第16章-質(zhì)點的運動微分方程

引言2.力學模型：1.動力學的研究內(nèi)容：研究物體的機械運動與它的質(zhì)量和受力情況之間的關(guān)系。(1)質(zhì)點：具有一定質(zhì)量，而其形狀和大小對所研究的問題不起主要作用，可以忽略不計的物體。例如：研究衛(wèi)星的軌道時，衛(wèi)星質(zhì)點；

剛體作移動時,剛體質(zhì)點。第一頁第二頁，共30頁。(2)質(zhì)點系：由有限或無限個有著一定聯(lián)系的質(zhì)點組成的系統(tǒng)。非自由質(zhì)點系：質(zhì)點系中的質(zhì)點的運動受到約束的限制。質(zhì)點系是力學中普遍的抽象化模型；包括剛體、彈性體、流體。自由質(zhì)點系：質(zhì)點系中各質(zhì)點的運動不受約束的限制。

剛體是一個特殊的質(zhì)點系，由無數(shù)個相互間保持距離不變的質(zhì)點組成。又稱為不變質(zhì)點系。第二頁第三頁，共30頁。3.動力學分類：質(zhì)點動力學質(zhì)點系動力學質(zhì)點動力學是質(zhì)點系動力學的基礎(chǔ)。4.動力學的基本問題：大體上可分為兩類：綜合性問題：已知部分力，部分運動求另一部分力、部分運動。已知主動力，求運動，再由運動求約束力。

第一類：已知物體的運動情況，求作用力；第二類：已知物體的受力情況，求物體的運動。第三頁第四頁，共30頁?！?6-1動力學基本定律動力學基本定律是動力學的基礎(chǔ),但它們只能直接應(yīng)用于質(zhì)點。對于質(zhì)點系,應(yīng)該將它們分別應(yīng)用于每一質(zhì)點,然后導(dǎo)出質(zhì)點系的運動規(guī)律。質(zhì)點是物體最簡單、最基本的模型，是構(gòu)成復(fù)雜物體系統(tǒng)的基礎(chǔ)，質(zhì)點動力學基本方程給出了質(zhì)點受力與其運動變化的關(guān)系，質(zhì)點動力學的基礎(chǔ)是三個基本定律，這些定律是牛頓在總結(jié)前人研究成果基礎(chǔ)上提出的，稱為牛頓三定律。1.動力學基本定律第四頁第五頁，共30頁。第一定律（慣性定律）質(zhì)點如不受外力作用，則將保持靜止或作勻速直線運動。質(zhì)點保持靜止或作勻速直線運動，也就是保持其運動狀態(tài)不變，這種性質(zhì)稱為慣性。故點的勻速直線運動，稱為慣性運動。所以第一定律也稱為慣性定律。當質(zhì)點受到外力作用，而這些作用又不互相抵消時，它的運動狀態(tài)將按一定規(guī)律發(fā)生變化。第二定律就表明了這一變化規(guī)律。第五頁第六頁，共30頁。第二定律（力與加速度之間關(guān)系的定律）(16-1)質(zhì)點受外力作用時，將產(chǎn)生加速度，加速度的方向與力的方向相同，大小與力的大小成正比。上式稱為質(zhì)點動力學基本方程。當質(zhì)點受到多個力作用時，該式中的力

應(yīng)為匯交力系的合力；從該式還可以看出，質(zhì)點質(zhì)量越大，其運動狀態(tài)越不容易改變，也就是質(zhì)點的慣性越大，因此，質(zhì)量是質(zhì)點慣性的度量。第六頁第七頁，共30頁。第三定律（作用與反作用定律）

由于作用與反作用，引起了機械運動在相互作用的兩質(zhì)點（物體）間發(fā)生轉(zhuǎn)移。力就是這種機械運動轉(zhuǎn)移的反映。兩個質(zhì)點間相互作用的力，總是大小相等，方向相反，且沿著同一直線，分別作用在這兩個質(zhì)點上。在靜力學里，研究物體的平衡用到它。在動力學里，這一定律依然成立。第七頁第八頁，共30頁。以牛頓三定律為基礎(chǔ)的力學，稱為古典力學或經(jīng)典力學，在此范疇，質(zhì)量、空間和時間是“絕對”的，與運動沒有關(guān)系，但近代物理已經(jīng)證明，質(zhì)量、時間和空間都與物體的運動速度有關(guān)，只是當物體的運動速度遠小于光速時，物體的運動對質(zhì)量、時間和空間的影響是微不足道的。2.慣性參考系動力學基本定律在其中能正確成立的參考系稱為慣性參考系,簡稱慣性系。在一般問題中,與地球固接的參考系或相對于地面作慣性運動的參考系,可近似看成慣性系。第八頁第九頁，共30頁。要使車子在水平直線軌道上勻速前進，為什么還需不斷對它施加水平推力？這與慣性定律有無矛盾？試比較下述幾種情況下站在電梯中的人對電梯地板的壓力大?。?a)電梯靜止不動；(b)電梯勻速上升；(c)電梯勻速下降；(d)電梯加速上升；(e)電梯減速下降。思考題16-1思考題16-2第九頁第十頁，共30頁。以下說法是否正確？(a)質(zhì)點如有運動則它一定受力，其運動方向總是與所受力的方向一致；(b)質(zhì)點運動時，如速度大則它所受的力也大，速度小則所受的力也小，若速度為零則質(zhì)點不受力；(c)機車以某一力牽引車輛加速前進時，車輛給機車的反力必小于機車對列車的牽引力。思考題16-3若不計空氣阻力，自由下落的石塊與向下仍（即給以向下的初速）的石塊，哪一個加速度較大？思考題16-4第十頁第十一頁，共30頁?！?6-2質(zhì)點的運動微分方程(16-2)(16-3)

動力學基本方程是矢量方程，為了便于計算，常將它改寫成投影式，并表示為微分形式的方程，稱為質(zhì)點的運動微分方程。第十一頁第十二頁，共30頁。(16-4)1.質(zhì)點運動微分方程在直角坐標投影設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點M，作平面曲線運動。取直角坐標系Oxy，將質(zhì)點受到的力與加速度在直角坐標軸上投影得：第十二頁第十三頁，共30頁。式(16-4)和(16-5)是兩種常用的質(zhì)點運動微分方程?？梢郧蠼赓|(zhì)點動力學兩類問題。2.質(zhì)點運動微分方程在自然軸上投影(16-5)動力學基本方程在自然軸系上的投影為：由運動學知第十三頁第十四頁，共30頁。5)求解未知量。(1)第一類：已知質(zhì)點的運動，求作用在質(zhì)點上的力（微分問題）解題步驟和要點：1)正確選擇研究對象；（一般選擇聯(lián)系已知量和待求量的質(zhì)點）。2)正確進行受力分析,畫出受力圖；(應(yīng)在一般位置上進行分析)。3)正確進行運動分析；（分析質(zhì)點運動的特征量）。4)選擇并列出適當形式的質(zhì)點運動微分方程；（建立坐標系）。第十四頁第十五頁，共30頁。5)求解未知量。根據(jù)力的函數(shù)形式?jīng)Q定如何積分，并利用運動的初始條件，求出質(zhì)點的運動。(2)第二類：已知作用在質(zhì)點上的力，求質(zhì)點的運動（積分問題）解題步驟如下：1)正確選擇研究對象。2)正確進行受力分析，畫出受力圖。判斷力是什么性質(zhì)的力（應(yīng)放在一般位置上進行分析，對變力建立力的表達式）。3)正確進行運動分析。(除應(yīng)分析質(zhì)點的運動特征外，還要確定出其運動初始條件）。4)選擇并列出適當形式的質(zhì)點運動微分方程。第十五頁第十六頁，共30頁。橋式起重機跑車用鋼絲繩吊掛一質(zhì)量為m的重物，沿水平橫梁作勻速運動，速度為v0，重物中心至懸掛點距離為l。突然剎車，重物因慣性繞懸掛點向前擺動，求鋼絲繩的最大拉力。解：1.選重物(抽象為質(zhì)點)為研究對象2.受力分析3.運動分析，沿以懸掛點為圓心,l為半徑的圓弧擺動。例題16-1第十六頁第十七頁，共30頁。4.列出質(zhì)點運動微分方程5.求解未知量例題16-1P=mg第十七頁第十八頁，共30頁。例題16-1[討論](1)減小繩子拉力途徑：減小跑車速度或者增加繩子長度。(2)拉力FTmax由兩部分組成,一部分等于物體重量,稱為靜拉力。一部分由加速度引起，稱為附加動拉力。全部拉力稱為動拉力。第十八頁第十九頁，共30頁。例題16-2煤礦用填充機進行填充,為保證充填材料拋到距離為s=5m，H=1.5m的頂板A處。求(1)充填材料需有多大的初速度v0

？(2)初速

與水平的夾角j0？不計空氣阻力。第十九頁第二十頁，共30頁。選擇填充材料M為研究對象，畫受力圖，M作斜拋運動。解：已知力為常量，屬于第二類問題。第二十頁第二十一頁，共30頁。列直角坐標形式的質(zhì)點運動微分方程并對其積分運算第二十一頁第二十二頁，共30頁。代入最高點A處值，得：即將到達A點時的時間t，x=s，y=H

代入運動方程，得第二十二頁第二十三頁，共30頁。拋射初速度大小與發(fā)射角j0為：第二十三頁第二十四頁，共30頁。鉛垂上拋的物體，至少應(yīng)具有多大的初速才可不再回到地球。這一速度稱為第二宇宙速度。不計空氣阻力。例題16-3解：取物體（視為質(zhì)點)為研究對象，建立坐標，并作受力圖。M——地球質(zhì)量，f——萬有引力常數(shù)第二十四頁第二十五頁，共30頁。則在任意位置時的速度即：例題16-3第二十五頁第二十六頁，共30頁。可見，v隨著x的增加而減小。若則在某一位置x=R+H時速度將減小到零，物體回落。若時，無論x多大（甚至為∞），物體也不會回落。因此脫離地球引力而一去不返時（）的最小初速度（第二宇宙速度）例題16-3第二十六頁第二十七頁，共30頁。站在磅秤上的人，在他突然下蹲的瞬時，指針向讀數(shù)大的一邊偏，還是向讀數(shù)小的一邊偏？為什么？思考題16-4答：靜止時，F(xiàn)N=P突然下蹲時，aC方向向下，-maC=FN-P，F(xiàn)N=P-maC<P,