2023-2024學(xué)年湘教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè) 4.3 角

4.3.1

第1課時(shí)

角與角的大小比較第4章圖形的認(rèn)識(shí)4.3角

觀察左邊的實(shí)物，你發(fā)現(xiàn)這些實(shí)物能抽象出什么樣的共同形象？——角情境導(dǎo)入2

觀察角的圖形，你能歸納出角的概念嗎？嘗試去描述一下角是由什么組成的圖形.觀察與思考角的定義及表示方法OAB

有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角.(靜態(tài)定義)始邊終邊概念學(xué)習(xí)

一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一位置時(shí)所成的圖形叫做角.(動(dòng)態(tài)定義)公共端點(diǎn)—-角的頂點(diǎn)兩條射線—-角的邊角的內(nèi)部OABOA(B)平角周角OAB(B)平角的兩邊成一條直線.周角的兩邊重合成一條射線.

當(dāng)射線繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與原來的位置在同一直線上但方向相反時(shí)，所成的角叫做平角.

當(dāng)射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，又重新回到原來的位置時(shí)，所成的角叫做周角.判斷下列哪些圖形是角：()(

)(

)(

)練一練是不是是是(1)表示角的幾何符號(hào)是什么？(2)表示一個(gè)角有幾種方法？(3)用三個(gè)大寫字母表示一個(gè)角應(yīng)注意什么？(4)什么情況下可以用角的頂點(diǎn)表示這個(gè)角？(5)用希臘字母和阿拉伯?dāng)?shù)字表示一個(gè)角應(yīng)注意什么？合作探究1AOB記作：∠AOB或∠BOA．AOB記作：∠O．α記作：∠α．1記作：∠1．說一說方法圖示記法適用范圍1.用三個(gè)大寫字母表示∠AOB

或∠BOA任何角2.用一個(gè)大寫字母表示∠O頂點(diǎn)處只有一個(gè)角3.用一個(gè)數(shù)字或希臘字母來表示∠α∠1有弧線和數(shù)字，弧線和小寫希臘字母OABO1角的表示方法總結(jié)α典例精析[解析](2)數(shù)出以

A為頂點(diǎn)的角，可先按逆時(shí)針的方向數(shù)出以

AB為一邊的角，再數(shù)出以

AD為一邊的角，最后數(shù)出以

AE為一邊的角．

例1

根據(jù)下圖填空：(1)圖中能用頂點(diǎn)的一個(gè)大寫字母表示的角有__________；(2)以

A為頂點(diǎn)的角有______________________________________________.∠B，∠C∠BAD，∠BAE，∠BAC，∠DAE，∠DAC，∠EAC

如圖，下面的表示方法對(duì)不對(duì)，如果錯(cuò)了，應(yīng)該怎樣改正？(1)圖中的∠1表示成∠A；(2)圖中的∠2表示成∠D；(3)圖中的∠3表示成∠C.解：(1)圖中的∠1表示成∠DAC.(2)圖中的∠2表示成∠ADC.(3)圖中的∠3表示成∠ECF.做一做

類比線段長(zhǎng)短的比較方法，你認(rèn)為該如何比較兩個(gè)角的大?。亢献魈骄拷Y(jié)論：角的大小比較：度量法、疊合法比較角的大小疊合法OBAO'CDOBAO'CDOBAO'CD1.若射線

O'C與射線

OB重合，那么∠DO'C___∠AOB.2.若射線

O'C在∠AOB外部，那∠DO'C___∠AOB.3.若射線O'C在∠AOB內(nèi)部，那么∠DO'C___∠AOB.=><O'CD1.角的大小與兩邊畫出部分的長(zhǎng)短是否相關(guān)？2.一個(gè)30°

的角用能放大3倍的放大鏡觀看，看到的角度有何變化？

議一議角的大小與兩邊畫出部分的長(zhǎng)短無關(guān).不變.結(jié)論：角的兩邊張開越大，角就越大，與所畫邊的長(zhǎng)短無關(guān).圖中有幾個(gè)角？它們之間有什么關(guān)系？圖中有3個(gè)角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.∠AOC是∠AOB與∠BOC的和，記作∠AOC=∠AOB+∠BOC；它們的關(guān)系：∠AOB是∠AOC與∠BOC的差，記作∠AOB=∠AOC－∠BOC；類似地，∠AOC－∠AOB=

.觀察與思考∠BOCABOC例2

根據(jù)下圖，回答下列問題：(1)試比較∠AOB，∠AOD，∠AOE，∠AOC的大??；(2)在圖中找出角的三個(gè)等量關(guān)系．解：(1)由圖可知∠AOB>∠AOC>∠AOD>∠AOE.(2)等量關(guān)系：∠COE＝∠EOD＋∠COD，∠AOB＝∠AOE＋∠BOE，∠DOB＝∠COD＋∠BOC等．做一做如圖，若∠AOC＝∠BOD，那么∠AOD與∠BOC

的關(guān)系是(

)A.∠AOD＞∠BOC

B.∠AOD＜∠BOCC.∠AOD＝∠BOC

D.無法確定C

活動(dòng)：大家在練習(xí)本上畫一個(gè)角，然后把角的兩邊對(duì)折，展開以后你會(huì)發(fā)現(xiàn)折痕把角分成了兩個(gè)角，這兩個(gè)角有什么關(guān)系呢，它們又和原來的角有著怎樣的等量關(guān)系？觀察思考角平分線

以一個(gè)角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線，如果把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，那么這條射線叫做這個(gè)角的平分線.角平分線的定義因?yàn)?/p>

OC是∠AOB的角平分線，所以∠AOC＝∠BOC=∠AOB，或∠AOB

＝2∠BOC＝2∠AOC.幾何語言O(shè)BAC

如圖，OC是∠AOB的平分線，OD是∠BOC的平分線，那么下列各式中正確的是()A做一做OABCD1.

下列語句正確的是()A.兩條直線相交，組成的圖形叫做角B.兩條有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形叫做角C.兩條有公共點(diǎn)的射線組成的圖形叫做角D.從同一點(diǎn)引出的兩條射線組成的圖形叫做角D2.

下列說法不正確的是()A.∠AOB的頂點(diǎn)是

OB.射線

BO，AO分別是∠AOB的兩條邊C.∠AOB的邊是兩條射線D.∠AOB與∠BOA表示同一個(gè)角B3.判斷

(1)直線是一個(gè)平角()

(2)如圖①，點(diǎn)P不在∠AOB的內(nèi)部()(3)如圖②，∠ABC

與∠DBE是同一個(gè)角()AOB·PDABC·E·××√圖①圖②4.

如圖所示：(1)圖中共有多少個(gè)角

(0°

到180°)？請(qǐng)寫出能用一個(gè)字母表示的角；(2)把圖中所有的角都表示出來.ABC4321O答案：8個(gè)；∠A，∠O.答案：∠A，∠O，∠1，

∠2，∠3，∠4，

∠ABC，∠ACB.5.(1)如圖∠AOB內(nèi)部畫1條射線，問圖中一共有多少個(gè)角？如果是畫2條、3條呢？(2)∠AOB內(nèi)部畫99條射線，問圖中一共有多少個(gè)角？如果是(n－1)條呢？答案：5050個(gè)，(1+2+3+…+n)=個(gè).AOB答案：3個(gè)，6個(gè)，10個(gè).AOB…能力提升：角與角的大小比較角的概念及表示方法角的大小比較角平分線疊合法度量法4.3.2

角的度量與計(jì)算第4章圖形的認(rèn)識(shí)4.3

角第

2課時(shí)角的度量與計(jì)算你知道這一副三角板每個(gè)角的大小嗎？問題1如何衡量一個(gè)角的大小？合作探究角的分類問題2用量角器可以量出角的度數(shù)，那么“

1度”到底是多大呢?

把一個(gè)周角

(即它的旋轉(zhuǎn)量)分為

360

等份，每一等份叫做

1

度，記做

1°.1

度的概念角的分類

平角的一半

(即

90°

的角)

叫做直角.

小于直角

(即小于

90°

)的角叫做銳角.

大于直角但小于平角

(即大于

90°

但小于180°

)的

角叫做鈍角.一個(gè)周角等于

360°，一個(gè)平角等于

180°.AOBCDE2.時(shí)鐘的分針每60分鐘轉(zhuǎn)一圈

(360度)，那么每分鐘轉(zhuǎn)

度，轉(zhuǎn)90度需

分鐘，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)

度.61530練一練1.下列關(guān)于平角、周角的說法正確的是(

)A．平角是一條直線B．周角是一條射線C．反向延長(zhǎng)射線

OA，就形成一個(gè)平角D．兩個(gè)銳角的和不一定小于平角C

由于角的度數(shù)不一定都是整數(shù)，所以我們引入了更小的單位來度量角.角的單位換算

把

1°

的角分成

60

等份，每一等份叫做

1

分，記做1'.

