中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國(guó)通用）：專題26 特殊的平行四邊形-正方形（解析版）

專題26特殊的平行四邊形-正方形【考查題型】【知識(shí)要點(diǎn)】正方形的定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.

正方形的性質(zhì)：1）正方形具有平行四邊形和菱形的所有性質(zhì)。2）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等。3）正方形對(duì)邊平行且相等。4）正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線平分對(duì)角；

5）正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；

6）正方形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形.正方形的判定：1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；2）對(duì)角線相等的菱形是正方形；3）一組鄰邊相等的矩形是正方形；4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；5）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；6）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.正方形的面積公式：邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)＝×對(duì)角線×對(duì)角線考查題型一利用正方形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)典例1．（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）“方勝”是中國(guó)古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個(gè)全等正方形相疊組成，寓意是同心吉祥．如圖，將邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD沿對(duì)角線BD方向平移1cm得到正方形，形成一個(gè)“方勝”圖案，則點(diǎn)D，之間的距離為（

）A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm【答案】D【分析】先求出BD，再根據(jù)平移性質(zhì)求得=1cm，然后由求解即可．【詳解】解：由題意，BD=cm，由平移性質(zhì)得=1cm，∴點(diǎn)D，之間的距離為==（）cm，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平移性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，熟練掌握平移性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．變式1-1．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，O為正方形對(duì)角線的中點(diǎn)，為等邊三角形．若，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再利用等邊三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【詳解】在正方形中：，∴，∵O為正方形對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，∵為等邊三角形,O為的中點(diǎn)，∴，，∴,∴,故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．變式1-2．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，以AC為邊作第2個(gè)正方形ACEF，再以CF為邊作第3個(gè)正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第6個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（）A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理得出正方形的對(duì)角線是邊長(zhǎng)的，第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1，其對(duì)角線長(zhǎng)為；第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，其對(duì)角線長(zhǎng)為；第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，其對(duì)角線長(zhǎng)為；???；第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為．所以，第6個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．【詳解】解：由題知，第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得，第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得，第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得，第4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得，第5個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得，第6個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，根據(jù)勾股定理找到正方形邊長(zhǎng)之間的倍關(guān)系是解題的關(guān)鍵．變式1-3．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】連接CF、CG、AE，證可得，當(dāng)A、E、F、C四點(diǎn)共線時(shí)，即得最小值；【詳解】解：如圖，連接CF、CG、AE，∵∴在和中，∵∴∴∴當(dāng)時(shí)，最小，∴d1＋d2＋d3的最小值為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的全等證明，正確構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．變式1-4．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外側(cè)作正方形，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)A分別作AG⊥BC于點(diǎn)G，AH⊥DF于點(diǎn)H，可得四邊形AGFH是矩形，從而得到FH=AG，再由△ABC為等邊三角形，可得∠BAG=30°，BG=1，從而得到，再證得∠DAH=∠BAG=30°，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A分別作AG⊥BC于點(diǎn)G，AH⊥DF于點(diǎn)H，∵DF⊥BC，∴∠GFH=∠AHF=∠AGF=90°，∴四邊形AGFH是矩形，∴FH=AG，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，BC=AB=2，∴∠BAG=30°，BG=1，∴，∴，在正方形ABED中，AD=AB=2，∠BAD=90°，∴∠DAH=∠BAG=30°，∴，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形和正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形和正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1-5．（2022·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，HG垂直平分AE且分別交AE、BC于點(diǎn)H、G，則BG＝________．【答案】1【分析】連接AG，EG，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得AG=EG，由點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，得CE=4，設(shè)BG=x，則CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可．【詳解】解：連接AG，EG，如圖，∵HG垂直平分AE，∴AG=EG，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴CE=4，設(shè)BG=x，則CG=8-x，由勾股定理，得EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2，∴（8-x）2+42=82+x2，解得：x=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理及其運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．變式1-6．（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，，則___________；若的面積等于1，則的值是___________．【答案】

