2021年高考數(shù)學(xué)模擬試卷（帶解析）

2021年高考數(shù)學(xué)模擬聯(lián)考試卷

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)

中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.））

1.設(shè)集合4={%比2+%—2<0},B={x\0<x<3},則4UB=（）

A.{x|-2<x<3}B.{x|0<x<1}C.{x|-1<x<3]D.{x|0<x<2}

2.已知i是虛數(shù)單位，z是復(fù)數(shù)，若（l+3i）z=2-i,則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

7.777.

--1--------1

A.10B.10C.10D.10

71

3.在△4BC中，“sin4=cosB"是"C=2"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.函數(shù)f（x）=ln（5/PTT+kx）的圖象不可能是（）

5.已知圓/+y2-4%+4y+。=0截直線％+y-4=0所得弦的長度小于6,則實(shí)數(shù)Q

的取值范圍為（）

A.(8-V17，S+V17)B,(8-^17?8)

C.(-9,4-oo)D.(-9,8)

(X2+2)(x--),

6.X的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是()

A.-5B.15C.20D.-25

7.已知雙曲線C5-，=l（a>0,b>0）的實(shí)軸長為16,左焦點(diǎn)為F,M是雙曲線C的

一條漸近線上的點(diǎn)，且OM_LMF,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若SA°MF=16,則雙曲線C的離心率

為（）

A.—B.V5C.V3D.—

22

]

8.已知函數(shù)/（x）=2+1+x+2,若不等式/'（m?鏟+1）+/（m-2X）>5對任意的

x>。恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值為（）

1近-1返

A.V22B/'/2-Ic.2D.i-2

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.））

9.設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù)，且a>b>0,則下列不等式中正確的是（）

上得）a<g）b

A.&DB.ac2>be2C.NND.lga2>lg（ah）

（A>0,O）>0,|。|〈馬

10.函數(shù)/'（%）=力85（3%+樞）2的部分圖象如

q,兀-2兀

圖所示，且滿足23,現(xiàn)將圖象沿%軸向左平移4個單位，得到函數(shù)曠=

g（x）的圖象.

下列說法正確的是（）

試卷第2頁，總18頁

A.g（x）在126上是增函數(shù)

_5兀

x=---

B.g（x）的圖象關(guān)于6對稱

C.g（x）是奇函數(shù)

[工12L][2&a]

D.g（尤）在區(qū)間°12'12」上的值域是13’3」

11.已知四棱錐P-4BCD,底面4BCD為矩形，側(cè)面PCD1平面ABCD,BC=2?

CD=PC=PD=2V6.若點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，則下列說法正確的為（）

A.BM_L平面PCO

B.PA〃面MBO

C.四棱錐M-4BCD外接球的表面積為36兀

D.四棱錐M-4BC0的體積為6

12.設(shè)立為等比數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，滿足臼=3,且％,-2a2,4a3成等差數(shù)列，則下

列結(jié)論正確的是（）

B.3szi=6+CLn

,-----二工建旦

C.若數(shù)列｛aj中存在兩項(xiàng),，as使得MaP“則pS的最小值為3

t=CSn-^=Cir衛(wèi)

D.若恒成立，則Tn—t的最小值為6

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.））

己知1及|=2,|b|=i,a+b=(2,-v3),則|a+2b戶

13.

_2L返2L

14.若V3cos(3—a)-sina=3,則sin(2a+6)=

15.已知直線y=2x-2與拋物線y2=8x交于A,B兩點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F,則FA?

FB的值為.

x-m

班已知函數(shù)6ln(-x)g(x)=

2

x2x,若函數(shù)

h(x)=g(f(x))口

m有3個不同的零點(diǎn)X2>x3,且％1<%2<刀3，貝療(%1)+

/(x2)+2/(向)的取值范圍是.

四、解答題(本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.))

17.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面4BCD是直角梯形，Z.DAB=90°,AD//BC,

AD1.側(cè)面PAB,APAB是等邊三角形，￡M=4B=2,BC=\AD,E是線段4B的中

點(diǎn).

(1)求證：PEJ.CD；

(2)求PC與平面PDE所成角的正弦值.

