山西農(nóng)業(yè)大附屬中學(xué)2024屆八上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

山西農(nóng)業(yè)大附屬中學(xué)2024屆八上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．將下列多項(xiàng)式因式分解,結(jié)果中不含有因式(a+1)的是()A．a(chǎn)2-1B．a(chǎn)2+aC．a(chǎn)2+a-2D．(a+2)2-2(a+2)+12．下列圖形中對(duì)稱軸條數(shù)最多的是（）A．線段 B．正方形 C．圓 D．等邊三角形3．用反證法證明：“直角三角形至少有一個(gè)銳角不小于45°”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)（）A．直角三角形的每個(gè)銳角都小于45°B．直角三角形有一個(gè)銳角大于45°C．直角三角形的每個(gè)銳角都大于45°D．直角三角形有一個(gè)銳角小于45°4．學(xué)校開展為貧困地區(qū)捐書活動(dòng)，以下是5名同學(xué)捐書的冊(cè)數(shù)：2，2，x，4，1．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是()A．2和2 B．4和2 C．2和3 D．3和25．如圖，點(diǎn)是的外角平分線上一點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．一次函數(shù)的與的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示，根據(jù)表中數(shù)值分析．下列結(jié)論正確的是（）A．隨的增大而增大B．是方程的解C．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限D(zhuǎn)．一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)7．下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的為（）A．10x2－5x=5x(2x－1) B．a(chǎn)(x+y)=ax+ayC．x2－4x+4=x(x－4)+4 D．x2－16+3x=(x－4)(x+4)+3x8．下列運(yùn)算正確的是（）A．（﹣a3）2=﹣a6 B．2a2+3a2=6a2C．2a2?a3=2a6 D．9．若把分式中的x、y都擴(kuò)大4倍，則該分式的值（）A．不變 B．?dāng)U大4倍 C．縮小4倍 D．?dāng)U大16倍10．下列多項(xiàng)式能用平方差公式分解因式的是（）A．﹣x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣2xy+y2 D．x2+y211．下列分式中，不是最簡(jiǎn)分式的是（）A． B．C． D．12．化簡(jiǎn)－()2的結(jié)果是()A．6x－6B．－6x＋6C．－4D．4二、填空題（每題4分，共24分）13．已知，那么以邊邊長(zhǎng)的直角三角形的面積為__________．14．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)P沿△ABC的邊從A→B→C運(yùn)動(dòng)，以AP為邊作等邊△APQ，且點(diǎn)Q在直線AB下方，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)到使△BPQ是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為_____．15．若已知，，則__________．16．已知空氣的密度是0.001239，用科學(xué)記數(shù)法表示為________17．若是完全平方式，則______．18．當(dāng)____________時(shí)，分式的值為零．三、解答題（共78分）19．（8分）證明“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”.20．（8分）已知：點(diǎn)Q的坐標(biāo)（2-2a，a+8）．（1）若點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離為2，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．（2）若點(diǎn)Q到兩坐標(biāo)軸的距離相等，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．21．（8分）如圖，直線EF與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-8，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0），點(diǎn)P（x，y）是直線EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且P點(diǎn)在第二象限內(nèi)；（1）求直線EF的解析式；（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，寫出△OPA的面積S與x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）探究，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置（求P的坐標(biāo)）時(shí)，△OPA的面積是？22．（10分）如圖，已知AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點(diǎn)O．（1）問題探究：線段OB，OC有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）問題拓展：分別連接OA，BC，試判斷直線OA，BC的位置關(guān)系，并說明理由；（3）問題延伸：將題目條件中的“CD⊥AB于D，BE⊥AC于E”換成“D、E分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)”，（1）（2）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必說明理由．23．（10分）如圖1，已知△ABC和△EFC都是等邊三角形，且點(diǎn)E在線段AB上．（1）求證：BF∥AC；（2）過點(diǎn)E作EG∥BC交AC于點(diǎn)G，試判斷△AEG的形狀并說明理由；（3）如圖2，若點(diǎn)D在射線CA上，且ED＝EC，求證：AB＝AD＋BF．24．（10分）（1）因式分解：（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中25．（12分）五月初，我市多地遭遇了持續(xù)強(qiáng)降雨的惡劣天氣，造成部分地區(qū)出現(xiàn)嚴(yán)重洪澇災(zāi)害，某愛心組織緊急籌集了部分資金，計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種救災(zāi)物品共2000件送往災(zāi)區(qū)，已知每件甲種物品的價(jià)格比每件乙種物品的價(jià)格貴10元，用350元購(gòu)買甲種物品的件數(shù)恰好與用300元購(gòu)買乙種物品的件數(shù)相同（1）求甲、乙兩種救災(zāi)物品每件的價(jià)格各是多少元？（2）經(jīng)調(diào)查，災(zāi)區(qū)對(duì)乙種物品件數(shù)的需求量是甲種物品件數(shù)的3倍，若該愛心組織按照此需求的比例購(gòu)買這2000件物品，需籌集資金多少元？26．如圖，在中，，，線段與關(guān)于直線對(duì)稱，是線段與直線的交點(diǎn)．（1）若，求證：是等腰直角三角形；（2）連，求證：．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解題分析】試題分析：先把四個(gè)選項(xiàng)中的各個(gè)多項(xiàng)式分解因式，即a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，觀察結(jié)果可得四個(gè)選項(xiàng)中不含有因式a+1的是選項(xiàng)C；故答案選C．考點(diǎn)：因式分解.2、C【分析】先根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義確定各選項(xiàng)圖形的對(duì)稱軸條數(shù)，然后比較即可選出對(duì)稱軸條數(shù)最多的圖形．【題目詳解】解：A、線段有2條對(duì)稱軸；B、正方形有4條對(duì)稱軸；C、圓有無數(shù)條對(duì)稱軸；D、等邊三角形有3條對(duì)稱軸；故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，即在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．3、A【解題分析】分析：找出原命題的方面即可得出假設(shè)的條件．詳解：有一個(gè)銳角不小于45°的反面就是：每個(gè)銳角都小于45°，故選A．點(diǎn)睛：本題主要考查的是反證法，屬于基礎(chǔ)題型．找到原命題的反面是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵．4、D【解題分析】試題分析：根據(jù)平均數(shù)的含義得：=4，所以x=3；將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列（2，2，3，4，1），處于中間位置的數(shù)是3，那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3；在這一組數(shù)據(jù)中2是出現(xiàn)次數(shù)最多的，故眾數(shù)是2．故選D．考點(diǎn)：中位數(shù)；算術(shù)平均數(shù)；眾數(shù)5、D【分析】證明Rt△BFD≌Rt△CED（HL），Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．【題目詳解】解：如圖，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O．∵DF⊥BF，DE⊥AC，∴∠BFD＝∠DEC＝90°，∵DA平分∠FAC，∴DF＝DE，故①正確，∵BD＝DC，∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL），故②正確，∴EC＝BF，∵AD＝AD，DF＝DE，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∵AF＝AE，∴EC＝AB＋AF＝AB＋AE，故③正確，∵∠DBF＝∠DCE，∠AOB＝∠DOC，∴∠BAC＝∠BDC，故④正確．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．6、C【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再根據(jù)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求解．【題目詳解】把（0，2）、（1，-1）代入得解得∴一次函數(shù)解析式為y=-3x+2∵k=-3＜0，∴隨的增大而減小，故A錯(cuò)誤；把代入，故B錯(cuò)誤；一次函數(shù)y=-3x+2的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故C正確；令y=0,-3x+2=0,解得x=，一次函數(shù)y=-3x+2的圖象與軸交于點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，故選C．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法的應(yīng)用．7、A【分析】根據(jù)分解因式的定義逐項(xiàng)判斷即得答案．【題目詳解】解：A、10x2－5x=5x(2x－1)，由左邊到右邊的變形是分解因式，故本選項(xiàng)符合題意；B、a(x+y)=ax+ay，由左邊到右邊的變形不是分解因式，故本選項(xiàng)不符合題意；C、x2－4x+4=x(x－4)+4，由左邊到右邊的變形不是分解因式，故本選項(xiàng)不符合題意；D、x2－16+3x=(x－4)(x+4)+3x，由左邊到右邊的變形不是分解因式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了分解因式的定義，屬于基礎(chǔ)概念題型，熟知概念是關(guān)鍵．8、D【解題分析】分別根據(jù)冪的乘方、合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)冪的乘法及分式的乘方逐一計(jì)算即可判斷．【題目詳解】A、（-a3）2=a6，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、2a2+3a2=5a2，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、2a2?a3=2a5，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、(，此選項(xiàng)正確；故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握冪的乘方、合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)冪的乘法及分式的乘方的運(yùn)算法則．9、A【分析】把x換成4x，y換成4y，利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，判斷即可．【題目詳解】，∴把分式中的x，y都擴(kuò)大4倍，則分式的值不變．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了分式的基本性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．10、A【解題分析】試題分析：能夠運(yùn)用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式必須是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都能寫成平方的形式，且符號(hào)相反．根據(jù)平方差公式的特點(diǎn)可得到只有A可以運(yùn)用平方差公式分解，故選A．考點(diǎn)：因式分解-運(yùn)用公式法．11、B【分析】最簡(jiǎn)分式的標(biāo)準(zhǔn)是分子,分母中不含有公因式,不能再約分.判斷的方法是把分子,分母分解因式,觀察互為相反數(shù)的因式,這樣的因式可以通過符號(hào)變化化為相同的因式從而約分.【題目詳解】最簡(jiǎn)分式的標(biāo)準(zhǔn)是分子，分母中不含有公因式，不能再約分．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過符號(hào)變化化為相同的因式從而進(jìn)行約分．解：A、是最簡(jiǎn)分式，不符合題意;B、不是最簡(jiǎn)分式，符合題意;C、是最簡(jiǎn)分式，不符合題意;D、是最簡(jiǎn)分式，不符合題意;故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分式化簡(jiǎn)中最簡(jiǎn)分式的判斷.12、D【解題分析】試題解析：∴故選D.二、填空題（每題4分，共24分）13、6或【分析】根據(jù)得出的值，再分情況求出以邊邊長(zhǎng)的直角三角形的面積．【題目詳解】∵∴（1）均為直角邊（2）為直角邊，為斜邊根據(jù)勾股定理得另一直角邊∴故答案為：6或【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角形的面積問題，掌握勾股定理以及三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．14、3或1【分析】如圖，連接CP，BQ，由“SAS”可證△ACP≌△ABQ，可得BQ＝CP，可得點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡是A→H→B，分兩種情況討論，即可求解．【題目詳解】解：如圖，連接CP，BQ，∵△ABC，△APQ是等邊三角形，∴AP＝AQ＝PQ，AC＝AB，∠CAP＝∠BAQ＝60°，∴△ACP≌△ABQ(SAS)∴BQ＝CP，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H，且BH＝BC＝6，∴當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在AH上運(yùn)動(dòng)，∵△BPQ是等腰三角形，∴PQ＝PB，∴AP＝PB＝3＝AQ，∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為3，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在BH上運(yùn)用，∵△BPQ是等腰三角形，∴PQ＝PB，∴BP＝BQ＝3，∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為3+6＝1，故答案為：3或1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，確定點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的關(guān)鍵．15、1【分析】利用平方差公式，代入x+y=5即可算出．【題目詳解】解：由=5把x+y=5代入得x-y=1故本題答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了平方差公式的運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)事解決本題的關(guān)鍵．16、1.239×10-3.【分析】絕對(duì)值小于1的數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【題目詳解】0.001239=1.239×10-3故答案為：1.239×10-3.【題目點(diǎn)撥】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示，熟練掌握n的值是解題的關(guān)鍵.17、【分析】這里首末兩項(xiàng)是x和2這兩個(gè)數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去x和2積的2倍，故m=±1．【題目詳解】解：中間一項(xiàng)為加上或減去和2積的2倍，故，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．注意積的2倍的符號(hào)，避免漏解．18、-1【分析】分式的值為零時(shí),分子等于零,分母不等于零,進(jìn)行求解即可．【題目詳解】解：∵分式的值為零,

