2021屆高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)：仿真模擬卷4

數(shù)學(xué)仿真模擬卷（四）

（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.設(shè)集合A={2,4},B={x^N|x—3<0},則AU3=（）

A.{1，2,3,4}B.{0,1,2,3,4）

C.{2}D.{x\x<4}

B［由集合8={xWN|x—3戌},化簡(jiǎn)可得8={0，1，2,3},

由.={2,4},.\AUB={0,1,2,3,4}.故選B.］

2.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)x,y兩變量的線性相關(guān)性作試驗(yàn)，并用

回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)「，如下表:

相關(guān)系數(shù)甲乙內(nèi)丁

r-0.820.780.690.87

則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性？（）

A.甲B.乙C.丙D.T

D［根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的意義可知，在驗(yàn)證兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系

時(shí)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1,相關(guān)性越強(qiáng)，在四位同學(xué)中，丁同學(xué)求得的

相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值最大，表明丁同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)

性.故選D.］

3.在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，點(diǎn)P（S，1）,將向量成繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方

7T—>

向旋轉(zhuǎn)5后得到向量則點(diǎn)。的坐標(biāo)是（）

A.（一也，1）B.（—1，也）

C.（f,1）D.（-1,小）

D［由P（小，1）,得《2cos/2sin］,

?.?將向量5>繞點(diǎn)0按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)］后得到向量員,

￡?2cos知）,2sin知））,

又cos仁+#一Si鏟兀sin|兀巫

166十2,=cos6=2，

.?.0(—1,小).故選D.]

f+l

4.%<1''是'卬x>0,

x方'的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

f+1—x-\-1^>2\x-^=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=J,即x=l時(shí)取等號(hào).

A[Vx>0,——

A?-T\1人A-

f+l

若4＜1時(shí)，則Vx＞0,>2>1><3,

X

『+1

因此“。＜1”是“Vx〉0,2a”的充分條件;

x

f+l口1I'X2+1

右Vx>0,―~-a9則好|min,即日2,推不出

X

%2+J

因此“。＜1”不是“v心＞0,1―三。'’的必要條件.

f+1

故是“Vx>0,x2a”的充分不必要條件.故選A.]

Y—cinV

5.函數(shù)/（x）=w=在[一兀，句上的圖象大致為（）

A

r

-7TITx

D

A[記g(x)=x—sinx,兀，兀],g'(x)=1—cosxNO,

.,.g(x)在［一兀，無(wú)］上單調(diào)遞增，又g(0)=0,

...當(dāng)XG［O，兀］時(shí)，g(x)Ng(O),即x-sinxK),

又丁+00,.,.當(dāng)回0,兀］時(shí)，沙,

故排除B,C,D.故選A.］

6.玉琮是中國(guó)古代玉器中重要的禮器，神人紋玉琮王是新石器時(shí)代良渚文

化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遺址.玉琮王通高8.8cm,

孔徑4.9cm、外徑17.6cm.琮體四面各琢刻一完整的獸面神人圖象.獸面的兩側(cè)

各淺浮雕鳥紋.器形呈扁矮的方柱體，內(nèi)圓外方，上下端為圓面的射，中心有一

上下垂直相透的圓孔.試估計(jì)該神人紋玉琮王的體積約為(單位：cm3)()

A.6250B.3050C.2850D.2350

D［由題可知，該神人紋玉琮王可看做是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為17.6cm,高為

8.8cm的正四棱柱中挖去一個(gè)底面直徑為4.9cm,高為8.8cm的圓柱，此時(shí)求得

體積記為V”

(49>2

口=(17.6)2x8.8—兀x(旬X8.8=2560cm3,

記該神人紋玉琮王的實(shí)際體積為V,則V<Vi,

、22

l…以”7.6、(4.9、'

且由題意可知，f1x(；—JX8.8—7rx(^—JX8.8^1974cm3,

故1974<V<2560,故選D.]

7.定義在R上的偶函數(shù)/(x)=2k1,記a=/(—ln3),b=f(log25),c

=/(2”，則()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<h<a

C「.V(x)=2kF—1為定義在R上的偶函數(shù)，

AVxGR,f(-%)=/(x),即2rm|-1=2\~x~m\~1,

/.VxGR,\x—m\—\—x—m\,即|x—/w|=|x+時(shí)恒成立,

/.VxGR,(x—機(jī))2=(尤+機(jī))2,即2mx=0恒成立，

2'—1,x>0

.,.m=0,.?./(x)=2|X|-1=，

2~x-1,x<0

.?./(x)在［0,+s)上單調(diào)遞增，

m

a=f(-In3)=/(In3),h=f(log25),c=f(2)=f(2°)=/(1),

Vl<ln3<2,log25>2,/.l<ln3<log25,

J/⑴</(ln3)</(log25),即”QG.故選C.］

8.如圖，已知拋物線C：產(chǎn)=2內(nèi)(/?>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)、P(xo,2小)(xo>§是

拋物線。上一點(diǎn).以P為圓心的圓與線段PF相交于點(diǎn)。，與過焦點(diǎn)尸且垂直于

對(duì)稱軸的直線交于點(diǎn)A,B,\AB\=\PQ\,直線尸產(chǎn)與拋物線C的另一交點(diǎn)為M,

若|PF|=V5|PQ,則解=()

A.1B.仍C.2D.小

B［由題意得|P「|=xo+m直線AB方程為：P到直線A3距離為xo

2

2’

???以P為圓心的圓與線段PF相交于點(diǎn)Q,與過焦點(diǎn)F且垂直于對(duì)稱軸的直

線交于點(diǎn)A,B,\AB\=\PQ\,

，陽(yáng)引=與次一身，

'：\PF\=y[3\PQ\,.*.xo+2=73-^^0—2，解得xo=當(dāng),

：.(2/y=2p彗,又p〉0,故p=2,

二拋物線方程為Y2=4X,P(3,2小),F(h0)

直線PQ方程為y=2佇/-1）=小x—木,

y2=4x

與拋物線方程聯(lián)立得

y=y/3x-yl3

消去y整理得，3x2—10x+3=0,解得x=g或3,

二叫，一苧），|FM|=1+|=|,小.故選B.]

3

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3

分）

9.已知雙曲線3一]=sin2。（*E,ZWZ）,則不因。改變而變化的是（）

A.焦距B.離心率

C.頂點(diǎn)坐標(biāo)D.漸近線方程

BD[整理雙曲線方程可得就兩一云斜=1，。=鬧而，

該雙曲線焦距為：2洞河,

A/6sin2^V6

離心率為:

2ylsid82

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2點(diǎn)而%,0）和（一2水泊仇0）,

漸近線方程為尸±5

不因。改變而變化的是離心率與漸近線方程.故選BD.]

10.下圖是《2018年全國(guó)教育事業(yè)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》中1949—2018年我國(guó)高

中階段在校生數(shù)條形圖和毛入學(xué)率的折線圖，根據(jù)下圖可知在1949-2018年

(

*

萬(wàn)5000100)

A450090

400080

350070

60

300050

250040

200030

150020

100010

500

0

19491965197819902000201020122015201620172018（年份）

高中階段在校生數(shù)和毛入學(xué)率

A.1978年我國(guó)高中階段的在校生數(shù)和毛入學(xué)率比建國(guó)初期大幅度提高

B.從1990年開始，我國(guó)高中階段的在校生數(shù)和毛入學(xué)率在逐年增高

C.2010年我國(guó)高中階段在校生數(shù)和毛入學(xué)率均達(dá)到了最高峰

D.2018年高中階段在校生數(shù)比2017年下降了約0.91%,而毛入學(xué)率提高

了0.5個(gè)百分點(diǎn)

AD［觀察條形圖和折線圖可知，

1978年我國(guó)高中階段的在校生數(shù)和毛入學(xué)率比建國(guó)初期大幅度提高，故A

正確；

2016年和2018年的高中階段在校生數(shù)都低于前一年，故B錯(cuò)誤；

2010年我國(guó)高中階段在校生數(shù)達(dá)到了最高峰，但是毛入學(xué)率均低于后續(xù)兒

年，故C錯(cuò)誤；

2018年高中階段在校生數(shù)為3935萬(wàn)人，2017年高中階段在校生數(shù)為3971

萬(wàn)人，2018年高中階段在校生數(shù)比2017年下降了約3吆97而1—3產(chǎn)935=0.91%,

2018年高中階段毛入學(xué)率為88.8%,2017年高中階段毛入學(xué)率為88.3%,

毛入學(xué)率提高了0.5個(gè)百分點(diǎn)，故D正確.］

11.已知函數(shù)/(x)對(duì)VxGR,滿足/(幻=一/(6—幻，/(x+l)=/(—x+l),

若/⑷=一/(2020),aS［5,9］且f(x)在［5,9］上為單調(diào)函數(shù)，則下列結(jié)論正確

的是()