60

【分析】由正方形的性質(zhì)證明，即可得到，再由可得，即可求出．設(shè)，表示出的面積，解方程即可．【詳解】∵正方形∴，∵∴（HL）∴，∵，∴∴設(shè)∴∴∵的面積等于1∴，解得，（舍去）∴故答案為：60；．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．變式1-7．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形活動(dòng)框架（邊框粗細(xì)忽略不計(jì)）扭動(dòng)成四邊形，對(duì)角線是兩根橡皮筋，其拉伸長(zhǎng)度達(dá)到時(shí)才會(huì)斷裂．若，則橡皮筋_____斷裂（填“會(huì)”或“不會(huì)”，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】不會(huì)【分析】設(shè)扭動(dòng)后對(duì)角線的交點(diǎn)為，根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出扭動(dòng)后的四邊形為菱形，利用菱形的性質(zhì)及條件，得出為等邊三角形，利用勾股定理算出，從而得到，再比較即可判斷．【詳解】解：設(shè)扭動(dòng)后對(duì)角線的交點(diǎn)為，如下圖：，根據(jù)正方形的性質(zhì)得，得出扭動(dòng)后的四邊形四邊相等為菱形，cm，為等邊三角形，cm，cm，cm，根據(jù)菱形的對(duì)角線的性質(zhì)：(cm)，，不會(huì)斷裂，故答案為：不會(huì)．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、等邊三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是要掌握菱形的判定及性質(zhì)．變式1-8．（2022·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A、F分別在正方形BMGH的邊BH、GH上．若正方形BMGH的邊長(zhǎng)為6，則正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】4【分析】連接，根據(jù)正六邊形的特點(diǎn)可得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖，連接，正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A、F分別在正方形BMGH的邊BH、GH上正六邊形每個(gè)內(nèi)角為，直線為對(duì)稱軸，AB=AF則則，正方形BMGH的邊長(zhǎng)為6，設(shè)，則AF=2x，所以解得故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式1-9．（2022·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，且四邊形BEDF為正方形．(1)求證；(2)已知平行四邊形ABCD的面積為，．求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）直接根據(jù)已知條件證明和全等即可得出答案．（2）由平行四邊形的面積公式求出，然后即可得出答案．【詳解】（1）四邊形是正方形，是平行四邊形，，，，在和中，，，；（2）由題意可知：，，，，，由（1）得．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并能靈活運(yùn)用．考查題型二利用正方形的性質(zhì)求面積典例2．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，和交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn)（不與，重合），交于點(diǎn)．以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓交直線于點(diǎn)，．若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得四邊形的面積等于正方形面積的一半，根據(jù)陰影部分面積等于半圓減去四邊形的面積和弓形的面積即可求解．【詳解】解：在正方形中，，的半徑為：過(guò)點(diǎn)，根據(jù)中心對(duì)稱可得四邊形的面積等于正方形面積的一半，又陰影部分面積為：故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，求扇形面積，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式2-1（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，以為直徑畫(huà)半圓，則陰影部分的面積是（

）A．9 B．6 C．3 D．12【答案】A【分析】設(shè)AC與半圓交于點(diǎn)E，半圓的圓心為O，連接BE，OE，證明BE=CE，得到弓形BE的面積=弓形CE的面積，則．【詳解】解：設(shè)AC與半圓交于點(diǎn)E，半圓的圓心為O，連接BE，OE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠OCE=45°，∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE=45°，∴∠EOC=90°，∴OE垂直平分BC，∴BE=CE，∴弓形BE的面積=弓形CE的面積，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求不規(guī)則圖形的面積，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式2-2．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到正方形，則它們的公共部分的面積等于（

）A．1﹣ B．1﹣ C． D．【答案】D【分析】此題只需把公共部分分割成兩個(gè)三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形全等，從而求得直角三角形的邊，再進(jìn)一步計(jì)算其面積．【詳解】設(shè)CD與B′C′相交于點(diǎn)O，連接OA．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠BAB′＝30°，則∠DAB′＝60°．在Rt△ADO和Rt△AB′O中，AD＝AB′，AO＝AO，∴Rt△ADO≌Rt△AB′O．∴∠OAD＝∠OAB′＝30°．設(shè)，則，又∵AD＝1，，即，解得：（不符合題意，舍），∴OD＝．∴公共部分的面積＝2×××1＝1×＝．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，直角三角形三角形全等的證明，勾股定理，作出輔助線求證Rt△ADO≌Rt△AB′O是解題的關(guān)鍵．變式2-3．（2021·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)．以C為圓心，2為半徑作圓弧，再分別以E、F為圓心，1為半徑作圓弧、，則圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π【答案】B【分析】根據(jù)題意和圖形，可知陰影部分的面積是以2為半徑的四分之一個(gè)圓（扇形）的面積減去以1為半徑的半圓（扇形）的面積再減去2個(gè)以邊長(zhǎng)為1的正方形的面積減去以1半徑的四分之一個(gè)圓（扇形）的面積，本題得以解決．【詳解】解：由題意可得，陰影部分的面積是：?π×22﹣﹣2（1×1﹣?π×12）＝π﹣2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用正方形的性質(zhì)，圓的面積公式（或扇形的面積公式），正方形的面積公式計(jì)算不規(guī)則幾何圖形的面積，解題的關(guān)鍵是理解題意，觀察圖形，合理分割，轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積和差進(jìn)行計(jì)算．變式2-4．（2022·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識(shí)地給出了勾股定理的證明.如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則______．【答案】3【分析】根據(jù)題意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，設(shè)AF=DE=CH=BG=x，結(jié)合圖形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，根據(jù)題意，設(shè)AF=DE=CH=BG=x，則AE=x-1，在Rt?AED中，，即，解得：x=4（負(fù)值已經(jīng)舍去），∴x-1=3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)，勾股定理解三角形，一元二次方程的應(yīng)用等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．變式2-5．（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)圖被稱為“弦圖”，它體現(xiàn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就．如圖，已知大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，那么__．【答案】##0.75【分析】根據(jù)兩個(gè)正方形的面積可得，，設(shè)，得到，由勾股定理得，解方程可得x的值，從而解決問(wèn)題．【詳解】解：∵大正方形ABCD的面積是100，∴．∵小正方形EFGH的面積是4，∴小正方形EFGH的邊長(zhǎng)為2，∴，設(shè)，則，由勾股定理得，，解得或（負(fù)值舍去），∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)等知識(shí)，利用勾股定理列方程求出AF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．考查題型三與正方形有關(guān)的折疊問(wèn)題典例3．（2022·貴州六盤(pán)水·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折，再對(duì)折，然后沿圖中虛線剪下，剪下的圖形展開(kāi)后可得到（

）A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五邊形【答案】C【分析】根據(jù)題意知，對(duì)折實(shí)際上就是對(duì)稱，對(duì)折兩次的話，剪下應(yīng)有4條邊，并且這4條邊還相等，從而可以進(jìn)行從題后的答案中選擇．【詳解】解：由題意知，對(duì)折實(shí)際上就是對(duì)稱，對(duì)折2次的話，剪下應(yīng)有4條邊，并且這4條邊還相等，且每個(gè)角等于90度，其只有正方形滿足這一條件．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了利用對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案以及菱形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)折實(shí)際上就是軸對(duì)稱性質(zhì)的運(yùn)用進(jìn)行解答．也可動(dòng)手折紙求解．變式3-1．（2021·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E為BC邊上一點(diǎn)，BE＝1.將正方形沿GF折疊，使點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合，連接AF，EF，GE，則四邊形AGEF的面積為（

