2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題11.3 二項(xiàng)式定理 （新教材新高考）（練）含答案

2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題11.3二項(xiàng)式定理練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·河北·藁城新冀明中學(xué)高二月考）已知=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0+a1+a2+…+an=16，則自然數(shù)n等于（）A．6 B．5 C．4 D．32．（2021·福建寧德·高三期中）對任意實(shí)數(shù)，有，則（）A．6 B．7C．8 D．103．（2017·全國高考真題（理））(+)(2-)5的展開式中33的系數(shù)為（）A.-80 B.-40 C.40 D.804．（2021·上?！らh行中學(xué)高三期中）展開式的常數(shù)項(xiàng)為20，則實(shí)數(shù)_____________．5．（2021·上?！げ軛疃懈呷谥校┰诘恼归_式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)為___________.6．（2021·廣東福田·高三月考）已知多項(xiàng)式，則________．7．（2021·浙江·模擬預(yù)測）已知，則___________.8．（2021·浙江·模擬預(yù)測）已知，的系數(shù)為______；系數(shù)最大的項(xiàng)是第______項(xiàng).9．（2020·上海市浦東中學(xué)高三月考）在的二項(xiàng)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則常數(shù)項(xiàng)等于__________.10．（2021·山東師范大學(xué)附中高三月考）在二項(xiàng)式的展開式中恰好第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是___________.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·河北·唐山市第十中學(xué)高三期中）若，則等于（）A． B． C． D．2.【多選題】（2021·貴州遵義·高二期末（理））將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，可得到如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，成為“萊布尼茨三角形”，從萊布尼茨三角形可以看出，存在使得，則的值是（）．A． B． C． D．3．【多選題】（2021·湖北武漢·高三期中）已知二項(xiàng)式，則下列說法正確的是（）A．若，則展開式的常數(shù)為60B．展開式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為3C．若展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則D．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大為第4項(xiàng)4．（2021·全國·模擬預(yù)測）的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是___________.（用數(shù)字作答）5.（2021·浙江·學(xué)軍中學(xué)高三期中）在的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為64，則___________.常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為___________.6．（2021·河南·高三月考（理））若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，則該展開式的常數(shù)項(xiàng)為___________.7．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在楊輝三角中，它的開頭幾行如圖所示，則第______行會出現(xiàn)三個(gè)相鄰的數(shù)的比為.8．（2021·浙江·模擬預(yù)測）二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為___________，系數(shù)最大的項(xiàng)為______________.9．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)．10．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求的展開式中含的項(xiàng)．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2019·全國高考真題（理））（1+2x2）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為（）A．12 B．16 C．20 D．242．（2020·北京高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（）．A． B．5 C． D．103．（2020·全國高考真題（理））的展開式中x3y3的系數(shù)為（）A．5 B．10C．15 D．204.（2021·北京高考真題）展開式中常數(shù)項(xiàng)為__________．5.（2021·浙江高考真題）已知多項(xiàng)式，則___________，___________.6．（2019·浙江高考真題）在二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是________；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是_______.