A./(3)=0

B.。=8

C./(x)是周期為4的周期函數(shù)

D.的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱

AB「.ya)=—/(6—x),

.V(x)+/(6-x)=0,即y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,0)對(duì)稱，

令x=3得，f(3)=—/(3),

故/(3)=0,A正確；

?.y(x+l)=/(-x+l),

/./(x+l)=/(l—x),即y=/(九)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

/(x+l)=/(―尤+1)=-/［6-(-x+l)］=-/(5+x),

即/(x+4)=-/(九)，

(x+8)=—f(x+4)=/(x),

??./Q)是周期為8的周期函數(shù)，

：.f(2020)=/(252x8+4)=/(4)=-/(8),

V/(a)=-/(2020),

V(a)=f(8),

???ae［5,9］,且/(x)在［5,9］上為單調(diào)函數(shù)，

V⑷可⑻，

故。=8,故B正確；

假設(shè)/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

則/。+4)=/(x)，又/。+4)=—/(x),

：.f(x)=—f(x),即/(x)=0,

與尸㈤在［5,9］上為單調(diào)函數(shù)”矛盾，故假設(shè)不成立，C錯(cuò)誤；

,：f(3)=0,

.V(7)=-/(3)=0,

假設(shè)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，

則/(力+<(2—力=0,令尸1,得八1)+/⑴=0,即/(1)=0，

則/(5)=一/(D=0,即八5)可⑺,

與尸(幻在［5,9］上為單調(diào)函數(shù)”矛盾，故假設(shè)不成立，D錯(cuò)誤.

故選AB.］

12.如圖，點(diǎn)。是正四面體P-A8C底面A3C的中心，過點(diǎn)。的直線交AC,

BC于點(diǎn)M,N,S是棱PC上的點(diǎn)，平面SMN與棱出的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q,與

棱的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)七則下述正確的是()

s

c

A.若MN〃平面出8,則A3〃HQ

B.存在點(diǎn)S與直線MN,使PC,平面SRQ

C.存在點(diǎn)S與直線MN,使麗.（的+讀）=0

匕+已是常數(shù)

D.4+1

同II剛網(wǎng)

ABD［對(duì)于選項(xiàng)A,若MN〃平面%8,

?.?平面SMN與棱PA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q,與棱PB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R,

，平面SMNfl平面PAB=RQ,

又MNu平面SMN,MN〃平面雨8,，MN//RQ,

?.?點(diǎn)。在面A8C上，過點(diǎn)。的直線交AC,BC于點(diǎn)M,N,

:.MNu平面ABC,

又MN〃平面PAB,平面ABCA平面PAB=AB,

:.MN〃AB,：.AB//RQ,故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,

當(dāng)直線MN平行于直線AB,S為線段PC上靠近C的三等分點(diǎn)，即SC=|PC,

此時(shí)PC_L平面SR。，以下給出證明：

在正四面體P—ABC中，設(shè)各棱長(zhǎng)為“，

AAABC,APBC,△物C,△BIB均為正三角形，

?.?點(diǎn)O為△A3C的中心，MN//AB,

2

二由正三角形中的性質(zhì)，易得CN=CM=qa,

在ACNS中，

2171

\'CN=^a,SC=2a,/SCN=q,

?，.由余弦定理得，SN=\J倒+伶）一2,亨當(dāng)cos畀坐a,

4

SC2+SN2=/=CN2,貝1JSNA.PC,

同理，SM±PC,

又SMCSN=S,SMu平面SRQ,SNu平面SRQ,

，PC_L平面SRQ,

...存在點(diǎn)S與直線MN,使PUL平面SE0,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,假設(shè)存在點(diǎn)S與直線MN,使沌.（而+忒）=0,