）A．2 B．2 C．6 D．5【答案】D【分析】作FH⊥AB于H，交AE于P，設(shè)AG=GE=x，在Rt△BGE中求出x，在Rt△ABE中求出AE，再證明△ABE≌△FHG，得到FG=AE，然后根據(jù)S四邊形AGEF=S△AGF+S△EGF求解即可【詳解】解：作FH⊥AB于H，交AE于P，則四邊形ADFH是矩形，由折疊的性質(zhì)可知，AG=GE，AE⊥GF，AO=EO．設(shè)AG=GE=x，則BG=3-x，在Rt△BGE中，∵BE2+BG2=GE2，∴12+(3-x)2=x2，∴x=．在Rt△ABE中，∵AB2+BE2=AE2，∴32+12=AE2，∴AE=．∵∠HAP+∠APH=90°，∠OFP+∠OPF=90°，∠APH=∠OPF，∴∠HAP=∠OFP，∵四邊形ADFH是矩形，∴AB=AD=HF．在△ABE和△FHG中，，∴△ABE≌△FHG，∴FG=AE=，∴S四邊形AGEF=S△AGF+S△EGF=====5．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．變式3-2．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將正方形沿折疊，得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)P，若，則的長(zhǎng)度為_(kāi)__________．【答案】2【分析】連接AP，根據(jù)正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)證明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，設(shè)PF＝PD＝x，則CP＝CD?PD＝6?x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題．【詳解】解：連接AP，如圖所示，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝AB＝3，由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，在Rt△AFP和Rt△ADP中，，∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），∴PF＝PD，設(shè)PF＝PD＝x，則CP＝CD?PD＝6?x，EP＝EF＋FP＝3＋x，在Rt△PEC中，根據(jù)勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，∴（3＋x）2＝32＋（6?x）2，解得x＝2，則DP的長(zhǎng)度為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．變式3-3．（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將△CDE沿CE翻折得△CME，點(diǎn)M落在四邊形ABCE內(nèi)．點(diǎn)N為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作NP//EM交MC于點(diǎn)P，則MN+NP的最小值為_(kāi)_______．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值為MF的長(zhǎng)，證明四邊形DEMG為菱形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】解：作點(diǎn)P關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)P′，由折疊的性質(zhì)知CE是∠DCM的平分線，∴點(diǎn)P′在CD上，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥CD于F，交CE于點(diǎn)G，∵M(jìn)N+NP=MN+NP′≤MF，∴MN+NP的最小值為MF的長(zhǎng)，

連接DG，DM，由折疊的性質(zhì)知CE為線段DM的垂直平分線，∵AD=CD=2，DE=1，∴CE==，∵CE×DO=CD×DE，

∴DO=，∴EO=，∵M(jìn)F⊥CD，∠EDC=90°，∴DE∥MF，∴∠EDO=∠GMO，

∵CE為線段DM的垂直平分線，∴DO=OM，∠DOE=∠MOG=90°，∴△DOE≌△MOG，∴DE=GM，∴四邊形DEMG為平行四邊形，

∵∠MOG=90°，∴四邊形DEMG為菱形，∴EG=2OE=，GM=DE=1，∴CG=，∵DE∥MF，即DE∥GF，∴△CFG∽△CDE，∴，即，

∴FG=，∴MF=1+=，∴MN+NP的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對(duì)稱在解決線段和最小的問(wèn)題，熟悉對(duì)稱點(diǎn)的運(yùn)用和畫(huà)法，知道何時(shí)線段和最小，會(huì)運(yùn)用勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)求線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．變式3-4．（2021·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片折疊（），使落在上，為折痕，然后將矩形紙片展開(kāi)鋪在一個(gè)平面上，E點(diǎn)不動(dòng)，將邊折起，使點(diǎn)B落在上的點(diǎn)G處，連接，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，證明，從而，又因?yàn)椋肭蠼饧纯桑驹斀狻拷猓骸咚倪呅问蔷匦?，∴,,,且四邊形是正方形，∴，∴，又∵，∴，∴又∵（折疊，∴，,，設(shè),則，∴，又∵是正方形對(duì)角線，∴，∴，∴，∴，解得：，即，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定，三角形全等等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意找到等量關(guān)系轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．考查題型四添加一個(gè)條件使四邊形是正方形典例4．（2021·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)四邊形順次添加下列中的三個(gè)條件便得到正方形：a.兩組對(duì)邊分別相等