把

1′

的角分成

60

等份，每一等份叫做

1

秒，記做

1″.即角的單位是60進(jìn)制！角的計(jì)算例1用度、分、秒表示

54.26°.解：54.26°

=54°

+0.26°.又

0.26°

=0.26×60′=15.6′

=15′

+

0.6′，而

0.6′

=0.6×60″

=36″，因此，54.26°

=54°15′

36″.按1°＝60′，1′＝60″先把度化成分，再把分化成秒(小數(shù)化整數(shù))典例精析例2

把48°25′48″化成度．解：48°25′48″=48°

+25′+48×'=48°

+25.8'=48°

+25.8×°

=48.43°

按1″＝

，1′＝

先把秒化成分，再把分化成度(整數(shù)化小數(shù))度分秒×60×60×3600÷60÷3600÷60度分秒進(jìn)率關(guān)系圖除不盡可以四舍五入取近似值練一練例3計(jì)算：(1)37°28′+24°35′；(2)83°20′-45°38′20″；(3)25°53′28″×5；

(4)15°20′÷6.解：(1)

37°28′+24°35′=61°63′=62°3′.(2)

83°20′-45°38′20″=82°79′60″-45°38′20″=37°41′40″.逢“60”進(jìn)“1”不夠減，向前一位借“1”(3)25°53′28″×5＝25°×5＋53′×5＋28″×5＝125°＋265′＋140″＝125°＋267′＋20″＝129°27′20″.(4)15°20′÷6＝12°200′÷6＝12°÷6＋200′÷6＝2°＋198′÷6＋2′÷6＝2°＋33′＋120″÷6

＝2°33′20″.

在進(jìn)行度、分、秒的加、減、乘、除運(yùn)算時(shí)，要注意三點(diǎn)：

①度、分、秒均是60進(jìn)制的；

②加、減法的運(yùn)算，可以本著“度與度加減、分與分加減、秒與秒加減，不夠減的時(shí)候借位”的原則；③乘、除法運(yùn)算可以按分配律來進(jìn)行，不夠除可以把余數(shù)化為低位的再除．方法總結(jié)練一練

計(jì)算：(1)20°26′+35°54′；

(2)90°

-

43°18′.解：(1)

20°26′+35°54′=55°80′=56°20′.(2)

90°

-43°18′=89°60′-43°18′=46°42′.例4

小紅早晨8：30出發(fā)，中午12：30到家，則小紅出發(fā)時(shí)時(shí)針和分針的夾角為

，到家時(shí)時(shí)針和分針的夾角為

.解析：與12點(diǎn)整相比，8：30時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過了(8＋)×30°＝255°，分針轉(zhuǎn)過了30×6°＝180°，所以夾角為255°－180°＝75°.同理12：30時(shí)，時(shí)針和分針的夾角為165°.75°165°

鐘表在3點(diǎn)半時(shí)，它的時(shí)針和分針?biāo)傻匿J角是

度.【解析】可以畫出草圖，如圖所示，要注意的是3點(diǎn)半時(shí)，分針指在正下方6處，而時(shí)針并非指在3處，而是在3與4的正中間，所以分針和時(shí)針的夾角為90°－×30°＝75°.75練一練確定相應(yīng)鐘表上時(shí)針與分針?biāo)傻慕嵌乳_動(dòng)腦筋30°120°90°0°1.下列算式正確的是(

)①33.33°＝33°3′3″；②33.33°＝33°19′48″；③50°40′33″＝50.43°；④50°40′30″＝50.675°.A．①和②B．①和③C．②和③D．②和④D3.比較大?。?4.45°_______74°45′.<2.填空：（1）0.65°=

′；（2）32.43°=

°

′

″；（3）120°38′54″=

°；（4）108°40′24″=________°.39322548120.65108.674.時(shí)鐘4點(diǎn)15分時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)傻慕菫開____°.37.55.計(jì)算下列各題：(1)153°39′＋25°40′38″；(2)90°－37°24′38″.解：(1)153°39′＋25°40′38″＝178°79′38″＝179°19′38″.(2)90°－37°24′38″＝89°59′60″－37°24′38″＝52°35′22″.角的度量與計(jì)算角的分類角的單位的換算角的和、差計(jì)算

周角鈍角銳角平角直角4.3.2

角的度量與計(jì)算第4章圖形的認(rèn)識(shí)4.3

角第

3課時(shí)余角和補(bǔ)角12比薩斜塔

情境引入13比薩斜塔

活動(dòng)：將一張長(zhǎng)方形紙片，沿一個(gè)角折疊后，折痕與長(zhǎng)方形的邊形成了4個(gè)角.1234思考：1.∠1與∠2有什么數(shù)量關(guān)系？∠1+∠2=90°.2.∠3與∠4有什么數(shù)量關(guān)系？∠3+∠4=180°.合作探究余角和補(bǔ)角的概念1

如果兩個(gè)角的和等于90°

(直角)，那么說這兩個(gè)角互為余角

(簡(jiǎn)稱為兩個(gè)角互余

).如圖，可以說∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余.2概念學(xué)習(xí)幾何語言表示為：若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角

如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，那么說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角

(簡(jiǎn)稱為兩個(gè)角互補(bǔ)

