新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章平面向量初步綜合訓(xùn)練新人教B版必修第二冊(cè)

第六章綜合訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題(在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知三個(gè)力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn),為使物體保持平衡,現(xiàn)加上一個(gè)力F4,則F4等于()A.(-1,-2) B.(1,-2)C.(-1,2) D.(1,2)2.在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,若AB+AD=λAO,則λ=(A.12 B.2 C.133.已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=()A.2 B.2C.52 D.504.已知a,b是不共線的向量,AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件為()A.λ+μ=2 B.λμ=1C.λμ=-1 D.λ-μ=15.[2023重慶高一單元檢測(cè)]已知向量a=(-1,2),b=(1,-1),c=(3,-2)且c=pa+qb,則()A.p=4,q=1 B.p=1,q=0C.p=0,q=1 D.p=1,q=46.已知向量a,b不共線,實(shí)數(shù)x,y滿足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,則x-y的值為()A.3 B.-3C.0 D.27.[2023河南洛陽(yáng)高一]如圖所示,在△ABC中,CB=3CD,AD=2AE,若AB=a,AC=b,則CE=(A.16a-13b B.16aC.13a-13b D.16a8.如圖所示,設(shè)P為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),并且AP=14AB+12AC,則△A.2∶5 B.3∶5C.3∶4 D.1∶4二、多項(xiàng)選擇題(在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求)9.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.單位向量都相等B.若a與b是共線向量,b與c是共線向量,則a與c是共線向量C.|a+b|=|a-b|,則a⊥bD.若a與b是單位向量,則|a|=|b|10.[2023吉林白城高一]下列各式結(jié)果為零向量的是()A.AB+MBC.OA+OC11.[2023廣東廣州高二]向量a=2e,b=-6e,則下列說(shuō)法正確的是()A.a∥b B.向量a,b方向相反C.|a|=3|b| D.b=-3a12.[2023江蘇鎮(zhèn)江高三期末]如圖,B是AC的中點(diǎn),BE=2OB,P是平行四邊形BCDE內(nèi)(含邊界)的一點(diǎn),且OP=xOA+yOB(x,y∈R),則下列結(jié)論正確的有()A.當(dāng)x=0時(shí),y∈[2,3]B.當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí),x=-12,y=C.若x+y為定值1,則在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P的軌跡是一條線段D.x-y的最大值為-1三、填空題13.[2023陜西西安交大附中模擬]已知向量a=(2λ-3,3),b=(3,λ-5),若a∥b,則λ=.

14.設(shè)e1,e2為兩個(gè)不共線的向量,若a=e1+λe2與b=-(2e1-3e2)共線,則實(shí)數(shù)λ=,此時(shí)a,b方向.(填“相同”或“相反”)

15.已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(k+1,k-2),若A,B,C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是.

16.如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中,M,N分別為線段BC,CD的中點(diǎn),若MN=λAM+μBN,λ,μ∈R,則λ+μ=.

四、解答題(解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.已知向量a=(1,2),b=(-3,1).(1)求與2a+b同向的單位向量e;(2)若向量c=-3,-113,請(qǐng)用向量a,18.已知e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量,AB=2e1+e2,BE=-e1+λe2,EC=-2e1+e2,且A,E,C三點(diǎn)共線.(1)求實(shí)數(shù)λ的值;(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC的坐標(biāo).19.[2023北京昌平高一]如圖,在△ABC中,AM=13AB,BN=12BC(1)用a,b表示BC,(2)若P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn),且AP=512a+14b,求證:M,P20.平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)若(a+kc)∥(2b-a),求實(shí)數(shù)k;(2)若d滿足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=5,求d的坐標(biāo).21.如圖,設(shè)P,Q分別是梯形ABCD的對(duì)角線AC,BD的中點(diǎn).(1)試用向量的方法證明:PQ∥AB;(2)若|AB|=3|CD|,求PQAB的值22.在△ABC中,AM=(1)求△ABM與△ABC的面積之比;(2)若N為AB的中點(diǎn),AM與CN交于點(diǎn)P,且AP=xAB+yAC(x,y∈R),求x+y的值.

