2021年高考理數(shù)真題試卷（天津卷）80帶答案解析

2021年高考理數(shù)真題試卷(天津卷)

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合人={1,2,6},B={2,4},C={xGR|-l<x<5},則(AUB)nC=()

A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,5}D.{x￡R|-l<x<5}

【答案】B

【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

【解析】【解答】解：A={1,2,6},B={2,4},AUB={1,2,4,6},

又C={xWR|-13x45},(AUB)nC={l,2,4}.

故選：B.

【分析】由并集概念求得AUB,再由交集概念得答案.

2%+y>0

2.設(shè)變量x,y滿足約束條件+，則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為()

y<3

23

A.-B.1C.-D.3

32

【答案】D

【考點(diǎn)】二元一次不等式(組)與平面區(qū)域，簡單線性規(guī)劃

2%+y>0

【解析】【解答】解：變量X,y滿足約束條件{X+^<0~°的可行域如圖：

y<3

目標(biāo)函數(shù)z=x+y結(jié)果可行域的A點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，

由可得A(0,3),目標(biāo)函數(shù)2=*+丫的最大值為：3.

故選：D.

【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解即可.

3.閱讀右面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為24,則輸出N的值為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【考點(diǎn)】選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)，程序框圖

【解析】【解答】解：第一次N=24,能被3整除，N=g=843不成立，

第二次N=8,8不能被3整除，N=8-1=7,N=743不成立,

第三次N=7,不能被3整除，N=7-1=6,N=1=2<3成立,

輸出N=2,

故選：C

【分析】根據(jù)程序框圖，進(jìn)行模擬計(jì)算即可;

4.設(shè)OCR,則“I。-"是"sinOV:的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，正弦函數(shù)的圖象，正弦函數(shù)的單調(diào)性，絕對值不等式的

解法

【解析】【解答】解：I。-看IV號e<e-9<ev%,

1Z1ZIN1Z1Zo

sin0<-<=^—+2kn<0<7+2kn,kWZ,

266

則(0，7)<4-+2kn,7+2kn],kGZ,

060

可得"田-l<"是"sine<i"的充分不必要條件.

故選：A.

【分析】運(yùn)用絕對值不等式的解法和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，化簡兩已知不等式，結(jié)合充分必要條件的定

義，即可得到結(jié)論.

5.已知雙曲線g=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為<2,若經(jīng)過F和P(0,4)兩點(diǎn)的直

a2b2

線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為()

A.立一些=1B.正一片=1C.式—片=1D.比—絲=1

44884884

【答案】B

【考點(diǎn)】斜率的計(jì)算公式，兩條直線平行的判定，雙曲線的簡單性質(zhì)

【解析】【解答】解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)F(-c,0),離心率e==V2,c=V2a,

則雙曲線為等軸雙曲線，即a=b,

雙曲線的漸近線方程為y=±3x=±x,

則經(jīng)過F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線的斜率k=爐=&,

0+cC

則|=1,c=4,貝ija=b=2y/2,

「?雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：1；

88

故選B.

【分析】由雙曲線的離心率為V2,則雙曲線為等軸雙曲線，即漸近線方程為y=±x,根據(jù)直線的斜率公

式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得雙曲線方程.

6.已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)=xf(x).若a=g(-Iog25.1),b=g(20-8),c=g(3),則a,

b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【答案】C

【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷，對數(shù)值大小的比較，對數(shù)函

數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】解：奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，當(dāng)x>0,f(x)>f(0)=0,且F(x)>0,

g(x)=xf(x),則g((x)=f(x)+xF(x)>0,

g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，且g(x)=xf(x)偶函數(shù)，

a=g(-logzS.l)=g(Iog25.1),

08

則2<-log25.1<3,l<2<2,

由g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增,則g(2°-8)<g(logjS.l)<g(3),

b<a<c,

故選C.