設(shè)QR中點(diǎn)為K,則麗+成=2樂，

->-?II->->

:.PS工PK,即PC_LPK,

??,肅泰=用（萬(wàn)—或）=|附|閾cosNCPB—|附|閾cos/C/?4=0,

：.PCLAB,

又易知4?與PK為相交直線，A8與PK均在平面PQH上,

，PCJ_平面PQR,即PC_L平面附8,

與正四面體P-A8C相矛盾，所以假設(shè)不成立，

故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,

易知點(diǎn)。到面PBC,面出C,面以8的距離相等，記為d,

記PC與平面出8所處角的平面角為a,a為常數(shù)，

則sina也為常數(shù),

則點(diǎn)S至PQR的距離為PSsina,

又SAPQR=4哂|訟卜導(dǎo)乎同|剛,

|哂陶網(wǎng)sina,

軀卜閾sin畀季同園,

又SZX&R=R

胴H臥導(dǎo)由雨.雇

SAPSQ=

S^PQR—

2

VS-PQR—VO-PSR+VO-PSQ-VVO-PQR

=翔網(wǎng)同+同同1+同,網(wǎng))

占=呼為常數(shù)，故D正確.故選ABD.]

同同網(wǎng)"

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知復(fù)數(shù)黑是純虛數(shù)（i是虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)。的值為

1金.。-i=，-4皿，m?-i(?-'i)(2-i)2a~1,—2—a,

2「??復(fù)數(shù)式pe純虛數(shù)'且不=(2+i)(2—i)=5+―5-1'

.（用數(shù)字作答）

8-r,yr16Tr

112［通項(xiàng)公式為7；+尸舊=29&3

令，"=2,解得r=2,

，九2項(xiàng)的系數(shù)為22奠=112.]

15.已知函數(shù)/(x)=Asin(cox+9)(A>0,①>0,0<夕<無(wú))是偶函數(shù)，將y=/(x)

的圖象沿x軸向左平移,個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍

（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=g（x）.已知y=g（x）的圖象相鄰對(duì)稱中

心之間的距離為2兀，則⑦=，若y=g（x）的圖象在其某對(duì)稱軸處對(duì)應(yīng)的

函數(shù)值為-2,則g（x）在[0，兀]上的最大值為.（本題第一空2分，第二

空3分）

I小「.?函數(shù)/(x)=Asin3x+s)(A〉0,①>0,0<9<兀)是偶函數(shù),

兀

??killkez.

又0＜伊＜兀，

?兀

??9=5，

.*./a)=Asin("+1)=Acos(s),

:將y=/。)的圖象沿x軸向左平移,個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸

長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為＞=8(》)，

，g(x)=f修+翡Acos修+制,

???y=g(x)的圖象相鄰對(duì)稱中心之間的距離為2兀，

.,.^?—=2n,解得co=1,

2GJ

2

；y=g(x)的圖象在其某對(duì)稱軸處對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為-2,A＞Q,

=2,

..g(x)=2cosG+d)

當(dāng)回0,句時(shí),第,cos修+翡［T明

故g(x)=2cos仔+田e［-b?。?

.?.g(x)在［0，兀］上的最大值為小.］

16.定義函數(shù)/。)=口印］,其中［x］表示不超過*的最大整數(shù)，例如：［1.3］=

1,［―1.5］=—2,［2］=2.當(dāng)x《［0，〃)(〃WN*)時(shí)，/(x)的值域?yàn)锳”.記集合4中

20201

元素的個(gè)數(shù)為而，則x-4的值為

自3—1

第2019「.［x］表示不超過X的最大整數(shù),

.,.當(dāng)XW[O，〃)(〃GN*)時(shí),

0,xW[0.1)

㈤=<匕2),

<n—1,九一1，〃)

0,x^[0,1)

x,[1,2)

AxM=<7,

<(n—l)x,%e[n—Ln)

???號(hào)田]在各區(qū)間內(nèi)的元素個(gè)數(shù)為1，1，2,3,...,n-1,

"=1+1+2+3+…+(〃-l)=l+a+L?("T)=l+^^,

an—1〃(〃一1)

?,0.2019

,,La,—l-2Llz-li~2V2020尸1010」

i=2i=2

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟)

17.(本小題滿分10分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已

知向量機(jī)=(c—a,sinB),n—(b-a,sin>14-sinC),且加〃

⑴求C；

(2)若加c+38=3a,求sinA.