②8s-Fsi遙3

18.在①Esin4+asinB=4csin4sinB,=2,③

(a-?b)sinA+bsinB=csinC,這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面的問

試卷第4頁，總18頁

題中，并解決該問題.

15

已知△力BC中，a,b,c分別為內(nèi)角4,B,C的對邊，sin力sinB=4,c=2,

,求角C及△ABC的面積S.

n

19.己知數(shù)列｛&J滿足的=-5,且a九+2an_!=（-2）-3（n>2且nGN*）.

（1）求取，。3的值；

aj入

（2）設(shè)%=（-2）n,是否存在實(shí)數(shù)九使得｛與｝是等差數(shù)列？若存在，求出;i的值,

否則，說明理由.

（3）求｛%｝的前n項(xiàng)和％.

20.為了緩解日益擁堵的交通狀況，不少城市實(shí)施車牌競價策略，以控制車輛數(shù)量.某

地車牌競價的基本規(guī)則是：①"盲拍"，即所有參與競拍的人都是網(wǎng)絡(luò)報(bào)價，每個人并

不知曉其他人的報(bào)價，也不知道參與當(dāng)期競拍的總?cè)藬?shù)；②競價時間截止后，系統(tǒng)根

據(jù)當(dāng)期車牌配額，按照競拍人的出價從高到低分配名額.某人擬參加2018年4月份的

車牌競拍，他為了預(yù)測最低成交價，根據(jù)競拍網(wǎng)站的公告，統(tǒng)計(jì)了最近5個月參與競拍

的人數(shù)（如表）：

月份2017.112017.122018.012018.022018.03

月份編號t12345

競拍人數(shù)y（萬人）0.50.611.41.7

（1）由收集數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合競拍人數(shù)y（萬人）與月份編

號t之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回歸方程：y=bt+a,并預(yù)測

2018年4月份參與競拍的人數(shù)；

（2）某市場調(diào)研機(jī)構(gòu)對200位擬參加2018年4月份車牌競拍人員的報(bào)價價格進(jìn)行了一

個抽樣調(diào)查，得到如表一份頻數(shù)表：

報(bào)價區(qū)間（萬元）■2)[2,3)[3,4)[4,5)56)[6,7]

頻數(shù)206060302010

⑴求這200位競拍人員報(bào)價X的平均值x和樣本方差s2（同一區(qū)間的報(bào)價可用該價格區(qū)

間的中點(diǎn)值代替)；

(")假設(shè)所有參與競價人員的報(bào)價X可視為服從正態(tài)分布N(〃,d),且“與可分別由

⑴中所求的樣本平均數(shù)x及s2估值.若2018年4月份實(shí)際發(fā)放車牌數(shù)量為3174,請你合

理預(yù)測(需說明理由)競拍的最低成交價.

參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程y=bx+a,其中b=絲，a=y-bXi

Si=inxi2-W

②/=i#=55,1=色切=18.8,TL7x1.3；

③若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(〃,d),則P(〃—cr<Z<〃+b)=0.6826,PQi—

2。VZV〃+2a)=0.9544,尸(〃一3。<ZV〃+3。)=0.9974.

22

C：馬座或1(a>b>0)1

2i.已知橢圓ab的離心率為2,直線

1：y=--z-x+2

/與橢圓C有且僅有一個公共點(diǎn)4

(1)求橢圓C的方程及4點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)設(shè)直線，與％軸交于點(diǎn)B.過點(diǎn)8的直線與C交于E,F兩點(diǎn)，記4在x軸上的投影為G,

7為BG的中點(diǎn)，直線4E,AF與％軸分別交于M,N兩點(diǎn).試探究?|7W|是否為定值?

若為定值，求出此定值，否則，請說明理由.

22.已知函數(shù)/(%)=/-2mx+21nx(m>0).

(1)討論函數(shù)/'(%)的單調(diào)性；

(2)若%1，不為函數(shù)/(%)的兩個極值點(diǎn)，且%1，小為函數(shù)九(%)=皿％-c/一bx的兩個

、蚯

零點(diǎn)，%!<x2.求證：當(dāng)S時，

X1+x-

(X]-X2)h’(------9-)

試卷第6頁，總18頁

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)

中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.