【分析】由奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，則g(x)=xf(x)偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增，則a=g

08

(-log25.1)=g(log25.1),則2<-Iog25.1<3,l<2<2,即可求得b<a<c

7.設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(3X+4)),xFR,其中3>0,|巾|Vx.若f(芋)=2,f(￥)=0,且f(x)的

88

最小正周期大于2n,則()

▲21亢c2.117T-1,117Tr1.7n

A.<n=-,4)=-B.u)=-<4>=--C.o)=-,*=--D.u)=->0=-

【答案】A

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法，由丫=人$訪(3X+6)的部分圖象確定其解析式

【解析】【解答】解：由f(x)的最小正周期大于2n,得，

T7，，5冗、)/，117T、c組T117T57r37r

又f(V)=2,f(=)=0,得7==一萬=7,

T=3R,則如=3TT,BPa)=-.

33

2

f(x)=2sin(wx+4>)=2sin(-x+巾),

由f(方)=2sin(|x奈+0)=2,得sin(巾+需)=1.

4)+—=+2/CTT,kW乙

卡122

取k=0,得4)=看<n.

.2n

..3=耳，巾=五.

故選：A.

【分析】由題意求得7，再由周期公式求得3,最后由若f(9)=2求得巾值.

48

■X2-%+3,%V1

8.已知函數(shù)f(x)={2一，設(shè)a￡R,若關(guān)于x的不等式f(x)>1；+a|在R上恒成立，則

%x>12

x

a的取值范圍是()

A.[-堇，2]B.[-^7,]C.[-2V3,2]D.[-2遮，工]

【答案】A

【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題，分段函數(shù)的應(yīng)用

【解析】【解答】解：當(dāng)爛1時(shí)，關(guān)于x的不等式f(x)；+a|在R上恒成立，

即為-x2+x-3<+a<x2-x+3,

即有-x2+|x-3<a<x2-|x+3,

由y=-x?+之x-3的對稱軸為x=[<1,可得x=[處取得最大值-葛；

由y=x2-|x+3的對稱軸為x=:<1,可得x=；處取得最小值,

24416

則-V也電①

1616

當(dāng)x>l時(shí)，關(guān)于x的不等式f(x)>1±2+a|在R上恒成立，

即為-(x+-)<^+a<x+-,

X2X

目門士/32、，/42

即有-(-x+-)<a<-+-,

2X2x

由*-<Ix+|)<-2檸1=-2V3(當(dāng)且僅當(dāng)X=專>1)取得最大值-2遮；

由y=(x+：22=2(當(dāng)且僅當(dāng)x=2>l)取得最小值2.

則-2迎SaS2②

由①②可得，-?<a<2.

Io

故選：A.

【分析】討論當(dāng)XVI時(shí)，運(yùn)用絕對值不等式的解法和分離參數(shù)，可得-X2+：X-3々仝2-|X+3,再由二

次函數(shù)的最值求法，可得a的范圍；討論當(dāng)x>l時(shí)，同樣可得-（|x+：）益4：+：,再由基本不等

式可得最值，可得a的范圍，求交集即可得到所求范圍.

二、二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9.已知a6R,i為虛數(shù)單位，若W為實(shí)數(shù)，則a的值為

【答案】-2

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

【解析】【解答】解：aGR,i為虛數(shù)單位,

a-i_(aT)(2-i)_2a-l-(2+a)i_2a-l2+a

2+i-(2+i)(2-i)-4+1-55

由E為實(shí)數(shù),

可得-詈=0,

解得a=-2.

故答案為：-2.

【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)的除法法則，結(jié)合共軌復(fù)數(shù)，化簡尸，再由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的條件：虛部為0,解方程即

2+1

可得到所求值.

10.已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18,則這個(gè)球的體積為

【答案】y

【考點(diǎn)】球的體積和表面積

【解析】【解答】解：設(shè)正方體的棱長為a,

這個(gè)正方體的表面積為18,

6a2=18,

則32=3,即a=V3，

一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，

正方體的體對角線等于球的直徑，

即V3a=2R,

即R=：,

則球的體積V=”《（|）3=詈；

故答案為：y.

【分析】根據(jù)正方體和球的關(guān)系，得到正方體的體對角線等于直徑，結(jié)合球的體積公式進(jìn)行計(jì)算即可.

.在極坐標(biāo)系中，直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_______.

114pcos(0-O)+1=0p=2sin6

【答案】2

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系，簡單曲線的極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)的區(qū)別

【解析】【解答】解：直線4pcos(0-)+1=0展開為：4p(*os?+|sin8)+1=0,化為：2百

x+2y+l=0.

HP=2sin0Bpp2=2psin0,化為直角坐標(biāo)方程：x2+y2=2y,配方為：x2+(y-1)2=1.

3R

???圓心C(0,1)到直線的距離d=JQ6)2+22=；<1=R-

「?直線4pcos(0-7)+1=0與圓p=2sin6的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.

故答案為：2.

【分析】把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離d,與半徑比較即可得出位置關(guān)系.

12.若a,bGR,ab>0,則吐竺出的最小值為_______.

ab

【答案】4

【考點(diǎn)】基本不等式

【解析】【解答】解：a,bWR,ab>0,

1111

即a=樂，b=樂或a=-樂，b=-每時(shí)取"="；

，上式的最小值為4.

故答案為：4.

【分析】兩次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等號成立的條件是什么.

13.在.△ABC1p,NA=60°,AB=3,AC=2.右BD=2DC，AE二入AC~AB（入WR）,且AD,AE=

-4,則入的值為.

【答案】V

【考點(diǎn)】向量的加法及其幾何意義，向量的減法及其幾何意義，向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，數(shù)量積的

坐標(biāo)表達(dá)式，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

【解析】【解答】解：如圖所示，

.....，■,>

BD=2DC

AD=AB+BD

=AB+^BC

=AB+I(AC~AB)

二通+2前，

33

又荏=入正-AB（入WR）,

?1■AD-AE=（1AB+|前）?（XIt-AB）

=（^A-|）AB?AC-渾2+|人舒

i21_2

二（一入--）x3x2xcos60°--X32+-入x2?=-4,

3333

11、-

?-T人=>

解得人=V.

故答案為：（.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，利用AB、AC表示出AD，

再根據(jù)平面向量的數(shù)量積AD-AE列出方程求出入的值.

14.用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的

四位數(shù)一共有個(gè).（用數(shù)字作答）

【答案】1080

【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，排列、組合的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①、四位數(shù)中沒有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，即在1、3、5、7、9種任選4個(gè)，組成一共四位數(shù)即可，

有As4=120種情況，即有120個(gè)沒有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字四位數(shù)；

②、四位數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，

在1、3、5、7、9種選出3個(gè)，在2、4、6、8中選出1個(gè)，有C53?CJ=4O種取法，

將取出的4個(gè)數(shù)字全排列，有A44=24種順序，

則有40x24=960個(gè)只有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字的四位數(shù)；

則至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有120+960=1080個(gè)；

故答案為：1080.

【分析】根據(jù)題意，要求四位數(shù)中至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)，分2種情況討論：①、四位數(shù)中沒有一個(gè)偶數(shù)

數(shù)字，②、四位數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，分別求出每種情況下四位數(shù)的數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得

答案.

三、三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=-.

(I)求b和sinA的值；

(II)求sin(2A+7)的值.

【答案】解：(I)在△ABC中，TaAb,

故由sinB=|,可得cosB二|.

由已知及余弦定理，有h2=a2+c2-2accosB=25+36—2x5x6x|=13,

???b=V13.

由正弦定理號=三，得sinA=理史=亞亙.

sinAsinBb13

???b=V13,sinA=亞；

13

(II)由(I)及aVc,得cosA二空亙，sin2A=2sinAcosA=—,

1313

cos2A=l-2sin2A=--.

13

故sin(2A+-)=sin2Acos-+cos2Asin-=—x———x—=—.

44413213226

【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦定理，余弦定理，三角形中的幾何計(jì)

算

【解析】【分析】(I)由己知結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得cosB,再由余弦定理求得b,利用正弦

定理求得sinA；

(H)由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得cosA,再由倍角公式求得sin2A,COS2A,展開兩角和的正弦得答

案.

16.從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別

,111

為5，1Z

(I)設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(n)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.

