2021年高考數(shù)學(xué)（理）押題預(yù)測卷（新課標(biāo)III卷）02（全解全析）

2021年高考押題預(yù)測卷【新課標(biāo)川卷】

理科數(shù)學(xué)?參考答案

123456

BCBBCB

789101112

BDCCAD

13、【答案】3

14、【答案】3

15、【答案】28〃

16、【答案】^-1,——U{o}U5」）

17、【答案】（1）證明見解析，??=—；（2）證明見解析.

2n

9

18、【答案】（1）a=0.0035,中位數(shù)650,眾數(shù)600；（2）分布列見解析；期望為一；（3）填表見解析;

10

有.

JT

19、【答案】（1）證明見解析：（2）

4

22

20、【答案】（1）^+^=1；（2）是,定點(diǎn)為（6,0六口（一6,0）.

21、【答案】（1）極小值1，無極大值；（2）答案見解析；（3）[―1,+8）.

2

22、【答案】（1）x+/-4y=0.（2）瓦.

23、【答案】（1）U⑵證明見解析.

1.【答案】B

由維恩圖可知，陰影部分為集合AnB={l,2}.

故選：B.

2.【答案】C

1-i1-i

因?yàn)槎?/p>

故慟洞葦九

故選：c.

3.r答梟」B

設(shè)該校男老師的人數(shù)為x,女老師的人數(shù)為y,則可得如下表格:

方案一方案二

男老師0.5%0.5%

女老師0.25y0.75y

y4y4

由題意，——=0.4,可得所以

0.5x+0.25yx3尤+y7

故選：B

4.【答案】B

4°=2,.

10%=m-a'°_\I-

1，故〃而，故〃=—?210

20%=〃"m=—"220

.20

令人=2，.?.2記=10,：.'lg2=l,故7=男^33,

2100.3

故選：B.

5.【答案】C

解：由已知可得。=8,8=4,

所以c=4石，故M為橢圓的右焦點(diǎn)，

由橢圓的性質(zhì)可得當(dāng)過焦點(diǎn)的弦垂直X軸時(shí)弦長最短,

所以當(dāng)x=48時(shí)，最短的弦長為竺＞=2*=4,

a8

當(dāng)弦與x軸重合時(shí)，弦長最長為2。=16,

則弦長的取值范圍為[4,16],

故弦長為整數(shù)的弦有4到16的所有整數(shù),

貝『'好弦''的長度和為4+16+(5+6+7+--+15)X2=240,

故選：C.

6.【答案】B

由于麗、0B'滅1均為單位向量，則|。4=|°q=|°4=1，

由礪+2礪+24=0可得2ON+23=一函，所以，4(OB+OC)'^OA,

/*2?2.---?\..7

即4(。8+OC+2OBOCj=\,所以，OBOC=—5，

由赤+2萬+2反=6，可得(麗+2麗+2瓦=0,

即況2+4麗Z+4反之+4麗?麗+4礪?元+8礪?元=0，解得礪?礪+礪反=一；

所以，ABAC=(0B-0A^(0C-0A^=0B0C-^0A0B+0A0C)+0A：=-^+^+\=^.

故選：B.

7.【答案】B

士=上=工=工=4

有正弦定理得B兀，

sinAsinsinCsi?n—

6

所以。=4sinA〃=4sinB,

所以AC+^BC=Z?+V36z=4sinB+4>/3sinA

=4sinB+4gsin(8+C)=4sin8+4氐in/+f

=4sin3+4>/31sinBcos—+cosBsin—|

I66)

=4sinfid-sincosfi

2

=lOsinB+25/3cosB=A/100+12sin(^>)=4A/7sin(B+0).

甘,26V3V3_71

具中tan(p—-----——<—0<0<—>

10536

n5乃71

由于一<3<——,所以一<3+夕<〃，

663

故當(dāng)3+夕=楙時(shí)，AC+GBC的最大值為4"

故選：B

8.【答案】D

解：根據(jù)三視圖可得直觀圖為四棱錐P-A6C。，如圖:

底面是一個(gè)直角梯形，

AD^AB,AD//BC,

AT>=4,AB=BC=PO=2,

且「0_L底面ABC。，

2+4

,該四棱錐的體積為=x2x2=4,

2

故選：D.

9.【答案】C

由已知得，對(duì)于選項(xiàng)A,/(%-x)=cos(2%-2x)+sin(〃-x)=/(x),正確;

對(duì)于選項(xiàng)8,令r=sinx(/G[—1,1]),

、2

又/(%)=2尤則=一一;9

-2sinx+sin+1,y=-2r+?+121+一?

78

71%'

—上是增函數(shù)，y=-2上是減函數(shù),

(627

{7171\

所以/(X)在二,二上是減函數(shù)，正確；

(62)

對(duì)于選項(xiàng)C,/(X)+/(萬一％)=cos2x+sinx+cos(24一2x)+sin(=-x)=2(cos2x+sinx)^0,錯(cuò)

誤；

對(duì)于選項(xiàng)。，令，=sinx(tG[—1,1]),

(iA2o

所以/(x)=-2sin2%+sinx+l=-2尸+Z+l=-2l+—,

19

所以當(dāng)才=時(shí)，^=-,正確?

4o

故選：c.

10.【答案】c

解:由題得/'(x)=e*-l,設(shè)切點(diǎn)(f,f(ty),mf(t)=e'-t,f\t)=e'-I；

則切線方程為：y—(e'-f)=(d-l)(x—f),

即y=(/-l)x+d(l-f),又因?yàn)閥=ox+b,

所以a=d—1，b=e'(.\-t),

則a+。=-l+2e'-fe'，

令g⑺=-l+2e'-te',則g'⑴=(l-t)e'，

則有/>1，g'（，）<0；t<l,g"）>0,即gQ）在（f』）上遞增，在（1,+8）上遞減,

所以f=1時(shí),gQ）取最大值g（l）=-l+2e—e=e—l,

即a+力的最大值為e-l.

故選：C.

11.【答案】A

直線/方程為y=丘，代入橢圓方程得（；+-）/=1x=±2

J1+4A2

設(shè)M(xM,yM),N(XN,yN),則|MN|=~xM)~+(yN~y^)~

2?2ll+k2

Jl+k~|尤M-XNIJl+4~

J1+4k2J+4/\l+4k2

點(diǎn)A到直線/的距離為d=卜2〔,

、2卜_耳\-2k

歷以SAAMN=；4MN\=,2Jl+4%2

\-2k-2A/1+4G-(1-2k)/詼

記八k)=k^,貝____________________2jl+41c-2(2k+1)

《1+4k2八K)1+4公r

(1+4公戶

當(dāng)左（一;時(shí)，（Q〉0,）（口遞增，當(dāng)?shù)茫糧＜0時(shí)，八幻＜0,/（處遞減，

所以％=-g時(shí)，/（口取得唯一的極大值也是最大值/（一；）=&.即AMAN面積的最大值為血.

故選：A.

12.【答案】D

X[

由題意得，xxe=t,2X2In2x2=t,即2工2皿2元？=*2的.也？聲=1，

令函數(shù)F（x）=x?/,則f\x）=（\+x）ex,

所以，JTV—1時(shí):/（X）＜0,段）在（?8,?1）上單調(diào)遞減，心＞一1時(shí)，/（X）＞O,/（%）在（-1,+co）上單調(diào)遞

增，

又當(dāng)不仁（-8,0）時(shí)，y（x）＜0,x￡（o,+oo）時(shí)，Xx）＞0,作函數(shù)/（l）=x"的圖象如圖所示.

由圖可知，當(dāng)/＞0時(shí)，有唯一解，故玉二ln2%,且內(nèi)＞0,

…八21nZr「，/、2-21nZ,,，…

設(shè)力⑺=—^一,，＞。則〃。）=——，令。=0解得ue，

得人Q）在（0,e）上單調(diào)遞增，在（e,+8）上單調(diào)遞減,

2In?2

；.h(t)Wh(e)=一,即——的最大值為一.

e玉龍2e

故選：D.

13.【答案】3

1Z

作出可行域，如圖AABC內(nèi)部(含邊界)，作直線/：x—3y=o,由x-3y=z得＞—

直線向下平移時(shí)，縱截距減小，z增大，

所以平移直線/,當(dāng)直線/過點(diǎn)A(O,-1)時(shí)，z1rax=0-3x(-l)=3.

故答案為:3.

【來源】黃金卷16-【贏在高考?黃金20卷】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷(山東高考專用)

【答案】3

八2)七一1)量化一11+2化一1

1%))1X

工一11的展開式通項(xiàng)為

(元)yxy

所以,的展開式通項(xiàng)為

(+1,加以?(一1戶鏟T。+2C：?(-1丫?針7°=以.(一爐?鏟-8+2C：.(_1丫./T。，

/22-8=0務(wù)=4

“2-10=0可得彳「

r=5

因此，（尤2+2）］4—1］的展開式的常數(shù)項(xiàng)為。；-（一1）4+2。。（一1）5=3.