b.一組對(duì)邊平行且相等c.一組鄰邊相等

d.一個(gè)角是直角順次添加的條件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c則正確的是：（

）A．僅① B．僅③ C．①② D．②③【答案】C【分析】根據(jù)題意及正方形的判定定理可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：①由兩組對(duì)邊分別相等可得該四邊形是平行四邊形，添加一組鄰邊相等可得該四邊形是菱形，再添加一個(gè)角是直角則可得該四邊形是正方形；正確，故符合題意；②由一組對(duì)邊平行且相等可得該四邊形是平行四邊形，添加一個(gè)角是直角可得該四邊形是矩形，再添加一組鄰邊相等則可得該四邊形是正方形；正確，故符合題意；③a、b都為平行四邊形的判定定理，故不能判定該四邊形是正方形，故錯(cuò)誤，不符合題意；∴正確的有①②；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的判定，熟練掌握正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．變式4-1．（2021·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件______，使矩形是正方形．【答案】AC⊥BD（答案不唯一）【分析】根據(jù)正方形的判定定理可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴根據(jù)“一組鄰邊相等的矩形是正方形”可添加：或或或，根據(jù)“對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形”可添加：AC⊥BD，故答案為AC⊥BD（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的判定定理，熟練掌握正方形的判定是解題的關(guān)鍵．考查題型五與正方形有關(guān)的證明典例5．（2022·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，在對(duì)角線上，且，．求證：四邊形是正方形．【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】菱形的兩條對(duì)角線相互垂直且平分，再根據(jù)兩條對(duì)角線相互垂直平分且相等的四邊形是正方形即可證明四邊形AECF是正方形．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是菱形∴OA=OC，OB=OD且AC⊥BD，又∵BE=DF∴OB-BE=OD-DF即OE=OF∵OE=OA∴OA=OC=OE=OF且AC=EF又∵AC⊥EF∴四邊形DEBF是正方形．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)和正方形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握上述知識(shí)．變式5-1．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的角平分線，，，垂足分別是E、F，連接，與相交千點(diǎn)H．（1）求證：；（2）滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）滿足∠BAC=90°時(shí)，四邊形是正方形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的的性質(zhì)定理證得DE=DF，再根據(jù)HL定理證明△AED≌△AFD，則有AE=AF，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）只需證得四邊形AEDF是矩形即可，【詳解】解：（1）∵是的角平分線，，，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，又∵AD=AD，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，又是的角平分線，∴AD⊥EF；（2）滿足∠BAC=90°時(shí)，四邊形是正方形，理由：∵∠AED=∠AFD=90°，∠BAC=90°，∴四邊形AEDF是矩形，又∵AE=AF，∴四邊形AEDF是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的三線合一性質(zhì)、矩形的判定、正方形的判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)間的聯(lián)系和運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．變式5-2（2021·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）問(wèn)題解決：如圖1，在矩形中，點(diǎn)分別在邊上，于點(diǎn)．（1）求證：四邊形是正方形；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．類(lèi)比遷移：如圖2，在菱形中，點(diǎn)分別在邊上，與相交于點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．【答案】問(wèn)題解決：（1）見(jiàn)解析；（2）等腰三角形，理由見(jiàn)解析；類(lèi)比遷移：8【分析】問(wèn)題解決：（1）證明矩形ABCD是正方形，則只需證明一組鄰邊相等即可．結(jié)合和可知，再利用矩形的邊角性質(zhì)即可證明，即，即可求解；（2）由（1）中結(jié)論可知，再結(jié)合已知，即可證明，從而求得是等腰三角形；類(lèi)比遷移：由前面問(wèn)題的結(jié)論想到延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，結(jié)合菱形的性質(zhì)，可以得到，再結(jié)合已知可得等邊，最后利用線段BF長(zhǎng)度即可求解．【詳解】解：?jiǎn)栴}解決：（1）證明：如圖1，∵四邊形是矩形，．．．．又．∴矩形是正方形．（2）是等腰三角形．理由如下：，．又，即是等腰三角形．類(lèi)比遷移：如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接．∵四邊形是菱形，．．．又．是等邊三角形，，．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的證明、菱形的性質(zhì)、三角形全等的判斷與性質(zhì)等問(wèn)題，屬于中檔難度的幾何綜合題．理解題意并靈活運(yùn)用，做出輔助線構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．變式5-3．（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的角平分線交于點(diǎn)D，．（1）試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若，且，求四邊形的面積．【答案】（1）菱形，理由見(jiàn)解析；（2）4【分析】（1）根據(jù)DE∥AB，DF∥AC判定四邊形AFDE是平行四邊形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可證明；（2）根據(jù)∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根據(jù)對(duì)角線AD求出邊長(zhǎng)，再根據(jù)面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）四邊形AFDE是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AFDE是平行四邊形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四邊形AFDE是菱形；（2）∵∠BAC=90°，∴四邊形AFDE是正方形，∵AD=，∴AF=DF=DE=AE==2，∴四邊形AFDE的面積為2×2=4．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，正方形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握特殊四邊形的判定方法．考查題型六正方形性質(zhì)與判定綜合典例6．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，平分，分別交，于點(diǎn)，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是_________．（填序號(hào)即可）．【答案】①③④【分析】設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，證明∠CDF＝∠ECB，求出，可得①正確；根據(jù)平行線分線段成比例結(jié)合勾股定理求出，，，進(jìn)而求出可得②錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥DF于點(diǎn)Q，GP⊥EC于點(diǎn)P，用a表示出GM，GF，F(xiàn)N可得③正確；證明∠BEF＝∠HCD，求出，可得④正確．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥DF于點(diǎn)Q，GP⊥EC于點(diǎn)P，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∵AE＝EB＝a，BC＝2a，∴，∵DF⊥CE，∴∠CFD＝90°，∴∠ECB＋∠DCF＝90°，∵∠DCF＋∠CDF＝90°，∴∠CDF＝∠ECB，∴，故①正確，∵BECD，∴，∵，，∴，，，在Rt△CDF中，，CD＝2a，∴，，∴，∴，∵，∴，故②錯(cuò)誤；∵FM平分∠DFE，GQ⊥DF，GP⊥EC，∴GQ＝GP，∵，∴，∴，∴BG＝DG，∵DMBN，∴，∴GM＝GN，∵，∴，∴，∵∠GPF＝∠PFQ＝∠FQG＝90°，GP＝GQ，∴四邊形GPFQ是正方形，∴，過(guò)點(diǎn)N作NJ⊥CE于點(diǎn)J，設(shè)FJ＝NJ＝m，則CJ＝2m，∴，∴，∴，∴MG＝GN＝GF＋FN＝，∴MG：GF：FN＝，故③正確，∵，∴∠BEF＝∠HCD，∵，，∴，∴△BEF∽△HCD，故④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．變式6-1．（2021·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)O是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)F，連接、，交于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③；④為定值；⑤．以上結(jié)論正確的有________（填入正確的序號(hào)即可）．