【答案】解：(I)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3；

則P(X=O)=(1-i)x(l-A)(1-i)=i

344

111、1111

P徒1)=*1一)X(1--)+(1-)X-X(1-+(1-i)x(1--)X-=一

342323424

111、111

P(X=2)=(1-|)XX-+(1二)X二XX(1-i)=i

34Ix-342344

/“一、

(X=3)=-1x1-x1-=1一

23424

所以，隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

P11111

424424

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=ox1+1XI+2X*3X或嚏；

(II)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù),

則所求事件的概率為

P(Y+Z=l)=P(Y=0,Z=l)+P(Y=l,Z=0)

=P(Y=0)?P(Z=l)+P(Y=l)?P(Z=0)

111111

=-X一+—X-

424244

11

48

所以，這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為―

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列，離散型隨機(jī)變量的期望與方差，條件概率與獨(dú)立事件

【解析】【分析】(I)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,求出對應(yīng)的概率值，

寫出它的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值；

（口）利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式計(jì)算所求事件的概率值.

17.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA_L底面ABC,ZBAC=90°.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn)，M

是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4,AB=2.

（I）求證：MNII平面BDE；

（n）求二面角C-EM-N的正弦值；

（DI）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為隨，求線段AH的長.

21

【答案】（I）證明：取AB中點(diǎn)F,連接MF、NF,

???M為AD中點(diǎn)，,MFIIBD,

BDc?pjgfBDE,MF評面BDE,二MFII平面BDE.

N為BC中點(diǎn)，,NFIIAC,

又D、E分別為AP、PC的中點(diǎn)，,DEMAC,則NFIIDE.

；DE印面BDE,NF呼面BDE,/.NFII平面BDE.

又MFnNF=F.

平面MFNII平面BDE,則MNII平面BDE；

（ED解：rPAJ?底面ABC,ZBAC=90°.

以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、AP所在直線為X、v、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

PA=AC=4,AB=2,

A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E(0,2,2),

則~MN=(1,2,一1),ME=(0,2,1),

設(shè)平面MEN的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),

由巴亞=0,得二二，取z=2,得沅=(*一1,2).

m-ME=02y+z=0、'

由圖可得平面CME的一個(gè)法向量為元=(1,0,0).

-cos<m'n>=麗=訴=▽?

二面角c-EM-N的余弦值為紀(jì)紀(jì)，則正弦值為回；

2121

(HI)解：設(shè)AH=t,則H(0,0,t),NH=(-1,一2,t),BE=(-2,2,2).

???直線NH與直線BE所成角的余弦值為止，

21

|cos<NH,BE>1=1幽里1=1|=也.

解得：t=4.

???當(dāng)H與P重合時(shí)直線NH與直線BE所成角的余弦值為竺，此時(shí)線段AH的長為4.

21

【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角，平面與平面平行的判定，平面與平面平行的性質(zhì)，用空間向量求平面間

的夾角，二面角的平面角及求法

【解析】【分析】(I)取AB中點(diǎn)F,連接MF、NF,由已知可證MFII平面BDE,NFII平面BDE.得到

平面MFNII平面BDE,則MNII平面BDE；

(II)由PA_L底面ABC,NBAC=90。.可以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空

間直角坐標(biāo)系.求出平面MEN與平面CME的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-

N的余弦值，進(jìn)一步求得正弦值；

(DI)設(shè)AH=t,則H(0,0,t),求出而、BE的坐標(biāo)，結(jié)合直線NH與直線BE所成角的余弦值為紅!

21

列式求得線段AH的長.

18.已知｛aj為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(nWN+),｛>｝是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0,b2+b3=12,

63=34-2ai,Sn=llb4?

(I)求｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式；

(II)求數(shù)列｛a2nb2n-i｝的前n項(xiàng)和(n￡N+).

【答案】解：(I)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,等比數(shù)列｛bn｝的公比為q.

由已知bz+b3=12,得bi(q+q2)=12,而已=2,所以q+q?-6=0.

又因?yàn)閝>0,解得q=2.所以，bn=2n.

由b3=a4-2ai,可得3d-ai=8①.

由Sii=llb49可得ai+5d=166)，

聯(lián)立①②，解得期=1,d=3,由此可得an=3n-2.

所以，數(shù)列一｝的通項(xiàng)公式為an=3n-2,數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為年2門.

(H)設(shè)數(shù)列｛a2nb2n-l｝的前n項(xiàng)和為Tn,

由a2n=6n~2,b2n-1=~X4n,有a2nb2n-i=（3n-1）4n,

23n

thTn=2x4+5x4+8x4+...+（3n-1）4,

234n+1

4Tn=2x4+5x4+8x4+...+（3n-1）4,

23nn+1

上述兩式相減,得-3Tn=2x4+3x4+3x4+...+3x4-（3n-1）4

=-4-（3n-l）4n+1=-（3n-2）4n+1-8

得％=平xp+i+g.

所以，數(shù)列｛a2nb2—｝的前n項(xiàng)和為等xQ+i+g.

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式，等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

【解析】【分析】（I）設(shè)出公差與公比，利用已知條件求出公差與公比，然后求解｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式;

（H）化簡數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可.

19.設(shè)橢圓11=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,離心率為；.已知A是拋物線y2=2px（p

>0）的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線1的距離為|.

（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；

（II）設(shè)I上兩點(diǎn)P,Q關(guān)于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B（B異于A）,直線BQ與x軸相交于點(diǎn)

D.若AAPD的面積為由，求直線AP的方程.

2

【答案】（I）解：設(shè)F的坐標(biāo)為（-c,0）.

c_1

Q一2

依題意可得｛￡，

1

a—c=-2

解得a=l,c=,p=2,于是b?=a2-c2=

所以，橢圓的方程為x2+竽=1,拋物線的方程為y2=4x.

（II）解：直線I的方程為x=-l,設(shè)直線AP的方程為x=my+l（mwO）,

聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)P（-1，-《），故Q（-1,《）.

x=my+1.

聯(lián)立方程組22+空=］，消去X，整理得（3m2+4）y2+6my=0,解得y=0,或y=-3黑.

3-

.0（-3m2+4-6m、

??D\------------,Z）.

3m2+43m2+4

???直線BQ的方程為（「蕓--）（x+1）-（駕把+1）（y--）=0,

37n2+4m3m2+4m

令y=。，解得x=|^,故D(需,0).

23m2_67n2

|AD|=1-曰上=

37n2+237n2+2

又???”PD的面積為M打黑X號約

整理得3m2-2V6Im|+2=0,解得|m|=?，二m=±f.

直線AP的方程為3x+V6y-3=0,或3x-V6y-3=0.

【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡單性質(zhì)，拋物線的簡單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的關(guān)系，圓錐曲線的綜

合

【解析】【分析】(I)根據(jù)橢圓和拋物線的定義、性質(zhì)列方程組求出a,b,p即可得出方程；(口)設(shè)

AP方程為x=my+l,聯(lián)立方程組得出B,P,Q三點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出直線BQ的方程，解出D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)

三角形的面積列方程解出m即可得出答案.

20.設(shè)aGZ,已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2x，+3x3-3x2-6x+a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)xo,g(x)

為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(I)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)m6[l,xo)U(xo,2],函數(shù)h(x)=g(x)(m-x°)-f(m),求證：h(m)h(xo)<0；

(HI)求證：存在大于0的常數(shù)A,使得對于任意的正整數(shù)p,q,且；G[l,xo)U(xo,2],滿足|

Pi、i

q-X°l-荷'

【答案】(I)解：由f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a,可得g(x)=f(x)=8x3+9x2-6x-6,

進(jìn)而可得g'(x)=24x2+18x-6.令g'(x)=0,解得x=-l,或x=2.

4

當(dāng)X變化時(shí)，g'(x),g(x)的變化情況如下表：

X(-8,-1)Z1、

(-1,-)(二，+8)

44

g'(x)+-+

g(x)771

所以，g(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,-1),(1,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,1).

(II)證明：由h(x)=g(x)(m-xo)-f(m),得h(m)=g(m)(m-xo)-f(m),

h(xo)=g(xo)(m-xo)-f(m).

令函數(shù)Hi(x)=g(x)(x-xo)-f(x),則H'i(x)=gf(x)(x-xo).

由(I)知，當(dāng)xG[l,2]時(shí)，gz(x)>0,