破精練第16講指對(duì)混合問題教師版

第16講指對(duì)混合問題一．選擇題（共12小題）1．（2021秋?龍鳳區(qū)校級(jí)月考）已知，不等式對(duì)于任意恒成立，則的取值范圍是A．， B．， C． D．，【解答】解：不等式對(duì)于任意恒成立，則①對(duì)于任意恒成立，令，則在時(shí)恒成立，因?yàn)樵诤愠闪?，故在上單調(diào)遞增，而，故①式即為在上恒成立，即②在上恒成立，令，，令得，當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故（e），要使②式成立，只需，即．故選：．2．（2021秋?江西月考）對(duì)任意，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．， C．， D．，【解答】解：因?yàn)閷?duì)任意，，不等式恒成立，所以對(duì)任意，，不等式恒成立，令，，，，，，令，，，，在，上單調(diào)遞增，所以且，當(dāng)時(shí)，，所以存在，，，即，所以，所以在，上，，單調(diào)遞減，在，上，，單調(diào)遞增，所以的最小值為，，，所以單調(diào)遞增，所以，所以，所以在，上，，單調(diào)遞增，所以，所以，故選：．3．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）已知對(duì)任意的，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：由題意，當(dāng)?shù)仁綄?duì)恒成立，即對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，則有對(duì)恒成立，又，令，則，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增，所以（1），即，故在上單調(diào)遞增，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以的最小值為（e），則，所以正數(shù)的取值范圍是．故選：．4．（2021春?東至縣校級(jí)期中）若對(duì)任意，不等式恒成立，則的范圍是A． B．， C．， D．【解答】解：由題意可得：，，由可得，即，令，可得，由可得，由可得，如圖：可得在單調(diào)遞增，若，則，可得，令，只需要，對(duì)于恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，實(shí)數(shù)的范圍為，，故選：．5．（2021?蘇州模擬）已知函數(shù)，，函數(shù)，若，對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C． D．【解答】解：，對(duì)恒成立，即，化為：，令，，，，可得時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，（1），恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，，即，令，，，可得時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值．．故選：．6．（2021?九江二模）若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：不等式恒成立，令，則原不等式等價(jià)于恒成立．在上單調(diào)遞增，，令，則，可得：時(shí)函數(shù)取得極小值，即最小值．（1）．，令，．．（e），時(shí)，，在上單調(diào)遞增；時(shí)，，在上單調(diào)遞減．（e）．實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故選：．7．（2021?四川模擬）若，則的最大值為A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)?，，，所以，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，，則恒成立，所以，令，，令，得，當(dāng)，，單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增，所以（1），所以，解得，所以的最大值為．故選：．8．（2021?遵義一模），不等式恒成立，則的最大值為A． B．0 C． D．【解答】解：原不等式可化為，構(gòu)造，，令，可得，時(shí)，，時(shí)，，所以是函數(shù)的最小值，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，有零點(diǎn)，所以．故選：．9．（2021?湖北模擬）已知函數(shù)，若，時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：令，，，則恒成立，，令，若，在，時(shí)，，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則（1），不符合題意；若，，令，解得，①當(dāng)，即時(shí)，在，時(shí)，，單調(diào)遞增，即（1），則，即在，單調(diào)遞增，則（1）恒成立，符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，在，時(shí)，單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增，（1），則，時(shí)，，，令，得，函數(shù)中，，在上單調(diào)遞減，則的值域?yàn)?，因?yàn)?，所以存在解，即，，故，時(shí)，，，時(shí)，，即，只需即可，則，解得，故符合題意．綜上，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立．故選：．10．（2021春?淇濱區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：由題意，若顯然不是恒大于零，故．（由4個(gè)選項(xiàng)也是顯然，可得，則顯然在，上恒成立；當(dāng)時(shí)，，令，，在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，，所以，即，再設(shè)，令，則，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，所以的取值范圍為．故選：．11．（2021?浙江模擬）已知函數(shù)，若，時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解答】解：由，且恒成立，得恒成立，即在，上恒成立．令，則．令，則，則在，上單調(diào)遞減，（3），（4），存在，使得，即，，當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，即，單調(diào)遞減．，又，，則，即．．，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，．故選：．12．（2020?珠海三模）設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．， C． D．，【解答】解：求導(dǎo)得有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有一個(gè)不等于1的零點(diǎn)，分離參數(shù)得，令，在遞減，在遞增，顯然在取得最小值，作的圖象，并作的圖象，注意到，，（原定義域，這里為方便討論，考慮，當(dāng)時(shí)，直線與只有一個(gè)交點(diǎn)即只有一個(gè)零點(diǎn)（該零點(diǎn)值大于；當(dāng)時(shí)在兩側(cè)附近同號(hào)，不是極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)（其中一個(gè)零點(diǎn)等于，但此時(shí)在兩側(cè)附近同號(hào)，使得不是極值點(diǎn)不合．故選：．二．多選題（共3小題）13．（2021?沈河區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知函數(shù)，，則A．函數(shù)在上無極值點(diǎn) B．函數(shù)在上不存在極值點(diǎn) C．若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值 D．