專題11.3二項(xiàng)式定理練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·河北·藁城新冀明中學(xué)高二月考）已知=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0+a1+a2+…+an=16，則自然數(shù)n等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】利用賦值法，令即可求解.【詳解】解：因?yàn)?a0+a1x+a2x2+…+anxn，且a0+a1+a2+…+an=16，令，則=a0+a1+a2+…+an=16，所以，故選：C.2．（2021·福建寧德·高三期中）對任意實(shí)數(shù)，有，則（）A．6 B．7C．8 D．10【答案】C【分析】運(yùn)用二項(xiàng)式定理進(jìn)行求解即可.【詳解】，因此，故選：C3．（2017·全國高考真題（理））(+)(2-)5的展開式中33的系數(shù)為（）A.-80 B.-40 C.40 D.80【答案】C【解析】，由展開式的通項(xiàng)公式可得：當(dāng)時(shí)，展開式中的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，展開式中的系數(shù)為，則的系數(shù)為.4．（2021·上海·閔行中學(xué)高三期中）展開式的常數(shù)項(xiàng)為20，則實(shí)數(shù)_____________．【答案】【分析】由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式寫出常數(shù)項(xiàng)，從而可求得參數(shù)．【詳解】展開式通項(xiàng)公式為，，，所以，，故答案為：．5．（2021·上?！げ軛疃懈呷谥校┰诘恼归_式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)為___________.【答案】1120【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為,求出n的值,再寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為,當(dāng)時(shí),即可求出的系數(shù)【詳解】展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為展開式的通項(xiàng)公式當(dāng)時(shí),,即則展開式中的系數(shù)為1120故答案為：11206．（2021·廣東福田·高三月考）已知多項(xiàng)式，則________．【答案】【分析】由題意，為的系數(shù)，和的展開式中都包含項(xiàng)，利用二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式，即得解【詳解】由題意，為的系數(shù)，和的展開式中都包含項(xiàng)故故故答案為：7．（2021·浙江·模擬預(yù)測）已知，則___________.【答案】【分析】由，應(yīng)用二項(xiàng)式定理求展開式通項(xiàng)，結(jié)合題設(shè)確定對應(yīng)的r值，即可求.【詳解】，則展開式通項(xiàng)為，∴時(shí)，故答案為：8．（2021·浙江·模擬預(yù)測）已知，的系數(shù)為______；系數(shù)最大的項(xiàng)是第______項(xiàng).【答案】285【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，然后令的次數(shù)為2，求出，從而可求出，利用二項(xiàng)式的性質(zhì)可求得系數(shù)最大的項(xiàng)【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以的系數(shù)為，因?yàn)榈恼归_式有9項(xiàng)，所以由二項(xiàng)式的性質(zhì)可知系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)，故答案為：28，59．（2020·上海市浦東中學(xué)高三月考）在的二項(xiàng)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則常數(shù)項(xiàng)等于__________.【答案】7【分析】先通過求出n，再通過二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令的次數(shù)為即可求出常數(shù)項(xiàng).【詳解】由已知得，解得的展開式的通項(xiàng)公式為，令，得.故常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：7.10．（2021·山東師范大學(xué)附中高三月考）在二項(xiàng)式的展開式中恰好第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是___________.【答案】6【分析】由已知，根據(jù)二項(xiàng)式定理可得,再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求解【詳解】由已知，展開式中恰好第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大可知，.根據(jù)二項(xiàng)式定理設(shè)第項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則：=,令,解得,所以常數(shù)項(xiàng)是=6故答案為：6練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·河北·唐山市第十中學(xué)高三期中）若，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件可知為展開式中的系數(shù)，利用二項(xiàng)式定理及組合數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：由已知條件可知為展開式中的系數(shù)，則.故選：C.2.