2021年福建省南平市鎮(zhèn)前中學高三數(shù)學理聯(lián)考試卷含解析

2021年福建省南平市鎮(zhèn)前中學高三數(shù)學理聯(lián)考試卷含

解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.設<={x|x>0},E={x[x>D,則

硝"5=()

A{x|0<x<l}B.{x|0<xMl}c(x|x<0}D."lx)D

參考答案：

B

2.設函數(shù)的定義域為Z>,如果存在正實數(shù)k,對于任意xeD,都有X+twD,且

/(x+左)恒成立，則稱函數(shù)/(公為￡)上的“上型增函數(shù)”，已知函數(shù)/(x)是定義

在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，若/(x)為R上的“2014型增函

數(shù)”，則實數(shù)&的取值范圍是(▲)

A.a<-1007B.a<1007c.

10071007

a<------a<---------

3D.3

參考答案：

c

略

3.若f(x)=sin3x+acos2x在(0,兀)上存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是()

333

A.(0,2)B.(0,2]C.[2,+oo)D.(0,+oo)

參考答案：

D

【考點】三角函數(shù)的最值.

【分析】設t=sinx,由xe(0,兀)和正弦函數(shù)的性質求出t的范圍，將t代入f(x)后求

出函數(shù)的導數(shù)，求出臨界點，根據(jù)條件判斷出函數(shù)的單調性，由導數(shù)與函數(shù)單調性的關系

列出不等式，求出實數(shù)a的取值范圍.

【解答】解：設t=sinx,由xe(0,得tC(0,1],

vf(x)=sin3x+acos2x=sin3x+a(1-sin2x),

???f(x)變?yōu)椋簓=t3-at2+a.

則y'=3t2-2at=t(3t-2a),

2a

由y'=0得，1=0或t=3,

??,f(x)=sin3x+acos2x在(0,兀)上存在最小值，

.?.函數(shù)y=t3-at?+a在(0,1]上遞減或先減后增，

2a

即3>0,得a>0,

.??實數(shù)a的取值范圍是(0,+oo),

故選：D.

4.在復平面內，復數(shù)z=l-2i對應的點的坐標為()

A.(1,2)B.(2,1)C.(1,-2)D.(2,-1)

參考答案：

C

【考點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.

【專題】數(shù)系的擴充和復數(shù).

【分析】利用復數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出；

【解答】解：復數(shù)z=l-2i對應的點的坐標為(1,-2),

故選：C.

【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則、幾何意義，屬于基礎題.

5.

(21-€R)—1m(*+,+…+x")

已知2展開式的第7項為4,則，的值為

()

31_31

A.4B.4C.4D.

參考答案:

答案：D

6.（文）現(xiàn)有四個函數(shù)：①y=x?sinx；②y=x?cosx；③y=x|cosx；@y=x?2"的圖象（部

分）如圖：

本+■<

則按照從左到右圖象對應的函數(shù)序號安排正確的一組是（）

A.①④③②B.③④②①C.④①②③D.①④②③

參考答案：

D

【考點】函數(shù)的圖象.

【專題】作圖題；函數(shù)的性質及應用.

【分析】函數(shù)與函數(shù)圖象對應題一般用排除法，首先發(fā)現(xiàn)只有①是偶函數(shù)，故第一個圖象

對應①；從而排除B、C；注意到③y=x|cosx【，當x<0時，yWO,當x>0時，y20；故

③對應第四個圖象.從而解得.

【解答】解：四個函數(shù)：①y=x?sinx；②丫=*??^^*；③y=x|cosx；@y=x?2,中，

只有①是偶函數(shù)，

故第一個圖象對應①；

故排除B、C；

故焦點在第三，四個圖象與②③的對應上，

注意到③y=x|cosx|,

當x<0時，yWO,

當x>0時，y>0；

故③對應第四個圖象，

故排除A,

故選D.

【點評】本題考查了函數(shù)的圖象的應用，函數(shù)與函數(shù)圖象對應題一般用排除法比較好，屬

于中檔題.

7.某學校從高二甲、乙兩個班中各選6名同掌參加數(shù)學競賽，他們取

得的成績(滿分100分)的莖葉圖如圖，其中甲班學生成績的眾數(shù)是

85,乙班學生成績的平均分為81,則x+y的值為

(A)6(B)7

參考答案:

D

略

8.設集合人=心￡2但<3},B={x|x>-1},則AHB=()

A.{0,1}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

參考答案：

A

【考點】IE：交集及其運算.