若，則的最大值為【解答】解：對(duì)于，則，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故，故在遞增，故函數(shù)在上無極值點(diǎn)，故正確；對(duì)于，，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故（1），故在遞增，函數(shù)在上無極值點(diǎn)，故正確；對(duì)于：由得：在遞增，不等式恒成立，則恒成立，故，設(shè)，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，故（e），故，故正確；對(duì)于：若，則，，，，且，時(shí)，，設(shè)，設(shè)，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，故（e），此時(shí)，故的最大值是，故正確；故選：．14．（2021?黃州區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，的圖象與直線分別交于、兩點(diǎn)，則A． B．，曲線在處的切線總與曲線在處的切線相交 C．的最小值為1 D．，使得曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線【解答】解：對(duì)于，恒成立，要使函數(shù)與有交點(diǎn)，則，即正確；對(duì)于，設(shè)，的橫坐標(biāo)分別為，，取，此時(shí)，，，，，，，（1），此時(shí)曲線在處的切線與曲線在處的切線斜率相等，兩條切線不相交，即錯(cuò)誤；對(duì)于，，設(shè)，，則在上單調(diào)遞增，（1），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，（1），的最小值為1，即選項(xiàng)正確；對(duì)于，函數(shù)在處的切線方程為，若此切線也是的切線，設(shè)切點(diǎn)為，，則，消去，得，設(shè)，，，（2），至少有兩個(gè)零點(diǎn)，有解，故的值存在，且大于0，即選項(xiàng)正確．故選：．15．（2021?重慶模擬）函數(shù)為常數(shù)）的圖象可能是A． B． C． D．【解答】解：令，解得，即函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故不可能，，令，則，令，則，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，令，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最小值，為，即，，且時(shí)，，時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，選項(xiàng)可能，當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)零點(diǎn)，，且，在和，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，選項(xiàng)可能，當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn)，且，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，選項(xiàng)可能，故選：．三．填空題（共8小題）16．（2021秋?資中縣校級(jí)月考）已知，若不等式（2）對(duì)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解答】解：函數(shù)，，因?yàn)?，所以為上的偶函?shù)，又因?yàn)?，，所以，在上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，，所以在區(qū)間，單調(diào)遞增，不等式（2），由偶函數(shù)性質(zhì)可得（2），即（2），由函數(shù)的單調(diào)性可得，所以，所以，，恒成立，令，則，當(dāng)，時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取極大值，即為的最大值，；令，，因?yàn)椋?，所以，故，所以在區(qū)間，單調(diào)遞減，所以在處取最小值，，所以，所以的取值范圍為．故答案為：．17．（2021春?浙江期中）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，，則的取值范圍是，若，則的取值范圍是．【解答】解：函數(shù)，則，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同極值點(diǎn)，，則當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，所以，解得，故的取值范圍是；因?yàn)?，所以，，所以，令，故，則，所以，則在上單調(diào)遞增，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以的取值范圍是．故答案為：；．18．（2021春?江西期中）若對(duì)任意，恒有為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)的最小值為1．【解答】解：因?yàn)閷?duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，令，則，，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以（1），故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)閷?duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，所以對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，令，則，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故（e），則，所以實(shí)數(shù)的最小值為1．故答案為：1．19．（2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知函數(shù)，若函數(shù)有唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【解答】解：函數(shù)的定義域是，．函數(shù)有唯一極值點(diǎn)，則是函數(shù)的唯一一個(gè)極值點(diǎn)．是導(dǎo)函數(shù)的唯一根．在無變號(hào)零點(diǎn)，令，，①時(shí)，恒成立．在時(shí)單調(diào)遞增的的最小值為，無解，符合題意．②時(shí)，有解為：，時(shí)，，單調(diào)遞減時(shí)，，單調(diào)遞增的最小值為，由和圖象，它們切于，綜上所述，．故答案為：，．20．（2021春?南陽(yáng)期末）若，不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解答】解：設(shè)，求導(dǎo)可得，在單調(diào)遞增，，，，，，，，，，，又在單調(diào)遞增，，即，，，設(shè)，，求導(dǎo)可得，令，解得，，解得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在取得極小值點(diǎn)，也為的最小值點(diǎn)，（e），即，可得則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．21．（2021春?萊州市期末）已知函數(shù)，，若，則的最大值是．【解答】解：設(shè)，則，，所以；構(gòu)造函數(shù)，；又因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，最大值為（2）；故答案為：．22．（2021春?上高縣校級(jí)月考）已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最小值為．【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又（1），所以時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，同時(shí)注意到，所以若存在，，使得成立，則且，所以，所以，所以構(gòu)造函數(shù)，而，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即．故答案為：．23．（2021?