新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章排列組合與二項式定理綜合訓(xùn)練新人教B版選擇性必修第二冊

第三章綜合訓(xùn)練一、單項選擇題1.已知Cm2=10,則m的值為(A.10 B.5 C.4 D.22.編號為1,2,3,4,5,6,7的七盞路燈,晚上用時只亮三盞燈,且任意兩盞亮燈不相鄰,則不同的開燈方案有()A.60種 B.20種 C.10種 D.8種3.在(x-3)10的展開式中,x6的系數(shù)是()A.-27C106 B.27C.-9C1064.設(shè)(1+x)n=a0+a1x+…+anxn,若a1+a2+…+an=63,則展開式中系數(shù)最大的項是()A.15x3 B.20x3 C.21x3 D.35x35.由0,1,2,…,9這十個數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中,個位數(shù)字與百位數(shù)字之差的絕對值等于8的有()A.98個 B.105個 C.112個 D.210個6.已知(1-2x)n的展開式中,奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為64,則(1-2x)n1+1x展開式中常數(shù)項為()A.-14 B.-13 C.1 D.27.某地電視臺春晚的戲曲節(jié)目,準(zhǔn)備了經(jīng)典京劇、豫劇、越劇、粵劇、黃梅戲、評劇6個劇種的各一個片段.對這6個劇種片段的演出順序有如下要求:京劇必須排在前三,且越劇、粵劇必須排在一起,則該戲曲節(jié)目演出順序共有()A.120種 B.156種 C.188種 D.240種8.設(shè)a∈Z,且0≤a<13,若512020+a能被13整除,則a=()A.0 B.1 C.11 D.12二、多項選擇題9.下列結(jié)論正確的是()A.3×4×5×6=AB.CC.CD.C51+10.設(shè)(x+33y)n的展開式中各項系數(shù)之和為M,二項式系數(shù)之和為N,若M-2N=960,則下列結(jié)論中正確的是(A.n=5B.M=25C.N=25D.展開式中含xy的項的系數(shù)為27011.6本不同的書分給甲、乙、丙三人,每人兩本,不同的分法種數(shù)可以是()A.15 B.CC.C612.關(guān)于多項式1+2x-x6的展開式,下列結(jié)論正確的是()A.各項系數(shù)之和為1B.各項系數(shù)的絕對值之和為212C.不存在常數(shù)項D.x3的系數(shù)為40三、填空題13.若Cn3=Cn714.(2x-3y)9的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為.

15.某統(tǒng)計部門安排A,B,C,D,E,F六名工作人員到四個不同的地區(qū)開展工作.每個地區(qū)至少需安排一名工作人員,其中A,B安排到同一地區(qū)工作,D,E不能安排在同一地區(qū)工作,則不同的分配方法總數(shù)為種.

16.在楊輝三角中,從第3行起,不在兩端的每一個數(shù)值是它上面兩個數(shù)值之和,這個三角形開頭幾行如圖,則第9行從左到右的第3個數(shù)是;若第n行從左到右第12個數(shù)與第13個數(shù)的比值為34,則n=四、解答題17.用0,1,2,3,4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).(1)在組成的三位數(shù)中,求所有偶數(shù)的個數(shù);(2)在組成的三位數(shù)中,如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小,則稱這個數(shù)為“凹數(shù)”,如301,423等都是“凹數(shù)”,試求“凹數(shù)”的個數(shù);(3)在組成的五位數(shù)中,求恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個數(shù).18.用0,1,2,3,4,5可組成多少個:(1)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?(2)沒有重復(fù)數(shù)字且被5整除的四位數(shù)?(3)比2000大且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)?19.設(shè)(x+2)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N,n≥2),且a0+a2=2a1.(1)求n的值;(2)求(x+2)n的展開式中所有含x奇次冪項的系數(shù)和.20.通常,我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成,第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號,第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號.其中,序號的編碼規(guī)則為:①由10個阿拉伯?dāng)?shù)字和除O,I之外的24個英文字母組成;②最多只能有2個英文字母.如果某地級市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號編碼,那么這個發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少張汽車號牌?21.已知在12x2-1xn的展開式中(1)n的值;(2)展開式中x5的系數(shù);(3)含x的整數(shù)次冪的項的個數(shù).22.對任意n∈N+,定義(1+2)n=Cn0+Cn1·2+Cn2·(2)2+…+Cnk·(2)k+…+Cnn·(2(1)求a32+2b32,(2)探究|an2-2bn2|