【多選題】（2021·貴州遵義·高二期末（理））將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，可得到如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，成為“萊布尼茨三角形”，從萊布尼茨三角形可以看出，存在使得，則的值是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意由可知是第行的第個(gè)數(shù)減去下一行的第個(gè)數(shù)，等于下一行即第行的第個(gè)數(shù)，結(jié)合數(shù)圖進(jìn)行舉例即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得，即是第行的第個(gè)數(shù)減去下一行的第個(gè)數(shù)，等于下一行即第行的第個(gè)數(shù)，其中，當(dāng)時(shí)，為，當(dāng)時(shí)，為，等等.由圖知是與同一行的右邊一個(gè)數(shù)，所以是第行的第個(gè)數(shù)，故.故選：C3．【多選題】（2021·湖北武漢·高三期中）已知二項(xiàng)式，則下列說法正確的是（）A．若，則展開式的常數(shù)為60B．展開式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為3C．若展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則D．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大為第4項(xiàng)【答案】AD【分析】寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，對4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，其中為整數(shù)，且，令，解得：，此時(shí)，故常數(shù)項(xiàng)為60；A正確；B選項(xiàng)：，其中為整數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，滿足有理項(xiàng)要求，故有4項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：令中的得：，所以或，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：展開式共有7項(xiàng)，最中間一項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，而最中間為第4項(xiàng)，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大為第4項(xiàng)，D正確故選：AD4．（2021·全國·模擬預(yù)測）的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是___________.（用數(shù)字作答）【答案】65【分析】先寫出的展開式的通項(xiàng)，令與展開式的項(xiàng)相乘，與展開式的常數(shù)項(xiàng)相乘，相加即為項(xiàng)，計(jì)算系數(shù)即可【詳解】由題意，的展開式的通項(xiàng)，令，得，得；令，得，得.故的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：655.（2021·浙江·學(xué)軍中學(xué)高三期中）在的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為64，則___________.常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為___________.【答案】【分析】令，即可得到展開式所有項(xiàng)的系數(shù)和，從而求出，再寫出展開式的通項(xiàng)，即可求出展開式中的常數(shù)項(xiàng)；【詳解】解：令，則，即，解得；即展開式的通項(xiàng)為，令，即，故展開式中常數(shù)項(xiàng)為故答案為：，；6．（2021·河南·高三月考（理））若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，則該展開式的常數(shù)項(xiàng)為___________.【答案】【分析】根據(jù)的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為0，令求得a，再利用通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_式中各項(xiàng)系數(shù)的和為0，令得，解得，所以的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：-1207．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在楊輝三角中，它的開頭幾行如圖所示，則第______行會出現(xiàn)三個(gè)相鄰的數(shù)的比為.【答案】63【分析】設(shè)第行第個(gè)數(shù)的比是，列方程求解可得．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)所求的行數(shù)為，則存在自然數(shù)，使得且，化簡得且，解得，.故第63行會出現(xiàn)滿足條件的三個(gè)相鄰的數(shù).故答案為：63．8．（2021·浙江·模擬預(yù)測）二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為___________，系數(shù)最大的項(xiàng)為______________.【答案】15【分析】先求得展開式的通項(xiàng)，令x的次數(shù)為0求常數(shù)項(xiàng)；設(shè)系數(shù)最大的項(xiàng)為項(xiàng)，由求解.【詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以，即常數(shù)項(xiàng)為15，設(shè)系數(shù)最大的項(xiàng)為項(xiàng)，則，即，解得，所以系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為：15；9．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)．【答案】【分析】，寫出通項(xiàng)，令的指數(shù)為0，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)．【詳解】：，則，令，則，．所以常數(shù)項(xiàng)為.10．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求的展開式中含的項(xiàng)．【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的形式，以及組合數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，可得展開式中含的項(xiàng)為：.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2019·全國高考真題（理））（1+2x2）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為（）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【解析】由題意得x3的系數(shù)為，故選A．2．（2020·北京高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（）．A． B．5 C． D．10【答案】C【解析】展開式的通項(xiàng)公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.3．（2020·全國高考真題（理））的展開式中x3y3的系數(shù)為（）A．5 B．10C．15 D．20【答案】C【解析】展開式的通項(xiàng)公式為（且）所以的各項(xiàng)與展開式的通項(xiàng)的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為所以的系數(shù)為故選：C4.（2021·北京高考真題）展開式中常數(shù)項(xiàng)為__________．【答案】【詳解】試題分析：的展開式的通項(xiàng)令得常數(shù)項(xiàng)為.5.（2021·浙江高考真題）已知多項(xiàng)式，則___________，___________.【答案】;.【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開式定理，分別求出的展開式，即可得出結(jié)論.【詳解】，，所以，，所以.故答案為：.6．（2019·浙江高考真題）在二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是________；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是_______.【答案】【解析】的通項(xiàng)為可得常數(shù)項(xiàng)為，因系數(shù)為有理數(shù)，，有共5個(gè)項(xiàng)專題11.4隨機(jī)事件的概率與古典概型練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某人進(jìn)行打靶練習(xí)，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，3次中9環(huán)，4次中8環(huán)，1次未中靶，則此人中靶的頻率是（）A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.92．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知A與是互斥事件，且，，則等于（）A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.83.（2019·全國高考真題（文））兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是（）A． B． C． D．4．（2021·廣東順德·高二期中）某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共兩場，第一場投籃20次的命中率為80%，第二場投籃30次的命中率為70%，則該同學(xué)這兩場投籃的命中率為（）A．72% B．74% C．75% D．76%5．（2021·廣東·佛山市南海區(qū)九江中學(xué)高二月考）甲，乙兩人下棋，甲不輸?shù)母怕适?.8，兩人下成平局的概率是0.5，則甲勝的概率是（）A． B． C． D．6.【多選題】（2021·廣東·仲元中學(xué)高二開學(xué)考試）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于該隨機(jī)事件發(fā)生的概率B．某種福利彩票的中獎(jiǎng)概率為，買1000張這種彩票一定能中獎(jiǎng)C．連續(xù)100次擲一枚硬幣，結(jié)果出現(xiàn)了49次反面，則擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為D．某市氣象臺預(yù)報(bào)“明天本市降水概率為70%”，指的是：該市氣象臺專家中，有70%認(rèn)為明天會降水，30%認(rèn)為明天不會降水7．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）從某自動包裝機(jī)包裝的食品中，隨機(jī)抽取20袋，測得各袋的質(zhì)量（單位：g）分別為：492，496，494，495，498，497，503，506，508，507，497，501，502，504，496，492，496，500，501，499.根據(jù)抽測結(jié)果估計(jì)該自動包裝機(jī)包裝的袋裝食品質(zhì)量在497.5～501.5g之間的概率為_______.8．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）從一批乒乓球產(chǎn)品中任取一個(gè)，若其質(zhì)量小于2.45g的概率為0.22，質(zhì)量不小于2.50g的概率為0.20，則質(zhì)量在2.45~2.50g范圍內(nèi)的概率為___________.9．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）操作1：將粒黑芝麻與粒白芝麻放入一個(gè)容器中，并攪拌均勻，再用小杯從容器中取出一杯芝麻，計(jì)算黑芝麻的頻率.操作2：將粒黑芝麻與粒白芝麻放入一個(gè)容器中，并攪拌均勻，再用小杯從容器中取出一杯芝麻，計(jì)算黑芝麻的頻率.通過兩次操作，你是否有所發(fā)現(xiàn)？若有一袋芝麻，由黑、白兩種芝麻混合而成，你用什么方法估計(jì)其中黑芝麻所占的百分比？10.（2021·北京豐臺·高二期中）從兩個(gè)黑球（記為和）、兩個(gè)紅球（記為和）從中有放回地任意抽取兩球．（1）用集合的形式寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）求抽到的兩個(gè)球都是黑球的概率．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·北京豐臺·高二期中）袋子中有4個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中3個(gè)紅球，1個(gè)黃球，從中隨機(jī)抽取2個(gè)球，則抽取出的2個(gè)球恰好是1個(gè)紅球1個(gè)黃球的概率是（）A． B． C． D．2．（2021·北京市第八中學(xué)怡海分校高二期中）某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“只有一次中靶”互斥而不對立的是（）A．至少一次中靶 B．至多一次中靶C．至多兩次中靶 D．兩次都中靶3．（2021·全國·高三月考（文））2019年版高中數(shù)學(xué)人教版教材一共有5本.分別是《必修第一冊》《必修第二冊》《選擇性必修第一冊》《選擇性必修第二冊》《選擇性必修第三冊》，在一次數(shù)學(xué)新教材培訓(xùn)會議上，主持人剛好帶了全套5本新教材，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出了3本送給在場的培訓(xùn)學(xué)員，則恰有1本選擇性必修的新教材被抽到的概率為（）A． B． C． D．4．（2021·廣西南寧·高三月考（文））哥尼斯堡“七橋問題”是著名的古典數(shù)學(xué)問題，它描述的是:在哥尼斯堡的一個(gè)公園里，有七座橋?qū)⑵绽赘駹柡又袃蓚€(gè)島及島與河岸連接起來(如圖1).問是否可能從這四塊陸地中任一塊出發(fā)，恰好通過每座橋一次，再回到起點(diǎn)?瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1736年研究并解決了此問題，他把該問題歸結(jié)為如圖2所示的“一筆畫”問題，并證明了上述走法是不可能的.假設(shè)在圖2所示七條線中隨機(jī)選取兩條不同的線，則這兩條線都與A直接相連的概率為（）A． B． C． D．5．（2021·廣東·廣州市協(xié)和中學(xué)高二期中）在某次圍棋比賽中，甲、乙兩人進(jìn)入最后決賽.比賽取三局二勝制，即先勝兩局的一方獲得比賽冠軍，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲勝乙的概率都為，且各局比賽的勝負(fù)互不影響，在甲已經(jīng)先勝一局的情況下，甲獲得冠軍的概率為（）A． B． C． D．6.（2021·廣東·仲元中學(xué)高一期末）數(shù)學(xué)多選題A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)，在給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全都選對的得5分，部分選對的得2分.有選錯(cuò)的得0分.已知某道數(shù)學(xué)多選題正確答案為BCD，小明同學(xué)不會做這道題目，他隨機(jī)地填涂了1個(gè)，或2個(gè)，或3個(gè)選項(xiàng)，則他能得分的概率為（）A． B． C． D．7.（2021·上海市松江二中高二月考）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為___________．8．（2021·北京市第八中學(xué)怡海分校高二期中）1.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號為1和2），2個(gè)綠色球（標(biāo)號為3和4），從袋子中依次不放回地摸出2個(gè)球.（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）求摸出的2個(gè)球顏色相同的概率.9．（2021·浙江·臺州市路橋區(qū)東方理想學(xué)校高二月考）從編號為A、B、C、D的4名男生和編號為m、n的2名女生中任選3人參加演講比賽．（1）把選中3人的所有可能情況一一列舉出來；（2）求所選3人中恰有一名女生的概率；（3）求所選3人中至少有一名女生的概率10．（2021·陜西·西安中學(xué)高二月考（理））福州某中學(xué)高一（10）班男同學(xué)有45名，女同學(xué)有15名，老師按照性別分層抽樣的方法組建了一個(gè)由4人組成的課外學(xué)習(xí)興趣小組.（1）求課外興趣小組中男?女同學(xué)的人數(shù)；（2）經(jīng)過一個(gè)月的學(xué)習(xí)?討論，這個(gè)興趣小組決定從該組內(nèi)選出2名同學(xué)分別做某項(xiàng)試驗(yàn)，求選出的2名同學(xué)中恰有1名女同學(xué)的概率；（3）試驗(yàn)結(jié)束后，同學(xué)A得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為68，70，71，72，74；同學(xué)B得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為69，70，70，72，74；請問哪位同學(xué)的試驗(yàn)更穩(wěn)定？并說明理由.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·山東·高考真題）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游覽，約定每人從泰山、孔府這兩處景點(diǎn)中任選一處，那么甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點(diǎn)的概率是（）A． B． C． D．2．