不等式解法探究論文

第第3頁〔共18頁〕不等式解法探究摘要：不等式可以求最大值、最小值，給我們的日常生活帶來了效率。不等式在高中數(shù)學中不是孤立存在的，在函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、平面向量……，幾乎所有的章節(jié)都有不等式的知識，可以說不等式貫穿了整個高中數(shù)學，由此可見不等式的重要性。不等式題目呈現(xiàn)不同形式，包括函數(shù)定義域、解不等式、與簡易邏輯相結(jié)合、與圓錐曲線相結(jié)合、與數(shù)列相結(jié)合、求取值范圍、均值不等式……。本文針對各種不等式，給出一些解法供大家學習參考。關(guān)鍵詞：不等式；解法；探究Abstract:Inequalitycanbemaximum,minimum,bringtoourdailylifeefficiency.Inequalityinthehighschoolmathdonotexistinisolation,infunctionandsequence,analyticgeometry,planevectorandsoon,almostallthechaptershavetheknowledgeoftheinequality,tosaytheinequalitythroughoutthehighschoolmathematics,theimportanceofthisinequality.Inequalitypresentdifferentforms,includingfunctiondomain,inequality,combinedwithasimplelogic,combinedwithaconic,combinedwithaprogression,scope,andthemeaninequality.Thispaperinviewofthevariouskindsofinequality,Igivesomesolutiontoconsultforeverybodytolearn.Keywords:inequation;solutio;explore引言不等式是高中數(shù)學學習中的一個重要內(nèi)容，也是一大難點。論文歸納了高中不等式的類型，并以具體題目為例來分析和探究不等式的解題方法，以促進高中不等式的學習。在論文中，作者將會介紹一元二次不等式、絕對值不等式、分式不等式、簡單高次不等式、指數(shù)不等式、對數(shù)不等式、無理數(shù)不等式這七種不等式的具體解法，讓讀者建立起根本的不等式思維。一元二次不等式的解法1.1一元二次不等式的定義含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是或〔〕其中是實數(shù)域內(nèi)的二次三項式。1.2一元二次不等式解法的步湊第一步、將二次項系數(shù)化為正數(shù)；第二步、判斷相應(yīng)的一元二次方程是否有實數(shù)根；第三步、根據(jù)根的情況寫出相應(yīng)的解集。1.3一元二次不等式四種解法例題講解解法一〔十字相乘法〕當時，一元二次方程有兩個實根，那么可分解為如的形式。這樣，解一元二次不等式就可歸結(jié)為解兩個一元一次不等式組。一元二次不等式的解集就是這兩個一元一次不等式組的解集的交集。例1、試解一元二次不等式

解：利用十字相乘法：得然后，分兩種情況討論。1〕得〔不成立〕2〕得得最終不等式的解集為：解法二〔配方法〕此外，亦可用配方法解一元二次不等式。如上面例題中：兩邊開平方，得：且且得不等式的解集為

解法三〔圖像法〕一元二次不等式也可通過一元二次函數(shù)圖象進行求解。通過觀察圖象可知，二次函數(shù)圖象與X軸的兩個交點，然后根據(jù)題中所需求"<0"或">0"而推出答案。求一元二次不等式的解集實際上是將這個一元二次不等式的所有項移到不等式一側(cè)并進行因式分解分類討論求出解集。解一元二次不等式，可將一元二次方程不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的形式，求出函數(shù)與X軸的交點，將一元二次不等式，二次函數(shù)，一元二次方程聯(lián)系起來，并利用圖象法進行解題，使得問題簡化。解法四〔數(shù)軸穿根〕數(shù)軸穿根：用穿根法解高次不等式時，就是先把不等式一端化為零，再對另一端分解因式，并求出它的零點，把這些零點標在數(shù)軸上，再用一條光滑的曲線，從x軸的右端上方起，依次穿過這些零點，這大于零的不等式的解對應(yīng)這曲線在x軸上方局部的實數(shù)x得起值集合，小于零的這相反。這種方法叫做序軸穿根法，又叫“穿根法〞?？谠E是“從右到左，從上到下，奇穿偶不穿。〞步驟:1.把二次項系數(shù)變成正的(不用是1,但是得出者為正解)；2.畫數(shù)軸,在數(shù)軸上從小到大依次標出所有根；3.從右上角開始,一上一下依次穿過不等式的根，奇過偶不過(即遇到含X的項是奇次冪就穿過,偶次冪就跨過。后文有詳細介紹)；4.注意看看題中不等號有沒有等號,沒有的話還要注意寫結(jié)果時舍去使不等式為0的根。例如：不等式〔最高次項系數(shù)一定要為正，不為正要化成正的)⒈分解因式:；⒉找方程的根:或；⒊畫數(shù)軸,并把根所在的點標上去；⒋注意，此時從最右端開始,從2的右上方引出一條曲線,經(jīng)過點2，繼續(xù)向左繪制,類似于拋物線，再經(jīng)過點1，向點1的左上方無限延伸；⒌看題求解,題中要求求小于等于0的解，那么只需在數(shù)軸上觀察哪一段在數(shù)軸及數(shù)軸以下即可,觀察可以得到：。