參考答案第三章綜合訓(xùn)練1.B由Cm2=m(m-1)2×1=10,得m2-m-20=0,2.C四盞熄滅的燈產(chǎn)生的5個空當(dāng)中放入3盞亮燈,則不同的開燈方案有C53=3.D因為Tk+1=C10kx10-k(-3)令10-k=6,解得k=4,所以x6的系數(shù)為(-3)4C104=94.B因為(1+x)n=a0+a1x+…+anxn,所以當(dāng)x=0時,可得a0=1;當(dāng)x=1時,可得a0+a1+a2+…+an=2n.又a1+a2+…+an=63,所以2n=63+a0=64,得n=6,所以(1+x)6的展開式中系數(shù)最大的項為第4項,即C63x3=20x3,故選5.D當(dāng)個位與百位數(shù)字為0,8時,有A82A22個;當(dāng)個位與百位數(shù)字為1,9時,有A71A6.B由條件可知,2n-1=64,所以n=7,則(1-2x)71+1x=(1-2x)7+(1-2x)7x,其中常數(shù)項分為兩部分,(1-2x)7的常數(shù)項是17=1,(1-2x)7x的常數(shù)項是(1-2x)7中含x項的系數(shù),C71·167.A完成排戲曲節(jié)目演出順序這件事,可以有兩類辦法:京劇排第一,越劇、粵劇排在一起作一個元素與余下三個元素作全排列有A44種,越劇、粵劇有A22種排列方式,京劇排第二或第三有C21種排列方式,越劇、粵劇排在一起只有三個位置可選,并且它們有先后,有C31A22種排列方式,余下三個有A33種排列方式,共有C21C38.D512020+a=(13×4-1)2020+a,被13整除余1+a,結(jié)合選項可得a=12時,512020+a能被13整除.9.ABC對于A,∵Anm=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1),故A對于B,C62+C63=15+20=35,C對于C,Cnm=Cn對于D,C50+C51+C10.ACD根據(jù)題意,令x=1,y=1,得M=4n.∵N=2n,∴M-2N=4n-2·2n=(2n)2-2·2n=960,∴2n=32,∴n=5.∴M=45,N=25.(x+33y)5的展開式的通項為Tk+1=C5kx5-k2(3y13)k=C5k3kx5-k2yk3(k=0,1,2,3,4,5),令k3=1,511.CD將6本不同的書分成三組的方法有C62C42C22A33種,將三組書本分給甲、乙、丙三人的方法有12.BD在多項式1+2x-x6中,令x=1,可得各項系數(shù)之和為26,所以A不正確.多項式1+2x-x6的展開式各項系數(shù)的絕對值之和與多項式1+2x+x6的展開式各項系數(shù)之和相等.在多項式1+2x+x6中,令x=1,可得各項系數(shù)之和為212,故B正確.由1+2x-x6=1+2x-x6的展開式的項Tr+1=C6r2x-xr(0≤r≤6,r∈Z),2x-xr的展開式的通項公式為Tk+1=Crk2xr-k(-x)k(0≤k≤r,r,k∈Z所以1+2x-x6的展開式的項Tr+1=(-1)kC6rCrk2r-kx2k-r(0≤k≤r,r,當(dāng)2k-r=0時,為常數(shù),所以多項式1+2x-x6的展開式中有常數(shù)項,故C不正確.當(dāng)2k-r=3,0≤k≤r,r,k∈Z時,k(-1)3C63C3320+(-1)4所以x3的系數(shù)為40,故D正確.13.10根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)Cnm=Cnn-m,且Cn14.512(2x-3y)9的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為29=512.15.216第一步,將6名工作人員分成4組,要求A,B同一組,D,E不在同一組.若分為3,1,1,1的四組,A,B必須在3人組,則只需在C,D,E,F中選一人和A,B同一組,故有C41=4若分為2,2,1,1的四組,A,B必須在2人組,故只需在C,D,E,F中選兩人構(gòu)成一組,同時減去D,E在同一組的情況,故有C42-1=5(種)則一共有5+4=9(種)分組方法.第二步,將分好的四組全排列,分配到四個地區(qū),有A44=24(種故總的分配方法有9×24=216(種).16.3627依題意C92=9×82×1=36,因為17.解(1)將所有的三位偶數(shù)分為兩類:①若個位數(shù)為0,則共有A42=12個;②若個位數(shù)為2或4,則共有2×3×3=18個.所以,共有30(2)將這些“凹數(shù)”分為三類:①若十位數(shù)字為0,則共有A42=12個;②若十位數(shù)字為1,則共有A32=6個;③若十位數(shù)字為2,則共有A22=2個.