第六節(jié)-正弦定理和余弦定理(經(jīng)典講義)

eq\a\vs4\al(第六節(jié)正弦定理和余弦定理)【考綱下載】掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R是△ABC外接圓半徑)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C變形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；③a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)解決三角形的問題已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角2．在△ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無解3.三角形中常用的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)ah(h表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)absinC；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為△ABC內(nèi)切圓半徑)．1．在三角形ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的什么條件？“A＞B”是“cosA＜cosB”的什么條件？提示：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要條件．2．在三角形中，“a2＋b2＜c2”是“△ABC為鈍角三角形”的什么條件？“a2＋b2＞c2”是“△ABC為銳角三角形”的什么條件？提示：“a2＋b2＜c2”是“△ABC為鈍角三角形”的充分不必要條件；“a2＋b2＞c2”是“△ABC為銳角三角形”的必要不充分條件．1．(2013·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝eq\f(1,3)，則sinB＝()A.eq\f(1,5)B.eq\f(5,9)C.eq\f(\r(5),3)D．12．在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，則b等于()A．2eq\r(3)B．12C．2eq\r(7)D．283．(2013·湖南高考)在銳角△ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b.若2asinB＝eq\r(3)b，則角A等于()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,12)4．在△ABC中，a＝3eq\r(2)，b＝2eq\r(3)，cosC＝eq\f(1,3)，則△ABC的面積為________．5．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－eq\f(1,4)，則b＝________.考點(diǎn)一利用正、余弦定理解三角形[例1](1)(2013·天津高考)在△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,4)，AB＝eq\r(2)，BC＝3，則sin∠BAC＝()A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(\r(10),5)C.eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(\r(5),5)(2)(2013·安徽高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，則角C＝________.(3)(2013·浙江高考)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中點(diǎn)，若sin∠BAM＝eq\f(1,3)，則sin∠BAC＝________.A．2eq\r(3)B．2C.eq\r(2)D．13．(2014·沈陽(yáng)模擬)在△ABC中，AC＝eq\r(7)，BC＝2，B＝60°，則BC邊上的高等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(\r(3)＋\r(6),2)D.eq\f(\r(3)＋\r(39),4)4．在△ABC中，若lgsinA－lgcosB－lgsinC＝lg2，則△ABC的形狀是()A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等邊三角形D．等腰三角形5．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A＞B＞C,3b＝20acosA，則sinA∶sinB∶sinC為()A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶46．在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，則△ABC的面積等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3)D.eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)7．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，則eq\f(b,a)＝________.8．(2014·深圳模擬)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cosA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，b＝3，則c＝________.9．在△ABC中，B＝60°，AC＝eq\r(3)，則△ABC的周長(zhǎng)的最大值為________．10．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2＝b2＋c2＋eq\r(3)bc.(1)求A；(2)設(shè)a＝eq\r(3)，S為△ABC的面積，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此時(shí)B的值．11．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9).(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．12．(2013·重慶高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2.(1)求C；(2)設(shè)cosAcosB＝eq\f(3\r(2),5)，eq\f(cosα＋Acosα＋B,cos2α)＝eq\f(\r(2),5)，求tanα的值．[沖擊名校]1．在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6cosC，則eq\f(tanC,tanA)＋eq\f(tanC,tanB)＝________.2.(2013·福建高考)如圖，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2eq\r(2)，點(diǎn)M在線段PQ上．(1)若OM＝eq\r(5)，求PM的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)N在線段MQ上，且∠MON＝30°，問：當(dāng)∠POM取何值時(shí)，△OMN的面積最小？并求出面積的最小值．[高頻滾動(dòng)]1．已知sinx－siny＝－eq\f(2,3)，cosx－cosy＝eq\f(2,3)，且x，y為銳角，則tan(x－y)＝()A.eq\f(2\r(14),5)B．－eq\f(2\r(14),5)