【分析】先求出集合A和B,由此利用交集定義能求出AAB.

【解答】解：?.?集合A={XGZ|X2<3}={-1,0,1},

B={x|x>-1},

/.AnB={0,1}.

故選：A.

_2

9.已知函f數(shù)八M”a一2X+1(?€/)為奇函數(shù)，則/0)=()

5123

A.3B.3c.3D.2

參考答案：

B

【分析】

先根據(jù)奇函數(shù)求出a的值，再求f(l)得解.

/(0)=0,二4一二=0.二

【詳解】由題得2

經(jīng)檢驗，當a=l時，函數(shù)f(x)是奇函數(shù).

=1----------—

所以…2+13

故選：B

【點睛】本題主要考查奇函數(shù)的性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推

理能力.

I.]一].

AMAB^-AC

10.設等邊三角形△A8C的邊長為1,平面內一點M滿足23,向量*

與刀夾角的余弦值為(

)

a6叵4炳

A.3B.6C.12D.119-

參考答案：

D

【分析】

?、什9?1r1OTI1?

=AM--AH\-AC

根據(jù)向量的平方等于模長的平方得到「I6,再將23兩邊用

源加=2.

點乘，3由向量點積公式得到夾角的余弦值.

【詳解】

I而而+!否~】畫，d^QJ+2xlxlxlj/4C=—

23232336,

國]二巫AM1AB^AC一

6,對23兩邊用48點乘,

4、的

屆衣」看萬而=2.衣-

233與〃夾角的余弦值為產19

故選D.

【點睛】這個題目考查了向量的模長的求法以及向量點積的運算，題目比較簡單基礎；平

面向量數(shù)量積公式有兩種形式，-是“"哨二是江’=守.出，主要應用

以下幾個方面:(1)求向量的夾角，何(此時W往往用坐標形式求解)；

ab

(2)求投影，a在至上的投影是向；(3)瓦彳向量垂直則不了=0;(4)求向量

癡，癌的模(平方后需求不吞).

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.若x的最小值為.

參考答案:

略

12.已知AABC的外接圓的半徑為R,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若

22

asinBcosC+2csinC=R,則4ABC面積的最大值為.

參考答案：

""5-

【考點】HT：三角形中的幾何計算；7F：基本不等式.

【分析】由正弦定理得2=4,從而a?+bz+2cJ8,由余弦定理得8-

3cJ2abcosC,記aABC的面積為S,則4s=2absinC,從而(8-3c2)2+16S2=4a2b2<

(a2+b2)②，進而16SWC2(16-5C2),由此能求出△ABC面積的最大值.

【解答】解：:△ABC的外接圓的半徑為R,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

3,2

asinBcosC+2csinC=R,

，由正弦定理得2=4,

2,,22。

a+b-c32

Aab?2ab+2C=4,

整理,得：a2+b2+2cz=8,

由余弦定理得8-3c?=2abcosC,①

記△ABC的面積為S,則4s=2absinC,②

將①②平方相加，得：

(8-3c2)2+16SMa2b2^(a2+b2)2,

4_2正

.*.16S2<c2(16-5c2),即S?W5,SW5,

旦

當且僅當c：虧時等號成立，

二AABC面積的最大值為5.

故答案為：飛一.

x+j-11^0

3x-ji3i0

{5x-3j+P^0表示的平面區(qū)域為D,若指數(shù)函數(shù)y=</的圖像上存在

區(qū)域D上的點，則a的取值范圍

是________________________

參考答案：

(1,3]

14.(不等式選講選做題)若存在實數(shù)X滿足|x-3|+|x-加|<5,則實數(shù)附的取值范圍為

參考答案：

15.不等式|x-1]<1的解集用區(qū)間表示為.

參考答案:

（0,2）

【考點】絕對值三角不等式.

【專題】計算題；轉化思想；不等式的解法及應用.

【分析】直接將不等式|x-1|<1等價為：解出后再用區(qū)間表示即可.

【解答】解：不等式lx-11<1等價為：

-l<x-1<1,解得，0VxV2,

即原不等式的解集為{x[0<x<2},

用區(qū)間表示為：（0,2）,

故答案為：（0,2）.

【點評】本題主要考查了絕對值不等式的解法，以及解集的表示方法，屬于基礎題.

16.已知三棱錐P-ABC中，側棱以=、/2「5=而?~=3,當側面積最大時，三棱錐p-

ABC的外接球體積為

參考答案：

32

一x

3

【分析】

當三棱錐側面積最大時，PA,PR,EC兩兩互相垂直，可知以E4,PB,FC為長、

寬、高的長方體的外接球即為三棱錐F-.C的外接球，長方體外接球半徑為體對角線

的一半，從而求得半徑，代入球的體積公式得到結果.

J163/3^5

【詳解】三棱錐F-ZBC的側面積為：222

'：/APR,ZAPC,ZW相互之間沒有影響

當上述三個角均為直角時，三棱錐F一加。的側面積最大

此時PB,PC兩兩互相垂直

,以以，PB,R為長、寬、高的長方體的外接球即為三棱錐的外接球

JJ=-v2*5+9=2

二外接球半徑2

二三棱錐F-&C的外接球的體積：33

32

----K

本題正確結果：3

【點睛】本題考查多面體的外接球體積的求解問題，關鍵是能夠通過側面積最大判斷出三

條棱之間的關系.

17.在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC,則tanAtanBtanC的最小值

是

參考答案:

8

由iC)-anBa>sC?cosBsiaC

可得sh6cDsCiais5向C-2&B=C(*),

由三角形ABC為銳角三角形，則OKB>0,cnsC>0,

在（*）式兩側同時除以COSBOKC可得58+tnC=2tn8g1C,

txtB+taaC

tn/=-一/)=-tn(3+C)

又1taaBOnC(#),

bn^tejStmC=--------10cxtm0tBiC

則1-tuLBteC

-c2(tan3t?c)'

山55+5C=2tanbgC可得l^cuiXteC,

令由以C為銳角可得

由㈤得解得t>l

^^32

tn/080C.―~r

e~t,

中一廠G2）彳，由Al則”產-＞一彳，因此5105t■（7最小值為8,

當且僅當：-2時取到等號，此時5B+5C-4,tnBtnC^l,

解得tan?=2+e,0C=2-6,toB/=4（或tanB,tanC互換），此時以C均為銳角.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.如圖，四邊形ABCD內接于。0,BD是。。的直徑，AELCD于點E,DA平分/BDE.

（1）證明：AE是。。的切線；

（2）如果AB=4,AE=2,求CD.

參考答案：

【考點】與圓有關的比例線段；圓內接多邊形的性質與判定.

【專題】選作題；立體幾何.

【分析】（1）連接0A,根據(jù)角之間的互余關系可得NOAE=NDEA=90°,證明0A〃CE,利

用AELCE,可得AE_L0A,即AE是。0的切線；

（2）由（1）可得△ADES^BDA,求出NABD=30°,從而NDAE=30°,可得

DE=AEtan30°,利用切割線定理,可得結論.

【解答】（1）證明：連結0A,則0A=0D,所以/0AD=N0DA,

又/0DA=NADE,所以/ADE=/0AD,所以0A〃CE.

因為AE_LCE,所以0AJ_AE.

所以AE是。0的切線.…(5分)

(2)解：由(1)可得△ADEsaBDA,

AEAB24

所以屏而,即AD=BD,則BD=2AD,

所以NABD=30°,從而NDAE=30°,

2/3

所以DE=AEtan30°=3.

由切割線定理，得AE'ED?EC,

273273延

所以4=~(-3-+CD),所以CD=-5".…(10分)

【點評】本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，及線段長度的求法，要求學生掌握

常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題.

19.已知函數(shù)f(x)=x—1+ax(a>0)在(1,+°°)上的最小值為15,函數(shù)g(x)

=|x+a[+|x+lI.

(1)求實數(shù)a的值；

(2)求函數(shù)g(x)的最小值.

參考答案：

【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義.

【專題】函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質及應用；不等式的解法及應用.

a]

分析：(1)由f(x)=x-l+ax=a[(x-1)+X-1+1],運用基本不等式可得最小值，解

方程可得a的值；

(2)運用|x+5|+|x+l|2|(x+5)-(x+1)|=4,即可得到所求的最小值.

a

解：(1)f(x)=x-1+ax(a>0,x>l)

-4J(x-l)

=a[(x-1)+x-l+l]>a(2Vl+i)=3a,

當且僅當x=2時，取得最小值3a,

由題意可得3a=15,解得a=5；

(2)函數(shù)g(x)=x+a|+1x+11=|x+51+1x+1，

由|x+5|+|x+l|(x+5)-(x+1)|=4,

當且僅當(x+5)(x+1)WO,即-5WxW-l時，取得等號.

則g(x)的最小值為4.

【點評】本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用基本不等式和絕對值不等式的性質，考查

運算能力，屬于中檔題.

20.某景區(qū)的各景點從2009年取消門票實行免費開放后，旅游的人數(shù)不斷地增加，不僅帶

動了該市淡季的旅游，而且優(yōu)化了旅游產業(yè)的結構，促進了該市旅游向“觀光、休閑、會

展''三輪驅動的理想結構快速轉變.下表是從2009年至2018年，該景點的旅游人數(shù)y(萬

人)與年份x的數(shù)據(jù)：

第X年12345678910

旅游人

數(shù)y300283321345372435486527622800

(萬

人）

該景點為了預測2021年的旅游人數(shù)，建立了y與x的兩個回歸模型:

模型①：由最小二乘法公式求得y與x的線性回歸方程yNW-a+D；

模型②：由散點圖的樣本點分布，可以認為樣本點集中在曲線＞=一的附近.

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求模型②的回歸方程/=8.（4精確到個位，人精確到

0.01）.

（2）根據(jù)下列表中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關指數(shù)并選擇擬合精度更高、更可靠

的模型，預測2021年該景區(qū)的旅游人數(shù)（單位：萬人，精確到個位）.

回歸方程@>=508x+1697②/=函

3040714607

參考公式、參考數(shù)據(jù)及說明:

①對于一組數(shù)據(jù)（4?、）?（巧,其回歸直線的斜率和截距的最

￡（吟-破彩-*）

~I—3=媼-區(qū)

Z（v/~v）5

小二乘法估計分別為*-?

ZG廠印

〃=1—4-----

匯3-力’

②刻畫回歸效果的相關指數(shù)j

③參考數(shù)據(jù)：產“235,‘6.g.

u-,

XU

7

5.54496.058341959.00

表中

參考答案:

**E<O.ltr

⑴"23*(2)見解析

【分析】

(1)對，=/取對數(shù)，得.丁=版+10<1,設c=ba,先建立*關于*的

線性回歸方程，進而可得結果；(2)由表格中的數(shù)據(jù)，30407>14607,可得

30407、14607

25-尸尸ZQ-才，從而得4’<A：

i-l“,進而可得結果.

【詳解】(1)對/=?取對數(shù)，得hy=Adna,

設"=觸>，c=lna,先建立"關于*的線性回歸方程,

9.00

In*0108

c=i-Sx?6.05-0.1(?x5_5=5?l56?5.46

a=/?235

**mix

二模型②的回歸方程為，二力”

3040714607

TS>-B

（2）由表格中的數(shù)據(jù)，有30407>14607,即4141

,30407,14607

]-H———<]一K———

匯5-a'￡5-亍幾2—2

即*4M，蜀<與

模型①的相關指數(shù)小于模型②的及：,說明回歸模型②的擬合效果更好.

2021年時，x=13,預測旅游人數(shù)為》=235/°加235x44=987（萬人）

【點睛】本題考查了非線性擬合及非線性回歸方程的求解與應用，是源于課本的試題類

型，解答非線性擬合問題，先作出散點圖，再根據(jù)散點圖選擇合適的函數(shù)類型，設出回歸

方程，利用換元法將非線性回歸方程化為線性回歸方程，求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后

根據(jù)線性回歸方程的計算方法計算變換后的線性回歸方程系數(shù)，即可求出非線性回歸方

程，再利用回歸方程進行預報預測，注意計算要細心，避免計算錯誤.

21」選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]

（10分）在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半

x

圓C的極坐標方程為p=2cos0,GeiO,2J.

（1）求C的參數(shù)方程；

（2）設點D在C上，C在D處的切線與直線1：y=，5x+2垂直，根據(jù)（1）中你得到的參

數(shù)方程，確定D的坐標.

參考答案：

【考點】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程.

【分析】（1）根據(jù)極坐標方程求出C的普通方程，從而求出參數(shù)方程即可；（2）設D

（1+cost,sint）,結合題意得到直線GD與1的斜率相同，求出t的值，

【解答】解：（1）由題意知：p=2cose,ee[o,—2」]，

一