（2020·海南省高考真題）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）A．62% B．56%C．46% D．42%3．（2020·全國高考真題（文））設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為（）A． B．C． D．4.（2019·江蘇高考真題）從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是_____.5.（2020·江蘇省高考真題）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是_____.6．（2017·山東高考真題（文））某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國家A1，A2，A3和3個(gè)歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個(gè)國家去旅游.(1)若從這6個(gè)國家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國家都是亞洲國家的概率；(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各選1個(gè)，求這兩個(gè)國家包括A1，但不包括B1的概率．專題11.4隨機(jī)事件的概率與古典概型練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某人進(jìn)行打靶練習(xí)，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，3次中9環(huán)，4次中8環(huán)，1次未中靶，則此人中靶的頻率是（）A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.9【答案】D【分析】直接利用頻率的公式求解.【詳解】由題得這個(gè)人中靶的次數(shù)為2+3+4=9，所以此人中靶的頻率是.故選：D2．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知A與是互斥事件，且，，則等于（）A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.8【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件概率的加法關(guān)系即可求解．【詳解】由題：A，B是互斥事件,所以，且，,則．故選：D3.（2019·全國高考真題（文））兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)排成一列，因?yàn)槟猩团藬?shù)相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是．故選D．4．（2021·廣東順德·高二期中）某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共兩場，第一場投籃20次的命中率為80%，第二場投籃30次的命中率為70%，則該同學(xué)這兩場投籃的命中率為（）A．72% B．74% C．75% D．76%【答案】B【分析】根據(jù)題意可直接計(jì)算.【詳解】該同學(xué)這兩場投籃的命中率為.故選：B.5．（2021·廣東·佛山市南海區(qū)九江中學(xué)高二月考）甲，乙兩人下棋，甲不輸?shù)母怕适?.8，兩人下成平局的概率是0.5，則甲勝的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】甲不輸分為甲勝乙和甲乙下成平局兩種情況，其中甲勝乙和甲乙下成平局是互斥事件，根據(jù)互斥事件的概率加法公式進(jìn)行求解即可.【詳解】甲不輸棋的設(shè)為事件A，甲勝乙設(shè)為事件B，甲乙下成平局設(shè)為事件C，則事件A是事件B與事件C的和，顯然B、C互斥，所以，而，，所以，所以甲勝的概率是0.3故選:B6.【多選題】（2021·廣東·仲元中學(xué)高二開學(xué)考試）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于該隨機(jī)事件發(fā)生的概率B．某種福利彩票的中獎(jiǎng)概率為，買1000張這種彩票一定能中獎(jiǎng)C．連續(xù)100次擲一枚硬幣，結(jié)果出現(xiàn)了49次反面，則擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為D．某市氣象臺預(yù)報(bào)“明天本市降水概率為70%”，指的是：該市氣象臺專家中，有70%認(rèn)為明天會降水，30%認(rèn)為明天不會降水【答案】BCD【分析】根據(jù)概率的定義和生活中的概率判斷各選項(xiàng)的對錯(cuò).【詳解】由頻率和概率的關(guān)系可知隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于該隨機(jī)事件發(fā)生的概率，A正確，某種福利彩票的中獎(jiǎng)概率為，買1000張這種彩票不一定能中獎(jiǎng)，B錯(cuò)誤，擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為，C錯(cuò)誤，某市氣象臺預(yù)報(bào)“明天本市降水概率為70%”，指的是明天有70%的可能會降水，D錯(cuò)誤，故選：BCD.7．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）從某自動包裝機(jī)包裝的食品中，隨機(jī)抽取20袋，測得各袋的質(zhì)量（單位：g）分別為：492，496，494，495，498，497，503，506，508，507，497，501，502，504，496，492，496，500，501，499.根據(jù)抽測結(jié)果估計(jì)該自動包裝機(jī)包裝的袋裝食品質(zhì)量在497.5～501.5g之間的概率為_______.【答案】0.25【分析】找到質(zhì)量在497.5～501.5g之間的袋數(shù)由頻率可得答案.【詳解】質(zhì)量在497.5～501.5g之間的有498，501，500，501，499共5袋，所以其頻率為＝0.25，由此我們可以估計(jì)質(zhì)量在497.5～501.5g之間的概率為0.25.