2、絕對值不等式的解法2.1絕對值不等式的性質(zhì)在不等式應(yīng)用中，經(jīng)常涉及質(zhì)量、面積、體積等，也涉及某些數(shù)學對象〔如實數(shù)、向量〕的大小或絕對值。它們都是通過非負數(shù)來度量的。表示數(shù)軸上的點a與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值。

兩個重要性質(zhì)：1.2.可逆推出，當且僅當時左邊等號成立，時右邊等號成立。2.2絕對值不等式的幾何意義1.當同號時它們位于原點的同一邊，此時與的距離等于它們到原點的距離之和。2.當異號時它們分別位于原點的兩邊，此時與的距離小于它們到原點的距離之和。(表示與原點的距離，也表示與之間的距離)2.3 絕對值不等式三種解法例題講解表2.3絕對值不等式的三種解法同解變形不等式解法討論法，就是令絕對值中的式子等于0，分出x的段，然后根據(jù)每段討論得出的x值，取交集，綜上所述即可數(shù)形結(jié)合法，即在數(shù)軸上將各點畫出，將數(shù)轉(zhuǎn)換為長度的概念求解平方法，就是在不等式左右兩邊同時平方同解變形或例2、解不等式.解：原不等式轉(zhuǎn)化為，即，得.所以原不等式的解集為.例3、解不等式.解：原不等式轉(zhuǎn)化為，那么，得.所以原不等式的解集為.例4、解不等式.〔注：此題提供了另外一種解絕對值不等式的方法?！辰猓悍?、兩種情況討論。當時，絕對值直接去掉，在原不等式兩邊同乘以得，解得.當時，原不等式轉(zhuǎn)化為，兩邊同乘以得，即，解得.所以原不等式的解集為.例5、不等式組的解集是A.B.C.D.解：從各選項來看，只需解方程或.前者解得，后者解得.于是選C.〔注：絕對值不等式的解集的端點值必為方程的解?！忱?、解不等式.解〔方法一〕：原不等式等價于或.解之得或，即或.所以原不等式的解集為.解〔方法二〕：原不等式轉(zhuǎn)化為或，解之得原不等式的解集為.分式不等式的解法3.1 分式不等式的定義3.2 分式不等式解法的核心思想表3.2分式不等式的解法不等式等價轉(zhuǎn)化如上表中，將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，然后運用整式不等式的方法求解。這就是分式不等式解法的核心思想。3.3分式不等式例題講解例6、解不等式.解〔方法一〕：分與兩種情況討論。當時，原不等式轉(zhuǎn)化為，解之得，但前提是，所以此時不等式的解為；當時，原不等式轉(zhuǎn)化為，解之得，但前提是，所以此時解為.綜上所述，原不等式的解集為.解〔方法二〕：把不等式右邊的移到左邊并通分得，再等價轉(zhuǎn)化為，解此一元二次不等式得到原不等式的解集為.例7、解不等式.解〔方法一〕：原不等式等價于或或.解之得.解〔方法二〕：原不等式等價于，解之得.簡單高次不等式的解法4.1簡單高次不等式的概念解不等式是初等數(shù)學重要內(nèi)容之一，高中數(shù)學常出現(xiàn)高次不等式，其類型通常為一元高次不等式。常用的解法有化為不等式組法、列表法和根軸法〔串根法或穿針引線法〕來求解。4.2簡單高次不等式三種解法例題講解方法一〔列表法〕解題步驟：①將不等式化為形式〔各項x的符號化“+〞〕，令，求出各根，不妨稱之為分界點，一個分界點把〔實數(shù)〕數(shù)軸分成兩局部，n個分界點把數(shù)軸分成n+1局部……；②按各根把實數(shù)分成的n+1局部，由小到大橫向排列，相應(yīng)各因式縱向排列〔由對應(yīng)較小根的因式開始依次自上而下排列〕；③計算各區(qū)間內(nèi)各因式的符號，下面是乘積的符號；④看下面積的符號寫出不等式的解集.例9、解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；解：①檢查各因式中x的符號均正；②求得相應(yīng)方程的根為：-2，1，3；③列表如下：表4.2(x-1)(x+2)(x-3)>0各因式積各因式積④由上表可知，原不等式的解集為：方法二〔分組法〕此種方法的本質(zhì)是分類討論，強化了“或〞與“且〞，進一步滲透了“交〞與“并〞的思想方法。方法三〔根軸法又叫穿針引線法，串根法〕①將不等式化為形式，并將各因式x的系數(shù)化“+〞；(為了統(tǒng)一方便)②求根，并在數(shù)軸上表示出來；③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點〔為什么？原因為：當