［解］⑴因?yàn)閙〃/z,

所以(c—a)(sinA+sinC)=(/?—tz)sinB,

由正弦定理得，(c—a)(a+c)=S—a)/?,

所以a2+b2—c2=ab,

由余弦定理得，cosC=-奇一=2ab=2'

因?yàn)镃W(0,7T),

故C=y

(2)由(1)知8=專一A,

因?yàn)閮?cè)c+3/?=3a,

由正弦定理得，,sinC+3sinB=3sinA,

所以cos,—%孚,

故sinA=sin(A—

.(兀),(.n\.7i

=sinlAA—]Icos2+coslA—gIsm2

^6+^2

4.

18.（本小題滿分12分）在①歷〃=2forH,②及=加+歷,③加,歷，兒成等

比數(shù)列，這三個(gè)條件中選擇符合題意的兩個(gè)條件，補(bǔ)充在下面的問題中，并求解.

已知數(shù)列｛〃〃｝中0=1,m+i=3z,公差不等于0的等差數(shù)列｛為｝滿足

,求數(shù)列拗的前〃項(xiàng)和S”.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

［解］因?yàn)閍i=l,an+\=3an,

所以｛?！ǎ且?為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

所以m=3"一|.

選①②時(shí)，

設(shè)數(shù)列｛兒｝公差為小

因?yàn)椤?=3,所以歷+在=3,

因?yàn)?"=25+1,所以”=1時(shí)，b2=2b\+l,

275

解得bi=1,bi=y所以d=5,

,,5〃一3

所rr以bn=Q

bn5n~3

所以〃

art=3

5n~~3

%一，“十G十…十Z一313〃⑴，

1?7125九一85〃一3..

所以尸?+于+?■+...+3〃+3d(")，

⑴-(ii),得：|s'=|+5件+*+…+/)5〃一3

3'計(jì)|

_25155〃-3

=3+6-2-3,,+,-3,,+|

3_10?+9

=/―2-3'/1'

u…910/1+9

所以S=W—4-3”?

選②③時(shí)，

設(shè)數(shù)列｛?。顬閐,

因?yàn)椤?=3,所以歷+歷=3,即2歷+d=3,

因?yàn)椤?,bl,4成等比數(shù)列，所以員=從歷，即(6+。)2=力31+31),

化簡(jiǎn)得d1=b\d,

因?yàn)榇?,所以從=d,從而d=bi=l,所以為=〃，

所以鋁券，

為吟+料…+**+抖奈十…十券⑴，

所以上"號(hào)+奈+奈+…+點(diǎn)"+令(甘)，

(i)—(ii),得:|s”=l+)+*+*+…+*-會(huì)

22?3"'

lli?92〃+3

所以s,=a一了

選①③時(shí)，

設(shè)數(shù)列｛兒｝公差為止

因?yàn)閎2?=lbn+\,

所以〃=1時(shí)，bi=2b\+l,

所以d=b\+\.

又因?yàn)闅v,又兒成等比數(shù)列，

所以叫=力匕4,即(h+")2=〃1(6+3"),

化簡(jiǎn)得招=歷"，

因?yàn)榇?,所以勿=d,從而無(wú)解，

所以等差數(shù)列｛d｝不存在，故不合題意.

19.(本小題滿分12分)如圖，在等腰直角三角形AOP中，NA=90。，AD=

3,B,C分別是AP,DP上的點(diǎn)，且8C〃AD,E,尸分別是AB,PC的中點(diǎn).現(xiàn)

將△P8C沿3c折起，得到四棱錐P-ABCD,連接EF

(1)證明：EF〃平面出。；

(2)是否存在點(diǎn)B,當(dāng)將△「灰：沿BC折起到PALAB時(shí)，二面角P-CD-E的

余弦值等于華？若存在，求出AB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

［解］(1)證明：作CM〃AB交于點(diǎn)M,連接PM,取PM中點(diǎn)N,連接

AN,FN,又AO〃BC,所以四邊形ABCM為平行四邊形，

由中位線定理得FN//CM,且FN=*M,

因?yàn)椤晔茿8的中點(diǎn)，

所以AE〃CM,且

故EN〃AE,且KV=AE,

所以四邊形AEKV是平行四邊形，

所以EF〃AN,

因?yàn)锳Nu平面出。，平面以。，

所以EF〃平面膽D.