【答案】

A

【解析】

此題暫無解析

2.

【答案】

B

【解析】

此題暫無解析

3.

【答案】

B

【解析】

此題暫無解析

4.

【答案】

C

【解析】

觀察選項(xiàng)可知，A,B選項(xiàng)中的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，即為奇函數(shù)，C,。選項(xiàng)的函數(shù)

圖象關(guān)于y軸對稱，即為偶函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)解析式判斷得出結(jié)論

5.

【答案】

D

【解析】

此題暫無解析

6.

【答案】

D

【解析】

（X-）6

求出X展開式的通項(xiàng)公式，分別令x的指數(shù)為0,-2,求出對應(yīng)的7?值，從而

計(jì)算得解.

7.

【答案】

A

【解析】

求得雙曲線C一條漸近線方程為y運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合勾股定理和

三角形的面積公式，化簡整理解方程可得c=4遮，進(jìn)而得到雙曲線的離心率.

8.

【答案】

C

【解析】

此題暫無解析

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分J

9.

【答案】

A,C,D

【解析】

此題暫無解析

10.

【答案】

B,C,D

【解析】

此題暫無解析

11.

【答案】

B,C

【解析】

設(shè)4CnDB=0,取CD中點(diǎn)為E,連接4E,可得PE=3a.AE=3五,PA=

>JPE2+AE2=6.

A,根據(jù)，PB=6豐BC,即可判定平面PCD不可能；

B,由OM〃P4可得24〃面MBD；

C,由OM=。0=OB=OC=。4=3,即可得四棱錐M-4BCD外接球的表面積.

D,利用體積公式可得四棱錐M-4BCD的體積為U3VP-ABCD=|x|x2V3x2V6x

3a=12.

12.

【答案】

A,B,D

【解析】

此題暫無解析

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分J

13.

【答案】

2M

【解析】

此題暫無解析

14.

【答案】

5

T

試卷第8頁，總18頁

【解析】

此題暫無解析

15.

【答案】

-11

【解析】

此題暫無解析

16.

【答案】

,o)U(o,2)

ee

【解析】

此題暫無解析

四、解答題(本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.

【答案】

(1)證明:1??4D1側(cè)面PZB,PEu平面P4B,

AD±EP.

又???ZiPaB是等邊三角形，E是線段48的中點(diǎn)，

AB1EP.

ADnAB=A,

PE_L平面4BCD.

CDu平面4BCD,

PE1CD.

(2)解：以E為原點(diǎn)，EA,EP分別為y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

ED=(2,1,0),EP=(0,0,V3),PC=(1,-1,-V3).

設(shè)蔡=(x,y,z)為平面PDE的一個法向量.

n-ED=2%4-y=0/

(n-EP=v3z=0,

令％=1,可得n=(1,—2,0).

設(shè)PC與平面PDE所成的角為仇得

sin0=Icos<PC-n>\=」二。

|PC|-|n|

所以PC與平面POE所成角的正弦值為，

【解析】

(I)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和正三角形性質(zhì)，得AD1EPS.AB1EP,從而得到PE，平

面ZBCD.再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理，可得PE1CD；

(〃)以E為原點(diǎn)，EA,EP分別為y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.可得E、C、

D、P各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量晶、EP,而的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積等于。的

方法，可得平面PDE一個法向量曾=(1,-2,0),最后根據(jù)直線與平面所成角的公式，

可得PC與平面PDE所成角的正弦值為|.

18.

【答案】

若選①bsinA+asinB=4csin4sinB,

因?yàn)閎sinA+asinB=4csin4sinB,

所以由正弦定理得sinBsinA+sin/lsinB=7sinCsin力sinB,

即2sinBsin4=4sinCsinAsinB,所以

C=csinAsinB=

若6,由

B<

7，

sinAsinB<C-7

從而4,矛盾.

K

故6,

接下來求^4BC的面積S.