參考答案第六章綜合訓(xùn)練1.D為使物體平衡,即合力為零,即4個(gè)向量相加等于零向量,∴F4=(0-(-2)-(-3)-4,0-(-1)-2-(-3))=(1,2).2.B在平行四邊形ABCD中,AC=AB+AD=2AO,所以λ=23.A由題意,得a-b=(-1,1),則|a-b|=(-1)2+4.B若A,B,C三點(diǎn)共線,則向量AC∥AB,即存在實(shí)數(shù)k,使得AB=kAC,∵AB=λa+b,AC=a+μb,∴λa+b=k(a+μb),可得λ=k,1=kμ,消去k得λμ=1,即A,B,C5.D因?yàn)閜a+qb=p(-1,2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),c=pa+qb=(3,-2),所以-p+故選D.6.A由原式可得3x-∴x-y=3.7.B因?yàn)镃B=3CD,AD=2所以CE=12(CA+CD)=12CA+13CB=8.D延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)D(圖略),因?yàn)锳,P,D三點(diǎn)共線,所以CP=mCA+nCD(m+n=1).設(shè)CD=kCB,k∈R,代入可得CP=mCA+nkCB,即AP-AC=-mAC+nk(AB-AC)?AP=(1-m-nk)又因?yàn)锳P=14AB+12AC,所以nk=14,1-m-nk=12,所以CP=14CA+34CD,所以AP=3因?yàn)椤鰾PC與△ABC有相同的底邊BC,所以面積之比就等于|DP|與|AD|之比,所以△BPC與△ABC的面積之比為1∶4.故選D.9.AB單位向量?jī)H僅長(zhǎng)度相等,方向可能不同,A錯(cuò)誤;當(dāng)b=0時(shí),a與c可以為任意不共線的向量,B錯(cuò)誤;設(shè)OA=a,OB=b,OC=a+b,由|a+b|=|a-b|,可得?OACB的對(duì)角線相等,此時(shí)四邊形OACB為矩形,鄰邊垂直,則C正確;單位向量的長(zhǎng)度必相等,D正確.10.BD對(duì)于A,AB+MB+BO+對(duì)于B,AB+BC+CA=AC+對(duì)于C,OA+OC+BO+對(duì)于D,AB-AC+BD-CD=(AB+BD)-(AC+CD故選BD.11.ABD因?yàn)閍=2e,b=-6e,所以b=-3a,故D正確;由共線向量基本定理知A正確;-3<0,a與b方向相反,故B正確;由上可知|b|=3|a|,故C錯(cuò)誤.故選ABD.12.BCD當(dāng)x=0時(shí),OP=yOB,則點(diǎn)P在線段BE上,故1≤y≤3,故A錯(cuò)誤;當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí),OP=OE+EP=3OB+12(EB+BC)=3OB+當(dāng)x+y為定值1時(shí),A,B,P三點(diǎn)共線,又P是平行四邊形BCDE內(nèi)(含邊界)的一點(diǎn),所以點(diǎn)P的軌跡是線段,故C正確;如圖,過(guò)點(diǎn)P作PM∥AO,交OE于點(diǎn)M,作PN∥OE,交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,則OP=又OP=xOA+yOB,所以x≤0,y≥1,由圖形看出,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),OP=0·OA+1·OB,此時(shí)x取最大值0,y取最小值1,所以x-y的最大值為-1,故D正確.故選BCD.13.12或6由題意得(2λ-3)(λ-5)-9=0,即2λ2-13λ+6=0,所以λ=12或λ=14.-32相反因?yàn)閍,b共線所以由共線向量基本定理知,存在實(shí)數(shù)k,使得a=kb,即e1+λe2=-k(2e1-3e2)=-2ke1+3ke2.又因?yàn)閑1,e2不共線,所以1=-2因?yàn)閗<0,所以a,b方向相反.15.k≠1若點(diǎn)A,B,C能構(gòu)成三角形,則向量AB,AC不共線.因?yàn)锳B=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC=OC-OA=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),所以1×(16.25在長(zhǎng)方形ABCD中,向量AB,AD不共線,M,N分別為線段BC,則有AM=AB+BM=因?yàn)镸N=λAM+μBN,所以-12AB+12AD=λAB+12AD+μ-12AB+AD=λ-12μAB于是得λ-12μ=-12,17.解(1)∵2a+b=(2,4)+(-3,1)=(-1,5),∴|2a+b|=(-1)2+52=26,∴與2a+b同向的單位向量e(2)設(shè)c=λa+μb(λ,μ∈R),則-3,-113=λ(1,2)+μ(-3,1)=(λ-3μ,2∴-3=λ-3μ,-11318.解(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ因?yàn)锳,E,C三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù)k,使得AE=kEC,即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2.因?yàn)閑1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量,所以1+2k=0(2)BC=BE+EC=-e1-32e2-2e1+e2=-3e1-12e2=(-6,-3)+(-1,1)=19.(1)解BC=AC-AB=MN=BN-BM=12BC+23AB=12(2)證明AM+AN=13AB+AC+CN=13AB+AC-12BC=13a+b-12(b-a)=20.解(1)因?yàn)閍=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),所以a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).因?yàn)?a+kc)∥(2b-a),所以2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,解得k=-1613(2)設(shè)d=(x,y),則d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).因?yàn)?d-c)∥(a+b),|d-c|=5,所以4解得x所以d=(3,-1)或d=(5,3).21.(1)證明∵P,Q分別為AC,BD的中點(diǎn),∴CQ=12∴PQ=CQ-CP=∵AB∥CD,∴可設(shè)CD=λAB(λ<0),∴PQ=又|AB|≠|(zhì)CD|,∴λ≠-1,∴PQ∥AB.(2)解∵|AB|=3|CD|,∴AB=-3CD.由(1)知CD=λAB(λ<0),PQ=∴λ=-13,