(2)存在.

理由如下：

因?yàn)?C_L4B,BCLPB,^.ABf}PB=B,ABu平面%8,P8u平面以3,

所以BC，平面PAB,

又BC//AD,

所以AO_L平面PAB,

又Me平面PAB,

所以PALAD,

又ABU。，PALAB,

所以AB,AD,AP兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=a,則PB=BC=3-a,

由PB>AB,得0<a<|,PA=yl9~6a,

所以A(0,0,0),C(a,3~a,0),P(0,0,川9—6”),0(0,3,0),

所以皮=(a,-a,0),DP=(0,-3,^9-6a).

設(shè)平面PC。的一個(gè)法向量為〃=(尤，>,z),

DCn=ax-ay=O

則

DP-n=-3y+nj9-6〃=0

取y=l，

則〃*b忌;）

又平面COE的一個(gè)法向量m=（0,0,1）,

若存在點(diǎn)B,當(dāng)將△2小?沿BC折起到PALAB時(shí)，二面角P-CD-E的余弦

值等于華，

則有華=|cos（〃，機(jī)〉1=般

3

onVBy/9~6a

\J3-2a

解得a=l,即AB的長(zhǎng)為1.

故存在點(diǎn)B,此時(shí)AB的長(zhǎng)為1.

20.（本小題滿分12分）研究表明，肥胖人群有很大的心血管安全隱患.目

前國(guó)際上常用身體質(zhì)量指數(shù)（縮寫為BMI）來衡量人體胖瘦程度，其計(jì)算公式是

體重（單位：kg）

BM1=二產(chǎn):苗人區(qū).中國(guó)成人的BMI數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)為：BMK18.5為偏瘦；

身圖2（單位：nr）

18.5<BMI<24為正常；BM>24為偏胖.為了解某社區(qū)成年人的身體肥胖情況，

研究人員從該社區(qū)成年人中，采用分層隨機(jī)抽樣方法抽取了老年人、中年人、青

年人三類人中的45名男性、45名女性為樣本，測(cè)量了他們的身高和體重?cái)?shù)據(jù)，

計(jì)算得到他們的BMI值后數(shù)據(jù)分布如下表所示:

老年人中年人青年人

BMI標(biāo)準(zhǔn)

男女男女男女

BMK18.5331245

18.5<BMI<245757810

BMI>245410542

(1)從樣本中的老年人、中年人、青年人中各任取一人，求至少有1人偏胖

的概率；

(2)從該社區(qū)所有的成年人中，隨機(jī)選取3人，記其中偏胖的人數(shù)為X,根據(jù)

樣本數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)經(jīng)過調(diào)查研究，導(dǎo)致人體肥胖的原因主要取決于遺傳因素、飲食習(xí)慣、

體育鍛煉或其他因素四類情況中的一種或多種情況，調(diào)查該樣本中偏胖的成年人

導(dǎo)致偏胖的原因，整理數(shù)據(jù)得到如下表：

分類遺傳因素飲食習(xí)慣欠佳缺乏體育鍛煉其他因素

人次812164

請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)說明我們學(xué)生應(yīng)如何減少肥胖，防止心血管安全隱患的發(fā)

生，請(qǐng)至少說明2條措施.

［解］(1)設(shè)“在老年人中任取1人，這個(gè)人恰好為偏胖的老年人”為事件A,

“在中年人中任取1人，這個(gè)人恰好是偏胖的中年人”為事件8,

“在青年人中任取1人，這個(gè)人恰好是偏胖的青年人”為事件C,

則P(A)=W，P⑻焉=看尸(0=擊4，

事件A,B,?；ハ嗒?dú)立，則至少有一人偏胖的概率為：

-----———2198

1—P(ABC)=1~P(A)P(B)P(C)=1-p<2xlT=TT-

(2)在該社區(qū)成年人中，隨機(jī)選取1人，此人為偏胖的概率是3老0=不1

yuJ

由題意，X的所有可能取值為：0,1,2,3,

3

所以P(X=0)=C9x(L；)=捺

2

P(X=l)=dxgx(l—g)=/,

2

P(X=2)=C?xf|jx|=|,

P(X=3)=C啕弓,

所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X0123

8421

P

279927

842］

故E(X)=Ox^+1x9+2x-+3x—=1.