故答案為：3.

15.【答案】284

解：如圖1,設(shè)矩形488的中心為。|,的外接圓圓心為。2,連接。0「。。2,取A3中點(diǎn)E，

連接PE,?E,

所以由球的截面性質(zhì)可知，。。，平面45。。，。。2，平面八:

在圓。2中，因?yàn)镹AP3=6（）。，AB=2y/3,

所以當(dāng)P優(yōu)弧AB上運(yùn)動(dòng)，且在中垂線與圓02的交點(diǎn)處時(shí)面積最大，如圖2,

此時(shí)=故尸K必過圓。2的圓心。2，

所以ZAPE=30°，AE=G，所以AP=AB=PB=2G

即當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，△QA8為等邊三角形，

所以「

E_LAB，PE=3,P02=2,02E=1,

在矩形ABC。中，E為AB中點(diǎn)，&為BD中點(diǎn),AD=2

所以。

］EJ.AS,01E-1,

所以NPE。是二面角尸-AB-。的平面角，即NPEQ|=120°,

由。。_L平面A3C￡）,。。2,平面25，

所以。。，。田，oo1

2O2E,

所以在四邊形。。乃。2中，

。，。七=如圖

NOO|E=9（）ZOO2E=90\ZO2￡O,=120\1,O2E=1,3,

所以/。。

201=60,/\OO2E^/\OO}E,

所以NEO?=30

所以在直角三角形?；蛑?，。，

△0NEOQ=300,￡=1,

所以0?=G，因?yàn)镼A=gAC=2,

所以R2==|。。『+|a=7,

所以球。的表面積為S=4萬穴2=28萬.

故答案為：28%

圖1

16.【答案】f-i,--U{o}U-J

當(dāng)xe(O,l］時(shí)，易知函數(shù)丫=1—y單調(diào)遞減，且Xf0時(shí)，y-2,X=1時(shí)，y=P其大致

\2J

圖象如下,

又函數(shù)“X)是定義在［-1,1］上的奇函數(shù)，故函數(shù)/(X)的圖象如下,

要使函數(shù)g(x)=/(x)-r有3個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=，有且僅有3個(gè)交點(diǎn),

由圖象可知，-萬u{o}u-j'j.

故答案為：11,一；U{o}u

17.【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析.

2n;

(1)由題對(duì)%+i+2%+得“=°兩邊同時(shí)除以?！?9“得」------=2

an+\an

1cf1]

又一二2,所以一卜是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列，

4可

所以'=2+2(〃-1)=2〃

所以

2n

111(11

(2)由(1)。,",_x_______—_x_______

4+4\n〃+1

=lxfi_l+l-l+-4-[、_j_____1_

所以s.

41223n44(〃+1)

111

因?yàn)椤╡N*所以W一而用

即s.＜：

9

18.【答案】(I)。=0.0035,中位數(shù)650,眾數(shù)600；(2)分布列見解析；期望為一；(3)填表見解析;

10

有.

(1)由題意知1(X)x(O.(X)\5+a+O.(X)25+().(X)15+O.(X)1)=1,

解得a=0.0035,

樣本平均數(shù)為亍=500x0.15+600x0.35+700x0.25+800x0.15+900x0.10=670,

中位數(shù)650,眾數(shù)600.

(2)由題意，從［55(),650)中抽取7人，從［750,850)中抽取3人，

隨機(jī)變量x的所有可能取值有0,1,2,3.

「k03-k

P(x=k)=37(A:=0,1,2,3),

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

P0123

3563211

X

120120120120

H*711Q

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=」+2x——+3x——=—

,）12012012010

(3)由題可知，樣本中男生40人，女姓60人，屬于“高分選手''的25人，其中女姓10人；得出以下2x2

列聯(lián)表；

屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)

男生152540

女生105060

合計(jì)2575100

2_n(ad-hc)2_100(10x25-15x50)250

K——--------------------=-------------------=—=5.556>5.024,

(Q+〃)(c+d)(Q+c)(〃+d)25x75x40x609

所以有97.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與性別有關(guān).

19.【答案】(1)證明見解析；(2)

4

解：(1)在五面體A8CDE/中，

因?yàn)樗倪呅蜛3CD是正方形，所以CCV/A8

又因?yàn)?3<=平面A3戶石，82平面A3莊:，所以CQ〃平面A3RE.

(2)因?yàn)樗倪呅蜛BC。是正方形，所以CO1AD

又因?yàn)镃O1AE,又A￡>cAE=A,ARAEu面人?！?所以C￡)_L平面AOE

又因?yàn)镺Ku平面ADK,所以81OE.

又因?yàn)锳D1OE,所以以點(diǎn)￡)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,OE分別為x,V,z軸，如圖建立空間直角

坐標(biāo)系.

因?yàn)镃D=2EF=2,EF=ED

0(0,0,0),A(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,l).

由(1)CO〃平面ABEE,CDu平面COKE,平面CDEED平面￡F

所以CD”EF,所以麗覺.可得尸(0,1,1).

由題意知平面ADE的法向量為DC=(0,2,0)

設(shè)平面BCF的法向量為n=(x,y,z).

n-BC^O{-2x=Q

由一得C

n-FC=0[y-z=O

令y=l,得z=l,尤=0,所以為=(0,1,1)

設(shè)平面ADE與平面BCF所成銳二面角為0.

|"五|272

8S*阿丁萬T三

所以平面ADE與平面5CF所成銳二面角為￡

4

20.【答案】(1)?+?=1；⑵是，定點(diǎn)為(石,0)和卜6,0).

(1)設(shè)右焦點(diǎn)為上，則|耳,=#7￥=6=歸閘

」.(||+1N可)111ax=4+26-石=4+?

x-.]NF\=2a-\NF]

.-.\MN\+\NF\^MN\-\NFi\+2a<\MFl\+2a

即N點(diǎn)為M”與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，周長最大

,.1\MF^-V5,所以2a+石=4+石na=2,c=l

：.b=a2—c2=y/3

/v2

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^-=1

43

（2）由⑴知A（-2,0）,設(shè)3（拓,％），則。（一毛，一%）

當(dāng)直線BC斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為丫=辰

y=kx

12

聯(lián)立《2y2得/

上X+乙=13+4公

43

2月

.??x0=---------

令尤=0,得y

同理得。

2k

?」PQI=

1+上合

設(shè)PQ中點(diǎn)為s,則s[o,-4

.”22699c

即x1+y2+—y+—7=-7+3

k4k24k2

r6

即x2+y02+—y-3=0

k

令y=0,得x=±百

所以過點(diǎn)（6,0）和卜6,0）,且為定點(diǎn).

當(dāng)直線5c斜率不存在時(shí)，容易知道B（0,百）,C（0,-百）

此時(shí)P(0,b),Q(0,一6)

所以以P。為直徑的圓是以原點(diǎn)為圓心，&為半徑的圓，顯然也過定點(diǎn)（百,0）和卜君,0）

綜上，此圓過定點(diǎn)（6,0）和卜6,0）

21.【答案】（1）極小值1,無極大值；（2）答案見解析；（3）[-1,+8）.

(1)/'(x)=x-sinx,

因?yàn)?x-sinx)'=1-cosxNO,

所以/'（X）在（y,y）單增,又/'（0）=0,

所以當(dāng)Xe（-00,0）時(shí)，/'（X）＜（）J（X）單調(diào)遞減;

當(dāng)XC((),+?)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

故當(dāng)x=0時(shí)，/（X）取極小值/（0）=1,無極大值.

(X2

(2)g'(x)1-2------FCOSX—1(e"-a),

?2

由(1)知，/(x)>/(()),即1+cosx_1>0.

當(dāng)avo時(shí)，e*-?！?,8，(%)20,8(力在(-<?,+00)單增；

當(dāng)。>0時(shí)，令e*—a=0，得尤=In。.

于是，當(dāng)XG(-oo,lna),e*-a<0,g'(x)W0,g(x)單減,

當(dāng)xe(lna,+oo),ev-a>0,g,(x)>0,g(x)單增.

綜上，當(dāng).40時(shí)，g(x)在(-8,+8)單增；

當(dāng)a>0時(shí),g(x)在(fo,lna)單減，在(lna,+o。)單增.

(3)令〃(x)=/'(X)—e'-區(qū)+1,則〃(x)=-e*+(l—/?)x-sinx+l,xe［(),+oo).

k'(x)=—e*-cosx+1—/?,//(%)的導(dǎo)函數(shù)