【答案】①②③⑤【分析】由題意易得∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，對(duì)于①：易知點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，然后可得∠AFP=∠ABD=45°，則問(wèn)題可判定；對(duì)于②：把△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，則有DE=BH，∠DAE=∠BAH，然后易得△AEF≌△AHF，則有HF=EF，則可判定；對(duì)于③：連接AC，在BP上截取BM=DP，連接AM，易得OB=OD，OP=OM，然后易證△AOP∽△ABF，進(jìn)而問(wèn)題可求解；對(duì)于④：過(guò)點(diǎn)A作AN⊥EF于點(diǎn)N，則由題意可得AN=AB，若△AEF的面積為定值，則EF為定值，進(jìn)而問(wèn)題可求解；對(duì)于⑤由③可得，進(jìn)而可得△APG∽△AFE，然后可得相似比為，最后根據(jù)相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，∴∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，①∵，∴由四邊形內(nèi)角和可得，∴點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，∴∠AFP=∠ABD=45°，∴△APF是等腰直角三角形，∴，故①正確；②把△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，如圖所示：∴DE=BH，∠DAE=∠BAH，∠HAE=90°，AH=AE，∴，∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴HF=EF，∵，∴，故②正確；③連接AC，在BP上截取BM=DP，連接AM，如圖所示：∵點(diǎn)O是對(duì)角線的中點(diǎn)，∴OB=OD，，∴OP=OM，△AOB是等腰直角三角形，∴，由①可得點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴△AOP∽△ABF，∴，∴，∵，∴，故③正確；④過(guò)點(diǎn)A作AN⊥EF于點(diǎn)N，如圖所示：由②可得∠AFB=∠AFN，∵∠ABF=∠ANF=90°，AF=AF，∴△ABF≌△ANF（AAS），∴AN=AB，若△AEF的面積為定值，則EF為定值，∵點(diǎn)P在線段上，∴的長(zhǎng)不可能為定值，故④錯(cuò)誤；⑤由③可得，∵∠AFB=∠AFN=∠APG，∠FAE=∠PAG，∴△APG∽△AFE，∴，∴，∴，∴，故⑤正確；綜上所述：以上結(jié)論正確的有①②③⑤；故答案為①②③⑤．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．變式6-2．（2021·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形外取一點(diǎn)，連接，，，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，若，．下列結(jié)論：①；②；③點(diǎn)到直線的距離為；④，其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_____．【答案】①②④【分析】利用同角的余角相等可得∠EDC=∠PDA，利用SAS可證明，可得①正確；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠APD=∠CED，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠DPE=∠DEP=45°，即可得出∠PEC=90°，可得②正確；過(guò)C作CF⊥DE，交DE的延長(zhǎng)線于F，利用勾股定理可求出CE的長(zhǎng)，根據(jù)△DEP是等腰直角三角形，可證△CEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出CF的長(zhǎng)，可得③錯(cuò)誤；④由③可知EF的長(zhǎng)，即可得出DF的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出CD的長(zhǎng)，即可求出正方形ABCD的面積，可得④正確，綜上即可得答案．【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，PD⊥DE，∴∠PDA+∠PDC=90°，∠EDC+∠PDC=90°，AD=CD，∴∠EDC=∠PDA，在△APD和△CED中，∴△APD≌△CED，故①正確，∴∠APD=∠DEC，∵DP=DE，∠PDE=90°，∴∠DPE=∠DEP=45°，∴∠APD=∠DEC=135°，∴∠PEC=∠DEC-∠DEP=90°，∴AE⊥CE，故②正確，如圖，過(guò)C作CF⊥DE，交DE的延長(zhǎng)線于F，∵，∠PDE=90°，∴PE=，∵，∠PEC=90°，∴CE==2，∵∠DEP=45°，∠PEC=90°，∴∠FEC=45°，∵∠EFC=90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CF=EF==，∴點(diǎn)到直線的距離為，故③錯(cuò)誤，∴DF=EF+DE=+1，∴CD2===，∴，故④正確，綜上所述：正確的結(jié)論有①②④，故答案為：①②④【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、正方形面積公式、勾股定理的運(yùn)用等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.變式6-3．（2021·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）若正方形的邊長(zhǎng)為2，則的周長(zhǎng)是______．（2）下列結(jié)論：①；②若是的中點(diǎn)，則；③連接，則為等腰直角三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是______（把你認(rèn)為所有正確的都填上）．【答案】

4

①③【分析】(1)將AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，F(xiàn)點(diǎn)落在G點(diǎn)處，證明，，進(jìn)而得到，即可求出