新教材適用2024版高考數(shù)學一輪總復習第2章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第4講冪函數(shù)與二次函數(shù)課件

第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第四講冪函數(shù)與二次函數(shù)知識梳理·雙基自測名師講壇·素養(yǎng)提升考點突破·互動探究知識梳理·雙基自測知識點一冪函數(shù)[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)[0，＋∞)[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶奇非奇非偶奇(－∞，0)(0，＋∞)[0，＋∞)(－∞，0)(0，＋∞)(1,1)知識點二二次函數(shù)的圖象和性質b＝01．二次函數(shù)解析式的三種形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．一元二次不等式恒成立的條件：(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要條件是“a>0，且Δ<0”．(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要條件是“a<0，且Δ<0”．題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)××√×××題組二走進教材(0，＋∞)1或24．(必修1P53T2改編)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，確定下列各式的正負：b_____0，ac_____0，a－b＋c_____0.><<5．(必修1P58T6改編)設二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，如果f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，則f(x1＋x2)＝(

)C題組三走向高考6．(2022·上海)下列冪函數(shù)中，定義域為R的是(

)[解析]

選項A中函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，選項B中函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，選項C中函數(shù)的定義域為R，選項D中函數(shù)的定義域為[0，＋∞)，故選C.C[解析]

∵冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，∴α可取－1,1,3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上遞減，∴α<0，故α＝－1.－1考點突破·互動探究例1考點一冪函數(shù)圖象與性質——自主練透AD(2)若四個冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標系中的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關系是(

)A．d>c>b>a B．a>b>c>dC．d>c>a>b D．a>b>d>cBBD(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式．(2)在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸．(3)在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調性進行比較，準確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵．考向1二次函數(shù)的解析式——師生共研

已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求此二次函數(shù)的解析式．[解析]

解法一：利用“一般式”解題：設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．例2考點二二次函數(shù)的圖象與性質解法二：利用“頂點式”解題：設f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，解法三：利用“零點式”解題：由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：〔變式訓練1〕(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點坐標是(－2，－1)，且圖象經過點(1,0)，則函數(shù)的解析式為f(x)＝____________________.(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象經過點(4,3)，在x軸上截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，則f(x)＝_________________.x2－4x＋3[解析]

(1)解法一：設所求解析式為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．解法二：設所求解析式為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．解法三：設所求解析式為f(x)＝a(x－h(huán))2＋k.由已知得f(x)＝a(x＋2)2－1，考向2二次函數(shù)的圖象和性質——多維探究角度1二次函數(shù)的圖象(1)設abc>0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(

)例3D(2)如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A(－3,0)，對稱軸為x＝－1.給出下面四個結論：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正確的是_______(填序號)．①④[解析]

(1)因為abc>0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，那么可知，在A中，a<0，b<0，c<0，不符合題意；B中，a<0，b>0，c>0，不符合題意；C中，a>0，c<0，b>0，不符合題意，故選D.(2)因為圖象與x軸交于兩點，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正確；二次函數(shù)圖象的識別方法二次函數(shù)的圖象應從開口方向、對稱軸、頂點坐標以及圖象與坐標軸的交點等方面識別．角度2利用二次函數(shù)的圖象和性質求最值

已知f(x)＝x2－2x＋5.(1)若x∈R，則函數(shù)f(x)的最小值為_____；(2)若x∈[－1,2]，則函數(shù)f(x)的最小值為_____，最大值為_____；(3)若x∈[t，t＋1]，則函數(shù)f(x)的最小值為___________________.[分析]

對于(1)(2)直接利用二次函數(shù)的圖象性質求解；對于(3)由于函數(shù)f(x)的對稱軸確定為x＝1，但函數(shù)的定義域不確定，因此解題時要以定義域內是否含有對稱軸為標準分情況討論．例4448[解析]

(1)f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥4，∴f(x)的最小值為4.(2)∵f(x)的對稱軸為x＝1，又1∈[－1,2]，∴f(x)min＝f(1)＝4，由二次函數(shù)的圖象知，f(x)在[－1，1]上單調遞減，在[1,2]上單調遞增．又f(－1)＝(－1)2－2×(－1)＋5＝8，f(2)＝22－2×2＋5＝5，∴f(x)max＝8，f(x)min＝4.(3)∵f(x)的對稱軸為x＝1.當t≥1時，f(x)在[t，t＋1]上單調遞增，∴f(x)min＝f(t)＝t2－2t＋5，當t<1<t＋1即0<t<1時，f(x)在[t,1]上單調遞減，在[1，t＋1]上單調遞增，∴f(x)min＝f(1)＝12－2＋5＝4.當t＋1≤1即t≤0，f(x)在[t，t＋1]上單調遞減，f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋4.[引申]在(3)的條件下，求f(x)的最大值．角度3二次函數(shù)中的恒成立問題

已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－a＋2.(1)若對于?x∈R，f(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若對于?x∈[－1,1]，f(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若?x∈[－1,1]，f(x)≥0成立，求實數(shù)a的取值范圍．[解析]

(1)由題意得Δ＝(2a)2－4(－a＋2)≤0，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，所以實數(shù)a的取值范圍是[－2,1]．例5(2)因為對于?x∈[－1,1]，f(x)≥0恒成立，所以f(x)min≥0，x∈[－1,1]．函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x＝－a.當－a≤－1，即a≥1時，f(x)在區(qū)間[－1,1]上單調遞增，則f(x)min＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a＝1.當－1<－a<1，即－1<a<1時，f(x)min＝f(－a)＝－a2－a＋2.解－a2－a＋2≥0，得－2≤a≤1，所以－1<a<1.當－a≥1，即a≤－1時，f(x)在區(qū)間[－1,1]上單調遞減，則f(x)min＝f(1)＝a＋3.解a＋3≥0，得a≥－3，所以－3≤a≤－1.綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是[－3,1]．(3)?x∈[－1,1]，f(x)≥0成立，則f(x)max≥0，x∈[－1,1]．函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x＝－a.當－a≤0，即a≥0時，f(x)max＝f(1)＝a＋3.解a＋3≥0，得a≥－3，所以a≥0.當－a>0，即a<0時，f(x)max＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a<0.綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是R.[探究]本題的幾個小題表面形式非常相似，究其本質卻大相徑庭，應認真審題，深入思考，多加訓練，準確使用其成立的充要條件．恒成立問題的解法(1)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．(2)對于二次不等式恒成立問題常見的類型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區(qū)間上恒成立．對第一種情況恒大于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方；對第二種情況，要充分結合函數(shù)圖象進行分類討論(也可采用分離參數(shù)的方法)．〔變式訓練2〕(1)(角度1)若一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象經過第二、三、四象限，則二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象只可能是(

)C(2)(角度2)(2022·撫順模擬)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋5在區(qū)間[0，m]上有最大值6，最小值5，則實數(shù)m的取值范圍是_____________.(3)(角度3)(2023·北京101中學模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋1，在區(qū)間[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是___________.[1,2](－∞，－1)(2)由題意知，f(x)＝－(x－1)2＋6，則f(0)＝f(2)＝5＝f(x)min，f(1)＝6＝f(x)max，函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則1≤m≤2.(3)解法一：f(x)>2x＋m等價于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函數(shù)g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可，∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上單調遞減，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1