2R=

sinC

法一：設(shè)A/IBC外接圓的半徑為R,則由正弦定理，得

a=2Rsin4=5sin/l,b=2RsinB=4sinB,

ab=16sinAsinB=4（l-h/5）,

試卷第10頁，總18頁

9ii

.SAABCaabsinC二百X4（1+夜）X萬=5*K/5

V5....._V3

~^rcosAcosD-sinAsinB=—

法二：由題意可得cosC=?,即2,

5W3

sinAsinB=

4

2-M

cosAcosB=~T~

3

cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB^"

A-*，罕）

8o

K71

A-B=—B-A=

4或T,

K8兀

當(dāng)A-B;飛一時,A+B=

又—

兀

2sin-r-

csinB4

b-=272

sinC

silTT

由正弦定理，得

SAABC=4bcsinA=yX2V2X6sin-^-=2V8（除Xy-^y-X坐）=7+V§

K

當(dāng)B人3時，同理可得SAABC_4+J5,

故AABC的面積為

cos2C_2V3sin咚W5=2

選②2,

cos2C_6V3sin2-7_+V3=2

因?yàn)?v°,

所以4cos^C_(l-cosC)+V3-4=0

即2cos%+禽。。$03=2,(2COSC-A/3)(COSC+J5)=0,

所以8SJ5或cosC=-?

(舍)，

K

c=-^-

因?yàn)閏e(o,yr)f,

以下同解法同①.

選③(a-V3b)sinA+bsinB=csinC(

由(a-J§b)sinA+bsinB=csinC,及正弦定理得

(a-V5b)a+b2=c2,

222

gpa+b-c=V4ab(

2,,22人份

a+b-c73

cosC='

由余弦定理得2ab3,

兀

0<C<71,.?

以下解法同①.

【解析】

._l

sinrC-TT

若選①由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得2,結(jié)合范

圍C6（0,兀），可求C的值，接下來求△ABC的面積S,

法一：設(shè)△力BC外接圓的半徑為R,則由正弦定理可求ab的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積

公式即可求解.

返1

法二：由題意可得cosC=2,利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求cos（4-B）=2,

5兀5兀

A-B€J）可求，,B的值，由正弦定理得b,利用三角

結(jié)合范圍6'6

形的面積公式即可求解.

選②利用二倍角公式化簡己知等式，可得（2cosC-?）（cosC+V3）=0,解

得cosC,結(jié)合范圍ce（0,兀），可求c的值，以下同解法同①.

選③由已知利用正弦定理得a2+b2-c=V3ab（由余弦定理得c°sc,結(jié)合范

圍0<C<7T,可求c的值，以下解法同①.

19.

試卷第12頁，總18頁

【答案】

由題設(shè)，知an+2an_]_(一4)一土

令y2,有及2+22廣(-6)2-3,得&=]1，

令『3,有23+822=(-2)3-3,得的=_33；

「入」一

I+2b

由(I),可得5—2-2,(-2)24,

a3+X,X-33

“=(—4尸=-8

X+11入-5入-33

—十一

若數(shù)列出工是等差數(shù)列，則有7b2=&+仇，即2-3-8,解得

2=1,

下證：當(dāng)；1=7時,數(shù)列｛b｝是等差數(shù)列，

由an+2a加廣(一8)一與可得八+2廝=(_2嚴(yán)_7,

n+2

an+1+3an+3(-2)-3-2an+5an+2

n+1n

bn+1-bn=(-2).(-2)=(-2)nr一(-2)口=

(-27的-2-2an+2an+2

(-2嚴(yán)8=],

ai+1

b3=——=2!

數(shù)列｛%｝是公差為1的等差數(shù)列，又一4，二%=n+l，

故存在4=3使得數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列；

ajl

bn=--------^n+8

由(2),可得(-2),

,a=(n+l)*(-2)n-8

,?，

/T“=2?(-2)+8?(-2)2+7?(-2)3+…+(n+2)?(-2)n

令n,

則

41tH

(-2)Tn=6?(-2)2+5?(-2)?+4?(-2)+-+(n+4)*(-2)

8n

兩式相減,得2)n+3

47n=-4+[(—2)+(―2>+…7)]—(n+1),(―

4[7-(-2尸]8+(7n+4)?(-2嚴(yán)7

=-4+4+2-(n+1)-(-2)n+1--3

8+(2n+4)?(-2嚴(yán)7

■-?rn=-9,

-(3n+4)?(-2)*1-4

.5n=9F

【解析】

此題暫無解析

20.

【答案】

由題意求出C=3,

y=1.04.

由E之1t/=55>Yti=lstiyi=18.8,

Xi=lnxiyi—nxy18.8—5X3X1.043.2

b=――=0.32

著二M一心—55-5x3210

那么a=y-bx=1.04-0.32x3=0.08

從而得到回歸直線方程為y=0.32x+0.08.

當(dāng)t=6時，可得y=0.32x6+0.08=2(萬)

①根據(jù)表中數(shù)據(jù)求解平均值x=黑x1.5+黑x2.5+黑x3.5+三x4.5+黑x

5.5+—x6.5=3.5.

樣本方差S2=(-2)2X券+(-M)X黑+0+MX券+22X黑+32X『1.7.

(ii)P=0.1587.

''20000

正態(tài)分布N(〃,。2),可得(3.5,1.72)

P(ji—a<Z<n+a)=0.6826,

即3.5-1.7<Z<5.2.

P(Z>5.2)==0.1587,

2018年4月份競拍的最低成交價為5.2萬元.

【解析】

(1)由題意求出t,y,￡=母岸，若=1“9，代入公式求值，從而得到回歸直線方程;

(2)根據(jù)(1)求出P.根據(jù)表中數(shù)據(jù)求解平均值x和樣本方差s2,由正態(tài)分布

NQM),則pa-crvz<"+<?)=0.6826,由此可得3.5-1.7<Z<5.2.P(Z>

5.2)=上詈=0.1587,從而預(yù)測競拍的最低成交價.

試卷第14頁，總18頁

21.

【答案】

設(shè)C的半焦距為c,則a2,即a6=4<2,b7—a2—c2—8c2,

2223

X,y_X_y1

c：+1H+-b=

r2c2-/2n21：y~x+6

所以5cbe,聯(lián)立4c3c與，2,

得/—2x+2—3c2=7,依題意4=4—4(6—3c2)=2,

解得。2=1,所以a6=%匕2=3,

2”7

—+^-=1

故橢圓c的方程為43.

此時X8-2X+4-4C2=0,即%2―2%+1=7,

17

根為口，貝1方*1+2而,

所明點(diǎn)坐標(biāo)為Q1

傳，7)

易知8(4,4),乙

若直線EF的斜率為0,此時M(-2,N(3,0),0),

|TM|=4ITN14ITN1=1|TM|=4ITM|-|TN|4

2,5或2,2,則2,

72

“—=1

若直線EF的斜率不為0,設(shè)直線EF的方程為刀=7!丫+447,

得(3M+4)y2+24ny+36=5,

-24n36

=yy=

yi+y4—2-i2―2—

設(shè)Ea,yi),F(x5,y2),則3n+4,3n+4,

4力53(X1-1)、

”(卜7—3，5)

可得直線AE的方程為1，則71

3(x「5)36(X1-1)(3n+6)y1+43(2n+2)y4+3

|TM|=y-2-H—H------------------------------------------=—?-----------------------

2y「323yr32(2y2-3)22y8-3

同理，y5°,所以

河?初號。+2"3(2n+6)y2+3

2y6-37y2-3

293n+n+20)

[(5n+2)yj+4][(2n+2)y2+3]=(2n+6)yjy5+3(2n+2)(yj+y2)+8=^^-

9(2/+16"20)

(27^2)(2y-4)=4yy-6(y+y)+9=

216173n2+4

Q

ITMHITNI-

所以

Q

|TM|-|TN|-r

綜上,4為定值.

【解析】

此題暫無解析

22.

【答案】

由于/(%)=—-2mx+51nx,xe(0,

22(x8-mx+l)

.0./,(x)=2x-2m4-X=X

對于方程/一nix+7=0,A=m2-8,

當(dāng)機(jī)2一443,即Ov巾42時，

故/(%)在(4,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

當(dāng)62—4>3,即zn>2時2—mx