故答案為：0.25.8．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）從一批乒乓球產(chǎn)品中任取一個(gè)，若其質(zhì)量小于2.45g的概率為0.22，質(zhì)量不小于2.50g的概率為0.20，則質(zhì)量在2.45~2.50g范圍內(nèi)的概率為___________.【答案】0.58【分析】利用概率的性質(zhì)計(jì)算出所求概率.【詳解】依題意質(zhì)量在2.45~2.50g范圍內(nèi)的概率為.故答案為：9．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）操作1：將粒黑芝麻與粒白芝麻放入一個(gè)容器中，并攪拌均勻，再用小杯從容器中取出一杯芝麻，計(jì)算黑芝麻的頻率.操作2：將粒黑芝麻與粒白芝麻放入一個(gè)容器中，并攪拌均勻，再用小杯從容器中取出一杯芝麻，計(jì)算黑芝麻的頻率.通過兩次操作，你是否有所發(fā)現(xiàn)？若有一袋芝麻，由黑、白兩種芝麻混合而成，你用什么方法估計(jì)其中黑芝麻所占的百分比？【答案】答案見解析【分析】利用頻率估計(jì)概率的思想可得出結(jié)論.【詳解】通過兩次操作，我們會有所發(fā)現(xiàn)，比如：操作1中，黑芝麻的頻率為，操作2中，黑芝麻的頻率為，在攪拌均勻的前提下，由此可想到可將這袋芝麻攪拌均勻后從中取出一杯，將此杯中黑芝麻的頻率作為黑芝麻所占的百分比的估計(jì).10.（2021·北京豐臺·高二期中）從兩個(gè)黑球（記為和）、兩個(gè)紅球（記為和）從中有放回地任意抽取兩球．（1）用集合的形式寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）求抽到的兩個(gè)球都是黑球的概率．【答案】（1）答案見解析（2）【分析】（1）根據(jù)題意，列出樣本空間所有可能的情況即可；（2）列出抽到兩個(gè)球都是黑球的所有可能情況，利用古典概型的概率公式計(jì)算即可（1）試驗(yàn)的樣本空間；（2）設(shè)事件“抽到兩個(gè)黑球”，則對于有放回簡單隨機(jī)抽樣，．因?yàn)闃颖究臻g中每一個(gè)樣本點(diǎn)的可能性都相等，所以這是一個(gè)古典概型．因此．所以抽到的兩個(gè)球都是黑球的概率為練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·北京豐臺·高二期中）袋子中有4個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中3個(gè)紅球，1個(gè)黃球，從中隨機(jī)抽取2個(gè)球，則抽取出的2個(gè)球恰好是1個(gè)紅球1個(gè)黃球的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出從有4個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球的袋子中隨機(jī)抽取2個(gè)球和抽取出的2個(gè)球恰好是1個(gè)紅球1個(gè)黃球的基本事件的個(gè)數(shù)，再根據(jù)古典概型公式即可得解.【詳解】解：從有4個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球的袋子中隨機(jī)抽取2個(gè)球有種情況，抽取出的2個(gè)球恰好是1個(gè)紅球1個(gè)黃球有，所以抽取出的2個(gè)球恰好是1個(gè)紅球1個(gè)黃球的概率是.故選：B.2．（2021·北京市第八中學(xué)怡海分校高二期中）某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“只有一次中靶”互斥而不對立的是（）A．至少一次中靶 B．至多一次中靶C．至多兩次中靶 D．兩次都中靶【答案】D【分析】事件A和B互斥而不對立所需要的條件是且，一一驗(yàn)證A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，選出答案.【詳解】設(shè)“只有一次中靶”為事件A設(shè)“至少一次中靶”為事件B，則事件B包含：“有一次中靶”和“有兩次中靶”兩種情況，，顯然，不互斥，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)“至多一次中靶”為事件C，則事件C包含事件：“有一次中靶”和“有零次中靶”，顯然，不互斥，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)“至多兩次中靶”為事件D，則事件D包含事件：“有兩次中靶”，“有一次中靶”和“有零次中靶”，顯然，不互斥，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)“兩次都中靶”為事件E，則，，滿足互斥而不對立所需要的條件，故選項(xiàng)D正確.故選：D3．（2021·全國·高三月考（文））2019年版高中數(shù)學(xué)人教版教材一共有5本.分別是《必修第一冊》《必修第二冊》《選擇性必修第一冊》《選擇性必修第二冊》《選擇性必修第三冊》，在一次數(shù)學(xué)新教材培訓(xùn)會議上，主持人剛好帶了全套5本新教材，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出了3本送給在場的培訓(xùn)學(xué)員，則恰有1本選擇性必修的新教材被抽到的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】應(yīng)用組合數(shù)計(jì)算隨機(jī)抽出了3本恰有1本選擇性必修的新教材的抽取方法，再應(yīng)用古典概型的概率求法求出概率即可.【詳解】由題設(shè)，隨機(jī)抽出了3本恰有1本選擇性必修的新教材的概率為.故選：B4．（2021·廣西南寧·高三月考（文））哥尼斯堡“七橋問題”是著名的古典數(shù)學(xué)問題，它描述的是:在哥尼斯堡的一個(gè)公園里，有七座橋?qū)⑵绽赘駹柡又袃蓚€(gè)島及島與河岸連接起來(如圖1).問是否可能從這四塊陸地中任一塊出發(fā)，恰好通過每座橋一次，再回到起點(diǎn)?瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1736年研究并解決了此問題，他把該問題歸結(jié)為如圖2所示的“一筆畫”問題，并證明了上述走法是不可能的.假設(shè)在圖2所示七條線中隨機(jī)選取兩條不同的線，則這兩條線都與A直接相連的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合古典概型公式和組合公式直接求解.【詳解】由題可知，若從7條線路中選2條，則有種方法，若選出的兩條線都與相連，則共有種方法，則這兩條線都與A直接相連的概率為.故選：D5．（2021·廣東·廣州市協(xié)和中學(xué)高二期中）在某次圍棋比賽中，甲、乙兩人進(jìn)入最后決賽.比賽取三局二勝制，即先勝兩局的一方獲得比賽冠軍，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲勝乙的概率都為，且各局比賽的勝負(fù)互不影響，在甲已經(jīng)先勝一局的情況下，甲獲得冠軍的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】甲獲得冠軍有兩種情況,第一種情況：第二局甲獲勝獲得得比賽冠軍,第二種情況：第二局甲輸，第三局甲獲勝獲勝得比賽冠軍，求出兩種情況下的概率，相加即可.【詳解】在甲已經(jīng)先勝一局的情況下，甲獲得冠軍有兩種情況，第一種情況：第二局甲獲勝獲得得比賽冠軍，第二種情況：第二局甲輸，第三局甲獲勝獲勝得比賽冠軍，故甲獲得冠軍的概率為.故選：B.6.（2021·廣東·仲元中學(xué)高一期末）數(shù)學(xué)多選題A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)，在給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全都選對的得5分，部分選對的得2分.有選錯(cuò)的得0分.已知某道數(shù)學(xué)多選題正確答案為BCD，小明同學(xué)不會做這道題目，他隨機(jī)地填涂了1個(gè)，或2個(gè)，或3個(gè)選項(xiàng)，則他能得分的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用組合數(shù)求得隨機(jī)地填涂了1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)選項(xiàng)，每種可能性都是相同的，然后列舉計(jì)數(shù)能得分的涂法種數(shù)，求得所求概率.【詳解】解：隨機(jī)地填涂了1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)選項(xiàng)，共有種涂法，能得分的涂法為（BCD），（BC），（BD），（CD），B，C，D，共7種，故他能得分的概率為．故選：A.7.（2021·上海市松江二中高二月考）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為___________．【答案】【分析】首先排好4個(gè)1,，即可產(chǎn)生5個(gè)空，再利用插空法求出2個(gè)0相鄰與2個(gè)0不相鄰的排法，再利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，若2個(gè)0相鄰，則有種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率為故答案為：8．（2021·北京市第八中學(xué)怡海分校高二期中）1.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號為1和2），2個(gè)綠色球（標(biāo)號為3和4），從袋子中依次不放回地摸出2個(gè)球.（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）求摸出的2個(gè)球顏色相同的概率.【答案】（1）（2）【分析】（1）列舉法把所有情況寫出來，用集合表示，就是試驗(yàn)的樣本空間；（2）有古典概率的公式進(jìn)行計(jì)算（1）試驗(yàn)的樣本空間為：（2）設(shè)事件“摸出的兩個(gè)球的顏色相同”所以，，所以9．（2021·浙江·臺州市路橋區(qū)東方理想學(xué)校高二月考）從編號為A、B、C、D的4名男生和編號為m、n的2名女生中任選3人參加演講比賽．（1）把選中3人的所有可能情況一一列舉出來；（2）求所選3人中恰有一名女生的概率；（3）求所選3人中至少有一名女生的概率【答案】（1）答案見解析（2）（3）【分析】（1）列舉法寫出基本事件；（2）結(jié)合古典概型概率公式即可求出結(jié)果；（3）結(jié)合古典概型概率公式即可求出結(jié)果.（1）設(shè)4名男生分別為A，B，C，D，兩名女生分別為m，n，則從6名學(xué)生中任3人的所有情況有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20種，（2）由（1）可知共有20種情況，其中所選3人中恰有一名女生的有12種，所以所求概率為，（3）由（1）可知共有20種情況，所選3人中至少有一名女生的有16種，所以所求概率為10．（2021·陜西·西安中學(xué)高二月考（理））福州某中學(xué)高一（10）班男同學(xué)有45名，女同學(xué)有15名，老師按照性別分層抽樣的方法組建了一個(gè)由4人組成的課外學(xué)習(xí)興趣小組.（1）求課外興趣小組中男?女同學(xué)的人數(shù)；（2）經(jīng)過一個(gè)月的學(xué)習(xí)?討論，這個(gè)興趣小組決定從該組內(nèi)選出2名同學(xué)分別做某項(xiàng)試驗(yàn)，求選出的2名同學(xué)中恰有1名女同學(xué)的概率；（3）試驗(yàn)結(jié)束后，同學(xué)A得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為68，70，71，72，74；同學(xué)B得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為69，70，70，72，74；請問哪位同學(xué)的試驗(yàn)更穩(wěn)定？并說明理由.【答案】（1）男?女同學(xué)的人數(shù)分別為3，1（2）（3）B同學(xué)的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定，理由見解析【分析】（1