北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （菱形的性質(zhì)與判定）特殊平行四邊形教育教學(xué)課件

菱形的性質(zhì)與判定

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握菱形的兩個(gè)判定方法.2.會(huì)用這些菱形的判定方法進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.新課導(dǎo)入1、菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2、菱形的性質(zhì)：①菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是兩條對(duì)角線所在的直線；②菱形的四條邊都相等；③菱形的對(duì)角線互相垂直平分.3、菱形具有平行四邊形的所有，應(yīng)用菱形的性質(zhì)可以進(jìn)行計(jì)算和推理.合作探究什么樣的四邊形是菱形？有一組鄰邊相等的平行四邊形.我們還可以從哪些角度考慮？合作探究用一長(zhǎng)一短兩根細(xì)木條，在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘，做成一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的十字，四周?chē)弦桓鹌そ睿龀梢粋€(gè)四邊形.轉(zhuǎn)動(dòng)木條，這個(gè)四邊形什么時(shí)候變成菱形?可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.你能證明它嗎？合作探究ADBC已知：如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC與BD相較于點(diǎn)O，AC⊥BD.求證：□ABCD是菱形.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC.又∵AC⊥BD，∴直線BD是線段AC的垂直平分線.∴BA=BC.∴四邊形ABCD是菱形（菱形的定義）.O∵在□ABCD中，AC⊥BD，∴□ABCD是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形).新課講授菱形的判定定理：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.符號(hào)語(yǔ)言：ADBCO合作探究畫(huà)一畫(huà)如圖，分別以AC為圓心，以大于AC的長(zhǎng)為半徑做弧，兩條弧分別相交于點(diǎn)B，D，依次連接A，B，C，D，四邊形ABCD看上去是菱形.ADBC四邊相等的四邊形是菱形？合作探究已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD.求證：□ABCD是菱形.證明：∵AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.又∵AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形（菱形的定義）.ADBC新課講授菱形的判定定理：四邊相等的四邊形是菱形.∵AB=BC=CD=AD∴四邊形ABCD是菱形(四邊相等的四邊形是菱形).符號(hào)語(yǔ)言：ADBC合作探究你能用折紙的方法得到菱形嗎？先將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折、再對(duì)折，然后沿圖中的虛線剪下，將紙展開(kāi)，就得到了一個(gè)菱形.新課講授菱形的判定ADBC定理：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.定理：四邊相等的四邊形是菱形.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.證明：在△AOB中. ∵AB=，OA=2，OB=1.∴AB2=AO2+OB2.∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角.∴AC⊥BD. ∴□ABCD是菱形(對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形).例1、已知：如右圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=，OA=2，OB=1.求證：□ABCD是菱形.ABCOD證明：∵∠1=∠2, 又∵AE=AC, ∴△ACD≌△AED(SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS). ∴CD=ED,CF=EF.又∵EF=ED, ∴四邊形ABCD是菱形（四邊相等的四邊形是菱形）.2例2、已知：如圖，在△ABC，AD是角平分線，點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，且AE=AC，EF=ED.求證：四邊形CDEF是菱形.ACBEDF1例3、在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BD平分∠ABC，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE＝BO，連接OD．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若AD＝4，∠DAB＝60°，求OE的長(zhǎng)．（1）證明：∵AD∥BC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∠CBD＝∠ADB，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵∠DAB＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB＝60°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，∴∠AOD＝90°，OD＝ED，∴∠E＝∠DOE，∵∠ADO＝∠E+∠DOE，∴∠E＝∠DOE＝30°，∵∠DAO＝30°，∴∠E＝∠EAO，∴OE＝AO，∵AD＝4，∴OD=2，∴OE=AO＝=隨堂練習(xí)1．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．四邊相等的四邊形是菱形 B．菱形的對(duì)角線長(zhǎng)度等于邊長(zhǎng) C．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形B隨堂練習(xí)2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上的點(diǎn)（與B，C兩點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，DF∥AB，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，下列條件能判定四邊形AEDF是菱形的是（）A．AD⊥BC B．AD為BC邊上的中線 C．AD＝BD D．AD平分∠BACD隨堂練習(xí)3．如圖，直線l是四邊形ABCD的對(duì)稱(chēng)軸，若AD＝CB，下面四個(gè)結(jié)論中：①AD∥CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，一定正確的結(jié)論的序號(hào)是___________．①②③隨堂練習(xí)4.如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于點(diǎn)E.求證：四邊形ADCE是菱形.證明：∵AB∥DC，CE∥DA，∴四邊形ADCE是平行四邊形.∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAE.又∵CE∥DA，∴∠ACE=∠CAD.∴∠ACE=∠CAE.∴AE=CE.又∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴四邊形ADCE是菱形.隨堂練習(xí)5.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．CD⊥AB，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB交AB于點(diǎn)G，連接EG．求證：四邊形CEGF是菱形.解：證明：∵FG⊥AB，F(xiàn)C⊥AC，AF平分∠CAB，∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝FG，在Rt△ACF與Rt△AGF中，AF=AF，CF=GF，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF