變幅桿位移節(jié)點和應變極大位置的關系

變幅桿位移節(jié)點和應變極大位置的關系劉豆豆;賀西平;李家星【摘要】針對常見單一形狀函數(shù)縱振變幅桿，采用解析方法研究了諧振長度、位移節(jié)點和應變極大點之間的關系。計算發(fā)現(xiàn)在諧振頻率下，變幅桿位移節(jié)點與應變極大點位置之和約等于其一階諧振長度。對新型的貝茲曲線變幅桿也做了相應計算，結(jié)果驗證了該結(jié)論的正確性，此結(jié)論有助于變幅桿設計計算過程的簡化。%Usingtheanalyticalmethod,therelationofresonantlengthwithdisplacementnodeandstrainmaximapointofthecommonhornsisstudiedinthiswork.Itcanbefoundthatthesumofdisplacementnodeandstrainmaximaissubstantiallyequivalenttoitsresonantlength.Suchrela-tionofthenewtypeBezier-profilehornisalsocalculated,andthenumericalcalculationagreewellwiththeresultsobtainedfromthecommonhorns.Relyontherelations,theprocessofdesignandcalculationcanbesimplified.【期刊名稱】《陜西師范大學學報（自然科學版）》【年(卷)，期】2014(000)003【總頁數(shù)】4頁(P48-51)【關鍵詞】變幅桿;貝茲曲線變幅桿;諧振長度;位移節(jié)點;應變極大點【作者】劉豆豆;賀西平;李家星【作者單位】陜西師范大學物理學與信息技術(shù)學院，陜西西安710119；陜西師范大學物理學與信息技術(shù)學院，陜西西安710119；陜西師范大學物理學與信息技術(shù)學院，陜西西安710119【正文語種】中文【中圖分類】O426.1變幅桿是超聲波振動系統(tǒng)中一個重要的組件.常見的單一形狀函數(shù)的變幅桿有階梯形、圓錐形、指數(shù)形、懸鏈線形等，其設計方法有多種，如傳統(tǒng)解析法、等效電路法、替代法、傳輸矩陣法、有限元法等［1］.上述變幅桿都有解析解，文獻［2-5］利用傳統(tǒng)方法計算了單一形狀函數(shù)變幅桿的位移節(jié)點、應變極大點、放大系數(shù)等性能參數(shù).新型的貝茲曲線變幅桿，相對于傳統(tǒng)形狀變幅桿，在滿足許用應力下有更大的振幅比［6］.這種新型變幅桿設計復雜，解析解較難尋求，文獻［7-8］使用數(shù)值計算方法，改變參數(shù)步長，生成貝茲曲線；文獻［9］利用遺傳算法，結(jié)合有限元分析，提出了貝茲曲線變幅桿的設計方法.由于變幅桿的諧振頻率方程通常是超越方程，在給定的工作頻率下，計算和設計變幅桿諧振長度、位移節(jié)點和應變極大點位置的過程是比較繁雜的.本文對常見單一形狀函數(shù)變幅桿以及貝茲曲線變幅桿的諧振長度、位移節(jié)點和應變極大點（也是應力極大值）之間關系的計算發(fā)現(xiàn)，節(jié)點與應變極大點位置之和都基本等于變幅桿的一階縱振型諧振長度.這一結(jié)論有助于變幅桿計算過程的簡化.1圓柱形變幅桿圓柱形變幅桿兩端面半徑相同，通常只用于傳振.該類型變幅桿諧振長度為入/2,中心位置入/4處既是其位移節(jié)點又是其應變極大點，故有l(wèi)p=x0+xM,其中l(wèi)p表示諧振長度，x0表示位移節(jié)點，xM表示應變極大點.2變截面變幅桿設D1、D2分別為變幅桿大端和小端面的直徑.大端直徑設在x=0處，小端直徑設在x=lp處.2.1階梯形變幅桿階梯形變幅桿，諧振長度lp=A/2,通常使用的階梯形變幅桿粗端與細端長度均為入/4[10],其應力在突變截面處，位移節(jié)點也在該處，即有l(wèi)p=x0+xM.2.2圓錐形變幅桿圓錐形變幅桿的面積函數(shù)為其中可以得出諧振長度，位移節(jié)點值以及應變極大點值為其中k=3/C=2nf/C,tge=a/k,3為圓頻率，C為縱波在細棒中的傳播速度.2.3指數(shù)形變幅桿指數(shù)形變幅桿的面積函數(shù)為其中N為面積系數(shù).可以得出諧振長度，位移節(jié)點值以及應變極大點值為2.4懸鏈線形變幅桿懸鏈線形變幅桿的面積函數(shù)為其中N為面積系數(shù).可以得出諧振長度，位移節(jié)點值以及應變極大點值其中面積系數(shù)N和諧振頻率f的值確定以后，即可計算出相應的lp、x0、xM值[11-13].諧振狀態(tài)下，材料為45號鋼的各類型變幅桿計算結(jié)果如表1所示，這三者之間的關系如圖1,2和3所示.