).如圖，可以說∠3是∠4的補(bǔ)角，或∠4是∠3的補(bǔ)角，或∠3和∠4互補(bǔ).43概念學(xué)習(xí)幾何語言表示為：若∠3+∠4=180°，則∠3與∠4互為補(bǔ)角1.圖中給出的各角，哪些互為余角？15°24°66°75°46.2°43.8°練一練2.圖中給出的各角，哪些互為補(bǔ)角？10°30°60°80°100°120°150°170°練一練∠α∠α

的余角∠α

的補(bǔ)角5°32°45°77°62°23′x°(0＜x＜90)27°37′117°37′85°175°58°148°45°135°103°13°觀察與思考(90－x)°(180－x)°觀察可得結(jié)論：銳角的補(bǔ)角比它的余角大_____.90°

5）如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么∠1、∠2、∠3這三個(gè)角互為余角.（）3）同一個(gè)角的補(bǔ)角比它的余角大90度.（）4）互余的兩個(gè)角一定都是銳角，兩個(gè)銳角一定互余.（

）

2）一個(gè)角的補(bǔ)角必為鈍角.（）1）一個(gè)角的余角必為銳角.（）×√×√×判一判

例1如圖，∠AOB與∠BOD互為余角，OC是∠BOD的平分線，∠AOB=29.66°，求∠COD的度數(shù).解：因?yàn)椤螦OB與∠BOD互為余角，所以∠BOD=90°

-∠AOB

=90°

-

29.66°

=60.34°.

又因?yàn)?/p>

OC是∠BOD的平分線，因此，∠COD

的度數(shù)為30.17°.

29.66°60.34°所以30.17°典例精析例2已知一個(gè)角的余角是這個(gè)角的補(bǔ)角的，求這個(gè)角的度數(shù).解：設(shè)這個(gè)角為

x°，則這個(gè)角的余角為

(90-

x)°，補(bǔ)角為

(180

-

x)°.根據(jù)題意，得

，解得x=45.因此，這個(gè)角的度數(shù)為

45°.練一練

已知∠A與∠B互余，且∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30°，求∠B的度數(shù).解：設(shè)∠B

的度數(shù)為

x°，則∠A的度數(shù)為

(3x+30)°.根據(jù)題意得：x+(3x+30)=90.解得x=15.故∠B的度數(shù)為15°.方法總結(jié)：涉及到角度的計(jì)算時(shí)，除常規(guī)的和差倍分計(jì)算外，通常還需運(yùn)用方程思想解決問題.∠1與∠2，∠3都互為補(bǔ)角，∠2與∠3的大小有什么關(guān)系？思考：12同角

(等角)的補(bǔ)角相等.結(jié)論：3∠2=180°－∠1∠3=180°－∠1同角(等角)的余角相等.類似地，可以得到：=余角和補(bǔ)角的性質(zhì)

如圖，已知∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD，則與∠AOC互余的角有__________________.∠BOC和∠AOD練一練O

A

B

C

D

例3

如圖，點(diǎn)

A，O，B在同一直線上，射線OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC，圖中哪些角互為余角？解：因?yàn)辄c(diǎn)

A，O，B在同一直線上，所以∠AOC和∠BOC互為補(bǔ)角.O

A

B

C

D

E

又因?yàn)樯渚€OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC，所以∠COD+∠COE=∠AOC+

∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°.O

A

B

C

D

E

所以∠COD和∠COE互為余角，同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互為余角.解：OE

平分∠BOC，理由如下：因?yàn)椤螪OE

=

90°，所以∠AOD

+∠BOE

=

90°.所以∠COD

+∠COE

=

90°.所以∠AOD

+∠BOE

=∠COD

+∠COE.因?yàn)?/p>

OD

平分∠AOC，所以∠AOD

=∠COD.所以∠COE

=∠BOE，所以

OE

平分∠BOC.變式訓(xùn)練：如圖，O

在直線

AB

上，OD

平分∠AOC，∠DOE

=

90°.（1）∠AOD

的余角是_______________，∠COD

的余角是_______________；（2）OE

是∠BOC

的平分線嗎？請(qǐng)說明理由．∠COE、∠BOEO

A

B

C

D

E

∠COE、∠BOE例4

如圖，已知

O

為

AD

上一點(diǎn)，∠AOC

與∠AOB

互補(bǔ)，OM，ON

分別為∠AOC，∠AOB

的平分線，若∠MON

=

40°，試求∠AOC

與∠AOB

的度數(shù)．O

DA

B

C

N

M

解：設(shè)∠AOB

=

x.因?yàn)椤螦OC

與∠AOB

互補(bǔ)，所以∠AOC

=

180°

-

x．因?yàn)?/p>

OM，ON

分別為∠AOC，∠AOB

的平分線，所以∠AOM=(180°

-

x