∴．

解得：,所以當(dāng)時(shí),分式無意義,故舍去．綜上所述,．

故答案為：-1．【題目點(diǎn)撥】考查了分式的值為零的條件,注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少．三、解答題（共78分）19、見解析.【分析】根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知和求證，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明.【題目詳解】已知：如圖，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，且PE=PF，

求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．

證明：在Rt△POE和Rt△POF中，

∴Rt△POE≌△RtPOF，

∴∠EOP=∠FOP，∴OP平分∠AOB

∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．【題目點(diǎn)撥】本題考查的是角平分線的判定的證明，知曉直角三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．這是文字證明題，解題有三個(gè)步驟：一是分清題設(shè)和結(jié)論，畫出圖形；二是結(jié)合圖形寫出已知、求證；三是寫出證明過程.20、（1）（-2，10）或（2，8）；（2）（6，6）或（-18，18）．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離為2確定出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為±2，然后分兩種情況分別求解即可得；（2）根據(jù)點(diǎn)Q到兩坐標(biāo)軸的距離相等列出方程，然后求解得到a的值，再求解即可．【題目詳解】（1）∵點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離為2，

∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是±2，即2-2a=±2，①當(dāng)2-2a=-2時(shí)，解得a=2，∴2-2a=-2，a+8=10，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2，10)；②當(dāng)2-2a=2時(shí)，解得a=0，∴2-2a=2，a+8=8，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，8)，所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，10）或（2，8）；（2）∵點(diǎn)Q到兩坐標(biāo)軸的距離相等，

∴|2-2a|=|8+a|，

∴2-2a=8+a或2-2a=-8-a，

解得a=-2或a=10，

當(dāng)a=-2時(shí)，2-2a=2-2×（-2）=6，8+a=8-2=6，

當(dāng)a=10時(shí)，2-2a=2-20=-18，8+a=8+10=18，

所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6，6）或（-18，18）．【題目點(diǎn)撥】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)，熟記坐標(biāo)軸上與各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．21、（1）y=x+1；（2）S=x+18（﹣8＜x＜0）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣5，）時(shí)，△OPA的面積是．【分析】（1）用待定系數(shù)法直接求出；

（2）先求出OA，表示出PD，根據(jù)三角形的面積公式，可得函數(shù)解析式；再根據(jù)P（x，y）在第二象限內(nèi)的直線上，可得自變量的取值范圍；

（3）利用（2）中得到的函數(shù)關(guān)系式直接代入S值，求出x即可．【題目詳解】解：（1）設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，由題意得：解得，k=；∴直線EF的解析式為y=x+1．（2）如圖，

作PD⊥x軸于點(diǎn)D，∵點(diǎn)P（x，y）是直線y=x+1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）∴OA=1，PD=x+1∴S=OA?PD=×1×（x+1）=x+18（﹣8＜x＜0）；（3）由題意得，x+18=，解得，x=﹣5，則y=×（﹣5）+1=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣5，）時(shí)，△OPA的面積是．【題目點(diǎn)撥】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是求出直線EF解析式．22、（1）OB=OC，理由見解析；（2）AO⊥BC，理由見解析；（3）（1）（2）中的結(jié)論還成立，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)垂直定義求出∠ADC=∠AEB=90°，根據(jù)AAS推出△ADC≌△AEB，根據(jù)全等得出AD=AE，∠B=∠C，得出BD=CE，根據(jù)AAS推出△BDO≌△CEO即可得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)AO交BC于M，根據(jù)SAS推出△OBA≌△OCA，根據(jù)全等得出∠BAO=∠CAO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出即可；（3）求出AD=AE，BD=CE，根據(jù)SAS推出△ADC≌△AEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠DBO=∠ECO，根據(jù)AAS推出△BDO≌△CEO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OB=OC，根據(jù)SAS推出△OBA≌△OCA，推出∠BAO=∠CAO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可．【題目詳解】（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC=∠AEB=90°，在△ADC和△AEB中，∵，∴△ADC≌△AEB（AAS），∴AD=AE，∠B=∠C．∵AB=AC，∴BD=CE，在△BDO和△CEO中，∵，∴△BDO≌△CEO（AAS），∴OB=OC；（2）AO⊥BC．理由如下：延長(zhǎng)AO交BC于M．在△OBA和△OCA中，∵，∴△OBA≌△OCA（SAS），∴∠BAO=∠CAO．∵AB=AC，∴AO⊥BC；（3）（1）（2）中的結(jié)論還成立．理由如下：∵D、E分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，AC=AB，∴AD=AE，BD=CE，在△ADC和△AEB中，∵，∴△ADC≌△AEB（SAS），∴∠DBO=∠ECO，在△BDO和△CEO中，∵，∴△BDO≌△CEO（AAS），∴OB=OC，在△OBA和△OCA中，∵，∴△OBA≌△OCA（SAS），∴∠BAO=∠CAO．∵AB=AC，∴AO⊥BC．【題目點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是推出△ACD≌△BCE和△CME≌△CND，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．23、（1）見解析；（2）△AEG是等邊三角形；理由見解析；（3）見解析.【分析】（1）如圖1，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠ECF=60°，AC=BC，CE=FC，推出△ACE≌△FCB，得到∠CBF=∠A=60°，于是得到∠CBF=∠ACB，根據(jù)平行線的判定定理即可得到AC∥BF；

（2）過E作EG∥BC交AC于G，根據(jù)等邊三角形的判定定理可證明△AEG是等邊三角形；（3）由（2）可知∠DAE=∠EGC=120°，可證明△ADE≌△GCE，進(jìn)而得到AD=CG，再由（1）BF=AE=AG，于是可證得AB=BF+AD.【題目詳解】解：（1）如圖1，

∵△ABC和△EFC都是等邊三角形，

∴∠ACB=∠ECF=∠A=60°，AC=BC，CE=FC，

∴∠1+∠3=∠2+∠3，

∴∠1=∠2，

在△ACE與△FCB中，,∴△ACE≌△FCB，

∴∠CBF=∠A=60°，

∴∠CBF=∠ACB，∴AC∥BF；

（2）△AEG是等邊三角形，理由如下：如圖，過E作EG∥BC交AC于G，∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠AEG=∠AGE=60°，

∴△AEG是等邊三角形.

（3）如圖2，過E作EG∥BC交AC于G，由（2）可知△AEG是等邊三角形，∴AE=EG=AG，∠GAE=∠AGC=60°，

∴∠DAE=∠EGC=120°，

∵DE=CE，∴∠D=∠1，

∴△ADE≌△GCE，

∴AD=CG，

∴AC=AG+CG=AG+AD，由（1）得△ACE≌△FCB，

∴BF=AE，

∴BF=AG，

∴AC=BF+AD，

∴AB=BF+AD.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的