所以,共有(3)將符合題意的五位數(shù)分為三類:①若兩個奇數(shù)數(shù)字在百位和萬位,則共有A22·A33=12個;②若兩個奇數(shù)數(shù)字在十位和千位,則共有A22·C21·所以,共有28個符合題意的五位數(shù).18.解(1)千位可以從1,2,3,4,5中任選一個,有5種,剩余的百位、十位和個位,可以從剩余的5個數(shù)中任意選擇,所以有A53種,所以沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)個數(shù)共有5A5(2)沒有重復(fù)數(shù)字且被5整除的四位數(shù),分兩種情況:個位數(shù)字為0時,有A53=60(個);個位數(shù)字為5時,千位可以從1,2,3,4中任選一個,有4種,剩下的百位和十位可以從剩余的四個數(shù)中選擇兩個的排列,有A42,則有4A42=48(個),利用分類加法原理可得共有個數(shù)(3)比2000大的自然數(shù),當(dāng)是四位數(shù)時,首先從2,3,4,5中選一個有4種選法,再從剩下的元素中選3個,有A53種,共有4A53=240(個);當(dāng)是五位數(shù)時,共有A65-A54=600(個故共有240+600+600=1440(個),所以比2000大的自然數(shù)共有1440個.19.解(1)∵Tk+1=Cnkxn-k×2k,∴a0=2n,a1=n×2n-1,a2=n(n∵a0+a2=2a1,∴2n×2n-1=2n+n(n-1)2×2n-2?n2-9n+8=0,解得n=8(2)在(x+2)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8中,令x=1,則38=a0+a1+a2+a3+…+a7+a8,令x=-1,則1=a0-a1+a2-a3+…-a7+a8,兩式相減得2(a1+a3+a5+a7)=38-1,∴a1+a3+a5+a7=38-即展開式中所有含x奇次冪項的系數(shù)和為3280.20.解由號牌編號的組成可知,這個發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號牌數(shù)就是序號的個數(shù).根據(jù)序號編碼規(guī)則,5位序號可以分為三類:沒有字母,有1個字母,有2個字母.①當(dāng)沒有字母時,序號的每一位都是數(shù)字,確定一個序號可以分5個步驟,每一步都可以從10個數(shù)字中選1個,各有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,這類號牌張數(shù)為10×10×10×10×10=100000.②當(dāng)有1個字母時,這個字母可以分別在序號的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位,這類序號可以分為五個子類.當(dāng)?shù)?位是字母時,分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字:第1步,從24個字母中選1個放在第1位,有24種選法;第2~5步都是從10個數(shù)字中選1個放在相應(yīng)的位置,各有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,號牌張數(shù)為24×10×10×10×10=240000.同樣,其余四個子類號牌也各有240000張.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,這類號牌張數(shù)共為240000+240000+240000+240000+240000=1200000.③當(dāng)有2個字母時,根據(jù)這2個字母在序號中的位置,可以將這類序號分為十個子類:第1位和第2位,第1位和第3位,第1位和第4位,第1位和第5位,第2位和第3位,第2位和第4位,第2位和第5位,第3位和第4位,第3位和第5位,第4位和第5位.當(dāng)?shù)?位和第2位是字母時,分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字:第1~2步都是從24個字母中選1個分別放在第1位、第2位,各有24種選法;第3~5步都是從10個數(shù)字中選1個放在相應(yīng)的位置,各有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,號牌張數(shù)為24×24×10×10×10=576000,同樣,其余九個子類號牌也各有576000張.于是,這類號牌張數(shù)一共為576000×10=5760000.綜合①②③,根據(jù)分類加法計數(shù)原理,這個發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放的汽車號牌張數(shù)為100000+1200000+5760000=7060000.21.解二項展開式的項Tk+1=Cnk12x2n(1)因為第9項為常數(shù)項,即當(dāng)k=8時,2n-52k=0,解得n=10(2)令2n-52k=5,得k=25(2n-5)所以x5的系數(shù)為(-1)612(3)要使2n-52