時不等式左側(cè)恒為正?！?；④假設(shè)不等式〔的系數(shù)化“+〞后〕是“〞,那么找“線〞在軸上方的區(qū)間；假設(shè)不等式是“〞,那么找“線〞在軸下方的區(qū)間.注意：奇穿偶不穿例10、解不等式解：解方程得根分別為，在數(shù)軸上標根如下：圖4-1數(shù)軸上標根然后穿針引線，記住穿針口訣〔從右到左、從上到下、奇穿偶回〕如下：圖4-2數(shù)軸上穿針引線不等式大于零取數(shù)軸上方的局部，如下：圖4-3數(shù)軸上取值于是原不等式的解集為例11、解不等式.解：解方程得根分別為，在數(shù)軸上標根如下：圖4-4數(shù)軸上標根然后穿針引線，記住穿針口訣〔從右到左、從上到下、奇穿偶回〕，注意到此題與上題的區(qū)別，根為的那一項的指數(shù)為，為偶數(shù)；根為的那兩項的指數(shù)均為奇數(shù)；其余根所在項的指數(shù)均為，為奇數(shù)。于是此題穿針引線的方法與上題略有不同，指數(shù)為奇數(shù)的穿過數(shù)軸，指數(shù)為偶數(shù)的不能穿過數(shù)軸，應(yīng)該迂回。此題只有要迂回，具體過程如下：圖4-5數(shù)軸上穿針引線不等式大于零取數(shù)軸上方的局部，如下：圖4-6數(shù)軸上取值于是原不等式的解集為.例12、解不等式.解：根據(jù)分式不等式的解法，原不等式等價于，即，畫數(shù)軸標根及穿針引線如下：圖4-7數(shù)軸標根及穿針引線于是解得，所以原不等式的解集為指數(shù)不等式的解法5.1 指數(shù)不等式的解法歸納表5.1指數(shù)不等式的解法5.2指數(shù)不等式例題講解例13、解不等式.解：原不等式轉(zhuǎn)化為，等價于，解得.例14、解不等式.解：注意到，令，那么原不等式轉(zhuǎn)化為，解一元二次不等式得，即，解得6、對數(shù)不等式的解法6.1對數(shù)不等式的定義對數(shù)不等式是一種兩邊由對數(shù)構(gòu)成的不等式.6.2對數(shù)不等式例題講解例15、解不等式.解：原不等式即，那么有，解得.例16、解不等式.解：原不等式即，那么有，解得..例17、解不等式.解：原不等式即，解得無理數(shù)不等式的解法7.1 無理數(shù)不等式的解法歸納表7.1.1無理不等式的解法不等式等價轉(zhuǎn)化表7.1.2無理數(shù)不等式解法的等價轉(zhuǎn)化不等式等價轉(zhuǎn)化7.2 無理數(shù)不等式例題講解例18、解不等式.解：原不等式等價于，解得，即.例19、解不等式.解〔方法一〕：原不等式等價于，解得，即.例20、解不等式.解：原不等式等價于，解得.補充：此處提供例19與例200的另一種方法：數(shù)形結(jié)合法。該法簡單又直觀，宜首選。在很多解不等式的題中都能用此法。大致步驟為先識別是哪兩個函數(shù)在比擬函數(shù)值，再在同一個坐標系中把這兩個函數(shù)的圖象畫出來，最后只需觀察哪個函數(shù)在哪些范圍內(nèi)圖象高，在哪些范圍內(nèi)圖象低，圖象高的說明函數(shù)值越大，圖象低的說明函數(shù)值越小。比方，此題中涉及的兩個函數(shù)分別是與，在同一坐標系中作出函數(shù)與的圖象如下：圖7-1與的圖象從圖象可以得知〔圖象高，函數(shù)值大；圖象低，函數(shù)值小〕：當時，；當時，；當時，.綜合型不等式例題講解例21、解不等式..解：原不等式即，可等價轉(zhuǎn)化為解之得解得即.例22、解不等式.解：原不等式即，可等價轉(zhuǎn)化為，整理得，即，因恒成立，所以不等式轉(zhuǎn)化為，即，繼續(xù)轉(zhuǎn)化為，解得.9、總結(jié)在上面的論文中，我們了解到了不等式的各種解法，那么我們?nèi)绾伟阉鼈冞\用到實際生活中去呢？這是一個實踐的過程，正所謂“學以致用〞。高中數(shù)學新課標的根本理念是注重高中數(shù)學的根底性，與時俱進信息時代的到來，使數(shù)學得到更廣泛的應(yīng)用，表達數(shù)學的文化價值，數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門學科，它是人類文化的重要組成局部之一，不僅是研究其它學科，以及人們參加社會生產(chǎn)和生活的必不可少的工具，還具有極高的美學價值。本論文的內(nèi)容很好的實現(xiàn)了新課標的要求，通過與現(xiàn)實生活中資源利用問題相結(jié)合，不僅將根本不等式的知識再次穩(wěn)固，將根底知識落實到位，還讓讀者通過根本不等式模型去解決實際生活中的最值問題，感受到數(shù)學之美，數(shù)學之價值，并意識運用數(shù)學知識可以幫助我們解決一些生活中的難題，在增強讀者對于資源節(jié)約的使命感、責任感的同時，還幫助讀者樹立了資源節(jié)約意識的美德，很好的培養(yǎng)了讓讀者愛數(shù)學、愛資源、愛社會的思想情操。參考文獻[1]童美亞.新疆內(nèi)地高中班預科自編教材?方程與不等式?編寫及實施跟蹤研究[D].華東師范大學,2023.[2]楊慶華.