《向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義》4

§2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義AEDCB1.向量加法三角形法則:特點(diǎn):首尾相接，始到終特點(diǎn):共起點(diǎn)的對角線BAO特點(diǎn)：同起點(diǎn)，異終點(diǎn)，指向被減向量2.向量加法平行四邊形法則:3.向量減法三角形法則:向量數(shù)乘問題的實(shí)際背景

在物理中：位移與速度的關(guān)系：S=vt，力與加速度的關(guān)系：F=ma.

其中位移、速度，力、加速度都是向量，

時間、質(zhì)量都是數(shù)量練習(xí)1:-a如圖,已知向量a,作向量a+a+a和(-a)+(-a).aa-aaa-aOA=a+a+aPB=(-a)+(-a)=3a=-2a探究:相同向量相加以后，和的長度與方向，相對于產(chǎn)生了什么變化？aOAPB定義:(2)方向當(dāng)λ>0時,λa的方向與a方向相同；當(dāng)λ<0時,λa的方向與a方向相反；(1)長度|λa|=|λ|·|a|

一般地，實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘運(yùn)算，記作λa。它的長度和方向規(guī)定如下：幾何意義：將的長度擴(kuò)大（或縮?。┍?，改變（或不改變）的方向，就得到了λa|λ|aa

已知：向量試從大小和方向兩個角度，說說下面各向量與的關(guān)系說說看2練習(xí)2:結(jié)論:2a+2b=2(a+b)結(jié)論:

3(2a)=6a(1)根據(jù)定義，求作向量3(2a)和(6a)(a≠0)，并比較。(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比較。①λ(μa)=(λμ)a

運(yùn)算律:

設(shè)a、b為任意向量，λ、μ為任意實(shí)數(shù)，則有：②(λ+μ)a=λa+μa

③λ(a+b)=λa+λb結(jié)合律第一分配律第二分配律練習(xí)3:解:(1)原式=(2)原式=(3)原式=計算：(口答)(1)(-3)×4a(2)3(a+b)–2(a-b)-a(3)(2a+3b-c)–(3a-2b+c)(3-2-1)a+(3+2)b=5b(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c=-a+5b-2c-12a

向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。對于任意的向量a,b以及任意實(shí)數(shù)λ,μ,

恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b思考:定理:當(dāng)a與b同方向時，有b=μa;當(dāng)a與b反方向時，有b=-μa，所以始終有一個實(shí)數(shù)λ，使b=λa。1、如果b=λa,那么，向量a與b是否共線？2、如果非零向量a與b共線，那么是否有λ，使b=λa？

對于向量a(a≠0)、b，如果有一個實(shí)數(shù)λ，使得b=λa,那么，由數(shù)乘向量的定義知：向量a與b共線。

若向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是a的長度的μ(μ>0)倍，即有|b|=μ|a|,且向量a（a≠0）與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)λ，使b=λa.定理：思考:1)a為什么要是非零向量?2)b

可以是零向量嗎?向量a（a≠0）與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)λ，使b=λa.點(diǎn)C在線段AB上，且AC︰CB=2︰5則共線定理小練習(xí)25例1:解：作圖如右OABC依圖猜想:A、B、C三點(diǎn)共線∴

A、B、C三點(diǎn)共線.abbb已知任意兩非零向量a、b，試作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？ba∵AB=OB-OA∴AC=2AB又

AC=OC-OA=a+3b-(a+b)=2b=a+2b-(a+b)=b又AB與AC有公共點(diǎn)A，證明三點(diǎn)共線，往往要轉(zhuǎn)化為證明過同一點(diǎn)的兩條有向線段所表示的向量共線AEDCB證明：

=3AC

=3(AB+BC)∵AB+BC=AC=3AB+3BC又AE=AD+DE∴AC與AE共線如圖，已知AD=3AB、DE=3BC，證明A、C、E三點(diǎn)共線。又∵AC與AE有公共點(diǎn)A∴

A、C、E三點(diǎn)共線試一試

ADBMC

如圖:

ABCD的兩條對角線交于點(diǎn)M,且,你能用，表示嗎？例2:表示，=，在ABCD中，設(shè)對角線=試用，ADBMC試一試思考題：

如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段BD上，且有BN=BD，求證：M、N、C三點(diǎn)共線。提示：設(shè)AB=aBC=b則MN=…=a+

bMC=…=a+

b（C

）分析:由所以

在平行四邊形ABCD中,,M為BC的中點(diǎn),則等于＿＿＿＿＿＿(1)(2)ABCD練習(xí)小結(jié)回顧:

二、知識應(yīng)用：

1.證明向量共線；

2.證明三點(diǎn)共線:AB=λBCA,B,C三點(diǎn)共線；

3.證明兩直線平行: