微專題數(shù)列之三由數(shù)列的前n-項(xiàng)和Sn求其通項(xiàng)公式

4/4微專題數(shù)列之三由數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn求其通項(xiàng)公式一、備考基礎(chǔ)——查清對(duì)于題目中給出和關(guān)系的，一定要注意公式的正用和逆用．已知Sn求an，常用的方法是利用an＝Sn－Sn－1（n≥2），將已知等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的遞推關(guān)系，再求數(shù)列的通項(xiàng)公式.要注意驗(yàn)證a1是否滿足an.二、熱點(diǎn)命題——悟通例1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－2n＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（）A.an＝2n－3B.an＝2n＋3C.an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－3，n≥2))D.an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n＋3，n≥2))[解析]當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1－2＋2＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(n2－2n＋2)－[(n－1)2－2(n－1)＋2]＝2n－3.又a1＝1不適合上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－3，n≥2.))變式訓(xùn)練：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n，第k（k∈N*）項(xiàng)滿足5<ak<8，則k＝（）A.7B.6C.9D.8[解析]當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1－9＝－8；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(n2－9n)－[(n－1)2－9(n－1)]＝2n－10.又a1＝－8適合上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－10.由第k項(xiàng)滿足5<ak<8，得5<2k－10<8，解得eq\f(15,2)<k<9,又因?yàn)閗∈N*，所以k＝8.例2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，且a1＝eq\f(1,2)，Sn＝n2an，n∈N*.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解：(1)Sn＝n2an，①當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝(n－1)2an－1，②①－②，得an＝n2an－(n－1)2an－1(n≥2，n∈N*)，∴(n＋1)an＝(n－1)an－1(n≥2，n∈N*)，即eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n＋1)(n≥2，n∈N*)，∴a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(2,4)×eq\f(3,5)×…×eq\f(n－1,n＋1)＝eq\f(1,n（n＋1）)，∴an＝eq\f(1,n（n＋1）)，n∈N*.例3．設(shè)數(shù)列滿足，求例4．（2013山東）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(Ⅱ)設(shè)數(shù)列滿足,求的前項(xiàng)和解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝8a1＋4d，,a1＋（2n－1）d＝2a1＋2（n－1）d＋1.))解得a1＝1，d＝2.因此an＝2n－1，n∈N*.(2)由已知eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)，n∈N*，當(dāng)n＝1時(shí)，eq\f(b1,a1)＝eq\f(1,2)；當(dāng)n≥2時(shí)，eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1)))＝eq\f(1,2n).所以eq\f(bn,an)＝eq\f(1,2n)，n∈N*.由(1)知an＝2n－1，n∈N*，所以bn＝eq\f(2n－1,2n)，n∈N*.又Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,22)＋eq\f(5,23)＋…＋eq\f(2n－1,2n)，eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(2n－3,2n)＋eq\f(2n－1,2n＋1)，兩式相減得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,22)＋\f(2,23)＋…＋\f(2,2n)))－eq\f(2n－1,2n＋1)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n－1)－eq\f(2n－1,2n＋1)，所以Tn＝3－eq\f(2n＋3,2n).三、遷移應(yīng)用——練透1.若數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________．[解析]由a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3，得a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2)·3n＋3，兩式相減，得an＝3n.2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(3n2－n,2)，n∈N*.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比數(shù)列.解：(1)由Sn＝eq\f(3n2－n,2)，得a1＝S1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，a1也符合上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－2.(2)證明：要使得a1，an，am成等比數(shù)列，只需要aeq\o\al(2,n)＝a1·am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，即m＝3n2－4n＋2.而此時(shí)m∈N*，且m＞n，所以對(duì)任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比數(shù)列．3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)和公比都是3的等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________________.解析：由已知可得Sn＝3n，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.當(dāng)n＝1時(shí)，2·3n－1＝2.所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2·3n－1，n≥2.))4.[2015·四川卷]設(shè)數(shù)列{an}(n＝1，2，3，…)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn.解：(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．從而a2＝2a1，a3＝2a2＝4又因?yàn)閍1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．故an＝2n.(2)由(1)得eq\f(1,an)＝eq\f(1,2n)，所以Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n)＝eq\f(\f(1,2)1－\f(1,2)n,1－\f(1,2))＝1－eq\f(1,2n).5.[2015·浙江卷]已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,3)b3＋…＋eq\f(1,n)bn＝bn＋1－1(n∈N*)．(1)求an與bn；(2)記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn.解：(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．由題意知，當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝b2－1，故b2＝2.當(dāng)n≥2時(shí)，eq\f(1,n)bn＝bn＋1－bn，整理得eq\f(bn＋1,n＋1)＝eq\f(bn,n)，所以bn＝n(n∈N*)．(2)由(1)知anbn＝n·2n，因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．6.[2015·湖北部分高中調(diào)研]已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1＝1，公差d>0，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且a2＝b1，a6＝b2，a18＝b3.(1)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)任意正整數(shù)n均有eq\f(c1,b1)＋eq\f(c2,b2)＋…＋eq\f(cn,bn)＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)，若m為正整數(shù)，求所有滿足不等式102<c1＋c2＋…＋cm<103的m的值．解：(1)由已知可知a2，a6，a18成等比數(shù)列，∴aeq\o\al(2,6)＝a2a18，即(a1＋5d)2＝(a1＋d)(a1＋17d)，8d2－8a1d＝∵d>0，a1＝1，∴a1＝d＝1，∴an＝n.由b1＝2，b2＝6，b3＝18，{bn}為等比數(shù)列，得bn＝2×3n－1.(2)∵eq\f(c1,b1)＋eq\f(c2,b2)＋…＋eq\f(cn,bn)＝eq\f(1,2)n2，∴當(dāng)n＝1時(shí)，eq\f(c1,b1)＝eq\f(1,2)，∴c1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，eq\f(c1,b1)＋…＋eq\f(cn－1,bn－1)＝eq\f(1,2)(n－1)2，∴cn＝(2n－1)·3n－1.易知當(dāng)n＝1時(shí)也滿足cn＝(2n－1)·3n－1，∴cn＝(2n－1)·3n－1.又cn＝(2n－1)·3n－1>0，c1＝1，c1＋c2＝10，c1＋c2＋c3＝55，c1＋c2＋c3＋c4＝244，c1＋c2＋c3＋c4＋c5＝973，c1＋c2＋c3＋c4＋c5＋c6＝3646，∴m＝4或5.7.[2015·廣東湛江調(diào)研]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an＋3n－12(n∈N*)．(1)試說(shuō)明數(shù)列{an－3}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝nan，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn.解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2a1＋3－12，∴a1＝當(dāng)n>1時(shí)，Sn－Sn－1＝an＝2an＋3n－12－2an－1－3(n－1)＋12＝2an－2an－1＋3，∴an－3＝2(an－1－3)，∴{an－3}是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an－3＝6×2n－1，∴an＝6×2n－1＋3.(2)bn＝nan＝6n×2n－1＋3n，∴Tn＝6×[1×20＋2×21＋3×22