(3)答案不唯一，言之有理即可.

如可以從導(dǎo)致人偏胖的原因的人次來分析問題，參考答案如下：

由表可知，因飲食習(xí)慣欠佳導(dǎo)致人偏胖的人次占比為30%；因缺乏體育鍛煉

導(dǎo)致人偏胖的人次占比約為40%.

所以為減少肥胖，防止心血管安全隱患的發(fā)生，建議我們至少要采取以下2

種措施：

①加強(qiáng)體育鍛煉；②改善飲食習(xí)慣.

21.(本小題滿分12分)直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)i,尸2分別為橢圓C：，+$=

l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與。的

左右頂點(diǎn)不重合)，當(dāng)△PBB為等邊三角形時(shí)，SAPFIF2=4

(1)求橢圓。的方程；

(2)如圖，〃為AP的中點(diǎn)，直線M。交直線》=-4于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作OE//AP

交直線x=-4于點(diǎn)E,證明：NOEFi=/ODFi.

［解］(1)設(shè)橢圓C的半焦距為c,

因?yàn)椤鱌FF2是等邊三角形，

所以此時(shí)尸在上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)處，

所以a=2c,

又5A=小，

△PFIF2V

所以歷=小，

222

又由a=b+c9

解得。2=1,〃=4,b2=3.

故橢圓的方程為3+f=l.

(2)證明：由題意知A(2,0),

設(shè)AP的中點(diǎn)M(xo,>'()),P(xi,yi),直線AP的方程為y=Z(x—2),后0,

>=%(*—2)

將直線AP的方程與橢圓方程聯(lián)立得+q=],

消去y整理得，(4^+3)^-16^+16^-12=0,

I6P

所以如+2=赤三,

所以次=爵？*=K無(wú)。-2)=於弱，

即M的坐標(biāo)為Q磊,溫],

-6k

,,.4^+33

從而koM=一雙2-'=~4k'

必2+3

3

所以直線OM的方程為產(chǎn)一和，

令》=—4,得￡)(—4,%),

直線OE的方程為〉=區(qū)，

令x=-4,得E(~4,—4k).

—4"4"

法一：由回(一1，0),得kEFi=-j^=w，

所以ko\rkEFi=—1,

即。M_LEF1,記垂足為“，

因?yàn)椋?-7=—pkoE=kA=k,

DR—3k1P

所以O(shè)ELOFi,記垂足為G,

在直角三角形EH。和直角三角形。G。中,

NODFi和/OEQ都與NEQD互余，

所以NODR=NOMi.

法二：因?yàn)椤?一4,鳳一4,~4k),Fi(-1,0),

所以動(dòng)=(4,的，烯i=(3,4Z),虎=(4,一§,詬=(3,-1

▼…_>>、12+1633+4d

所以cosazEO,EFC=而西用次=/西幣猊'

d12+/3+4公

cos(DO,DF\)=-「內(nèi)-------/-；■=/■,5,

E卡"?e

所以cos(EO,EFl)=cos(DO,DFi),

(EO,EF\>=(DO,DF}),

所以NOOFi=NOER.

22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=21nx—f,g(x)=x+；

⑴設(shè)函數(shù)/(x)與g(x)有相同的極值點(diǎn)；

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

(ii)若對(duì)Vxi,%24，31，不等屋牛沁口恒成立，求實(shí)數(shù)人的取值范

圍.

(2)a=0時(shí)，設(shè)函數(shù)〃(%)=呼(力一sin(g(x))—1.試判斷力。)在(一兀，0)上零點(diǎn)的

個(gè)數(shù).

2(1—X2)

［解1(l)(i)/'(x)=、x，無(wú)>0，

由廣。)=0得x=l,

九e(0,1)時(shí)，/(x)〉o,/(x)單調(diào)遞增；xe(l,+00)時(shí)，f(x)<0,/(X)單調(diào)

遞減，

故x=1為/(x)唯一的極大值點(diǎn),

由題意，X=1也是g(x)的極值點(diǎn)，g，(x)=l-

由g'(l)=l—4=0得4=1，

1f-1

此時(shí)，gu)=i一點(diǎn)=一

尤w(0,1)時(shí)，