茂名模擬）已知，，，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【解答】解：恒成立恒成立恒成立，令，則，再令，則恒成立，在上單調(diào)遞增，又（1）（1），當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增；（1），，解得：，故答案為：，．四．解答題（共11小題）24．（2021秋?南明區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)函數(shù)有極大值，且極大值為時(shí)，恒成立．【解答】解：（1），，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得極大值，函數(shù)的極大值為，，．令，要證明恒成立，只需．在上為減函數(shù)，且，（1），，，使得，即，①恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），②由①②得，，，（理由是：在上為增函數(shù)），即，故結(jié)論成立．25．（2021秋?金安區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)（其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【解答】解：（1）由題意知，，當(dāng)時(shí)，由得，，，①若，即時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增；②若，即時(shí)，易得在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)道減；③若，即時(shí)，易得在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由題意知，對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，令，則，令，則在上顯然單調(diào)遞減，又（1），（e），故在上有唯一的實(shí)根，不妨設(shè)該實(shí)根為，則為的極大值點(diǎn)，故，又，代入上式得，故的取值范圍為．26．（2021秋?巴中月考）已知，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（1）因?yàn)?，則，①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)且時(shí)，恒成立，即對(duì)于恒成立，等價(jià)于對(duì)于恒成立，令，則問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于恒成立，因?yàn)閷?duì)于恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則對(duì)于恒成立，等價(jià)于對(duì)于恒成立，故對(duì)于恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值（1），則，所以的取值范圍為．27．（2021秋?湖北月考）（1）已知函數(shù)，求證：；（2）若函數(shù)在，上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）證明：．（1分）因?yàn)?，所以，，所以，所以在，上為減函數(shù)，（3分）于是（1），（e），故．（4分）（2）解：設(shè)，則，從而在，上為增函數(shù)，由，得（1）（e），即．（5分）當(dāng)時(shí)，，則，從而，因?yàn)楹瘮?shù)在，上為減函數(shù)，所以，即對(duì)，恒成立，即對(duì)，恒成立，根據(jù)（1），，所以，再結(jié)合，此時(shí)，．（7分）當(dāng)時(shí)，，則，從而，因?yàn)楹瘮?shù)在，上為減函數(shù)，所以，即對(duì)，恒成立，即對(duì)，恒成立，根據(jù)（1），，所以．再結(jié)合，此時(shí)．（9分）當(dāng)時(shí)，則存在唯一的，使得，從而．當(dāng)，時(shí)，，即存在，，且，使得，這與“在，上為減函數(shù)”矛盾，此時(shí)不合題意．（11分）綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．（12分）28．（2021秋?重慶月考）已知函數(shù)有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，，，且．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求的最大值．【解答】解：（1），，由題意，，則或，所以有兩個(gè)等于1的正實(shí)根，令，則，即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因?yàn)椋?），，，所以，的取值范圍為；（2）由題意可知，有三個(gè)極值點(diǎn)，，所以可轉(zhuǎn)化為，由單調(diào)性可知，隨著的增大，逐漸減小，而逐漸增大，令，當(dāng)取最大，取最小值時(shí)，取最大值，所以，所以，則，所以，令，則，令，，當(dāng)，，單調(diào)遞增，（1），所以，所以，，單調(diào)遞增，因?yàn)椋?），所以，所以的最大值為3．29．（2021秋?龍巖月考）已知函數(shù)且為常數(shù)）．（Ⅰ）討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（Ⅱ）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由題設(shè)知：的定義域?yàn)?，，令，在上恒成立，函?shù)在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)?，①?dāng)時(shí)，在上恒成立，即，故在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，方程有唯一解為，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，沒有極大值點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有1個(gè)極值點(diǎn)；（Ⅱ）不等式對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，對(duì)任意的恒成立記，則，記，則，易知在上恒成立，在上單調(diào)遞增，且，（1），存在，使得，且當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，即，故在，上單調(diào)遞增，，即，又，故，即，即，由（Ⅰ）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，．30．（2021春?浦城縣期中）已知函數(shù)，，．（1）寫出函數(shù)在，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)，記的最大值為，證明：．【解答】（1）解：在，上有唯一零點(diǎn)．證明如下：由，得，，，在，上單調(diào)遞減，又（1），在，上恒成立，則在，上單調(diào)遞減，（2），（e），函數(shù)在，上有唯一零點(diǎn)；（2）證明：令，得，，由（1）可知，在，上有唯一零點(diǎn)，且在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，的最大值．下面再證明．一方面（2）；另一方面，要證，即證，又，則只需證明，記，則，由（1）可知在上恒成立，在上單調(diào)遞減，即（2）．綜上所述，．31．（2021春?東城區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)，其中為常數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）若在區(qū)間，上的最大值為，求的值；（3）求證：．【解答】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，取得最大值（1），所以當(dāng)時(shí)，求的最大值為；（2）解：函數(shù)，則，，，，①若，則，所以在，上單調(diào)遞增，故（e），不符合題意；②若，令，可得，結(jié)合，，解得；令，可得，結(jié)合，，解得，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在，上為單調(diào)遞減函數(shù)，則，令，可得，解得，因?yàn)椋苑项}意，故的值為；（3）證明：函數(shù)，，要證，即證，令，則，所以恒成立，故在上