表1單一變幅桿設計參數(shù)Tab.1Designparametersofthesinglehorn?圖1圓錐形變幅桿各參數(shù)與直徑比關系Fig.1Relationshipbetweenthediameterratioandtheparametersofconicalhorns圖2指數(shù)形變幅桿各參數(shù)與直徑比關系Fig.2Relationshipbetweenthediameterratioandtheparametersofexponentialhorn圖3懸鏈線形變幅桿各參數(shù)與直徑比關系Fig.3Relationshipbetweenthediameterratioandtheparametersofcatenarylinehorn由圖1可以看出，當直徑比N在2到10之間時，圓錐形變幅桿的（xM+x0）/lp值近似等于1（為避免應力集中，通常面積系數(shù)一般都在5以內(nèi)）.由圖2和圖3可以看出，指數(shù)形和懸鏈線形變幅桿（xM+x0）/lp值比較穩(wěn)定，都近似等于1,即這3種變幅桿的位移節(jié)點與應變極大點值之和都近似等于變幅桿的諧振長度.2.5貝茲曲線變幅桿計算任一尺寸的貝茲曲線變幅桿.例如，取材料為45#鋼，楊氏模量為2.09x1011N2/m,泊松比為0.28，密度為7800kg/m3.取貝茲曲線變幅桿面積系數(shù)N=4，大端直徑D1=10mm,小端直徑D2=2.5mm.建立有限元模型，進行模態(tài)計算，得知其一階縱振諧振頻率為f=26093Hz，對應的諧振長度為lp=93mm.如圖4所示.圖4貝茲曲線變幅桿縱振動振型圖Fig.4LongitudinalvibrationmodefigureofBezier-profilehorn對變幅桿的位移節(jié)點值和應變極大值進行計算，作出位移和應變在變幅桿上不同位置的分布圖，如圖5、圖6所示.圖5貝茲曲線變幅桿應力分布圖Fig.5StressdistributionofBezier-profilehorn圖6貝茲曲線變幅桿位移分布圖Fig.6DisplacementdistributionofBezier-profilehorn由以上兩圖可知，在諧振狀態(tài)下，貝茲曲線變幅桿的應變極大點值xM=54.65mm，位移節(jié)點值x0=40.03mm，二者之和x0+xM=94.68mm，近似等于該變幅桿的諧振長度93mm.故對于新型的貝茲曲線變幅桿，這一結(jié)論也是適用的.3結(jié)論對常見單一形狀函數(shù)縱振振型變幅桿及貝茲曲線變幅桿做了相關計算.得出如下結(jié)論：指數(shù)形、懸鏈線形、貝茲曲線形和面積函數(shù)N在5以內(nèi)的圓錐形變幅桿的一階縱振諧振長度基本都等于位移節(jié)點與應變極大點之和；一階縱振諧振時變幅桿的位移節(jié)點與應變極大點不在變幅桿同一位置.本文的計算結(jié)果有助于變幅桿設計過程的簡化，即計算出變幅桿諧振長度、位移節(jié)點和應變極大點中的任意兩個，便于預測出另外一個參數(shù)的值；或者在給定諧振頻率下，確定了變幅桿大、小端半徑，則變幅桿的諧振長度、位移節(jié)點及應變極大點的值和關系即可相應的計算得到.參考文獻：[1]賀西平，高潔.超聲變幅桿設計方法研究[J].聲學技術(shù)，2006,25(1):82-85.[2]林仲茂.超聲變幅桿的原理和設計[M].北京：科學出版社，1987.[3]汪彥軍，賀西平，張頻.超聲變幅桿性能參數(shù)的計算機輔助計算[J].應用聲學，2007,26(3):181-184.[4]阮世勛.超聲變幅桿設計用表的計算機編制[J].應用聲學，1982,4(1):23-53.[5]高潔.超聲變幅桿的優(yōu)化設計及聲學特性分析[D].西安：陜西師范大學物理學與信息技術(shù)學院，2006.[6]Antoniolula,LorenzoParenti,FabioFabrizi,etal.Ahighdisplacementultrasonicactuatorbasedonaflexuralmechanicalamplifier[J].SensorsandActuatorsA,2006,125(2):118-123.[7]程文波，王華軍，盧涵宇，等.基于局部性原理的可變步長Bezier曲線生成算法[J].江西師范大學學報：自然科學版，2010,34(3):308-311.[8]XiaoGuorong,XuXuemiao.Studyonbeziercurvevariablestep-lengthalgorithm[J].PhysicsProcedia,2010,25:482-485.[9]WangDA,ChuangWY,HsuK,etal.DesignofaBezier-profilehornforhighdisplacementamplification[J].Ultrasonics,2011,51(2):1