2024屆黑龍江省龍西北高中名校聯(lián)盟高三上學期開學考試數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat18頁2024屆黑龍江省龍西北高中名校聯(lián)盟高三上學期開學考試數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則的真子集的個數(shù)為（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】A【分析】進行交集的運算求出，然后即可得出的真子集的個數(shù)．【詳解】∵集合，，∴,的真子集的個數(shù)為：個．故選：A2．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則為（

）A． B．1 C．3 D．【答案】B【分析】由已知化簡可得，，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)求出，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，，所以，.故選：B.3．已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】由題意知1和3為方程的兩個根，由韋達定理可得，，且，則不等式等價于，即，由此即可寫出答案.【詳解】因為關(guān)于的一元二次不等式的解集為，所以1和3為方程的兩個根，由韋達定理有：，所以，，且，則，等價于，即，故不等式的解集為.故選：C.4．已知向量，，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量垂直的坐標表示求出的值，利用二倍角公式以及弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】已知向量，，且，則，即，若，則，這與矛盾，所以，，故，因此，.故選：A.5．如圖，在正方體中，F(xiàn)為線段的中點，則異面直線與所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)異面直線夾角的定義，連接，則就是所求的角，解三角形即可.【詳解】連接，則，故為異面直線與所成角或其補角，連接，則，因為F為的中點，故，在中，因為，故，即異面直線與所成角的大小為；故選：C．6．設(shè)定義R在上的函數(shù)，滿足任意，都有，且時，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的周期性確定正確答案.【詳解】依題意，任意，都有，所以是周期為的周期函數(shù).所以.構(gòu)造函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，也即.故選：A7．將編號為1、2、3、4、5、6的小球放入編號為1、2、3、4、5、6的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為（

）A．90 B．135 C．270 D．360【答案】B【分析】根據(jù)題意和簡單計數(shù)問題，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】在6個盒子中任選2個，放入與其編號相同的小球，有種，剩下的4個盒子的編號與放入的小球編號不同，假設(shè)這4個盒子的編號為3,4,5,6，則3號小球可以放進4,5,6號盒子，有3種選法，剩下的3個小球放進剩下的3個盒子，有3種選法，所以不同的放法種數(shù)為種選法.故選：B.8．設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的結(jié)構(gòu)特征，令，利用其導(dǎo)數(shù)可得，從而推出，同理構(gòu)造，推出，再利用冪函數(shù)性質(zhì)比較，即得答案.【詳解】設(shè)，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立，所以.設(shè)，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，所以.函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.從而有，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：此類比較大小的問題的關(guān)鍵是能根據(jù)數(shù)值的結(jié)構(gòu)特征確定變量，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進而比較大小.二、多選題9．下列命題中，真命題的是（

）A．，是的充分不必要條件B．若，，則C．函數(shù)的最小值為6D．命題“，”的否定是“，”【答案】AD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和舉例說明即可判斷A；令可得即可判斷B；根據(jù)基本不等式的應(yīng)用即可判斷C；根據(jù)全稱量詞命題的否定即可判斷D.【詳解】A：當時，成立，當，滿足，但不成立，故“”是“”的充分不必要條件，故A正確；B：令，令，得，故B錯誤；C：，則，當且僅當即時等號成立，顯然不符合題意，故C錯誤；D：命題“”的否定為“”，故D正確.故選：AD.10．已知曲線C的方程為，則（

）A．當時，曲線C為圓B．當時，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為C．當時，曲線C表示焦點在x軸上的橢圓D．不存在實數(shù)m使得曲線C為雙曲線，其離心率為【答案】ABD【分析】根據(jù)給定的方程，利用選項中的條件計算判斷A，B，C；否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾判斷D作答.【詳解】在曲線C的方程中，且，對于A，當時，曲線C的方程為，曲線C是原點為圓心，為半徑的圓，A正確；對于B，當時，曲線C的方程為，曲線C是雙曲線，其漸近線方程為，B正確；對于C，由選項B知，當時，曲線C：是雙曲線，C不正確；對于D，假定存在實數(shù)m使得曲線C為雙曲線，其離心率為，則有，且，顯然無解，所以不存在實數(shù)m使得曲線C為雙曲線，其離心率為，D正確.故選：ABD11．下列命題是真命題的是（

）A．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B．函數(shù)（其中且）的圖象過定點C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為D．已知在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是【答案】BD【分析】根據(jù)可求得的范圍，即為定義域，知A錯誤；由恒成立可知B正確；根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法可知C錯誤；令分段函數(shù)每一段單調(diào)遞增且在分段處函數(shù)值大小關(guān)系符合單調(diào)遞增關(guān)系即可構(gòu)造不等式組求得D正確.【詳解】對于A，的定義域為，即，，的定義域為，A錯誤；對于B，，圖象過定點，B正確；對于C，令，由知：，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，的單調(diào)遞減區(qū)間為，C錯誤；對于D，在上是增函數(shù)，，解得：，即實數(shù)的取值范圍為，D正確.故選：BD.12．設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和．若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 B．C． D．【答案】BC【分析】由得，結(jié)合得，即可令求得.對A，由可判斷其對稱性；對C，由為奇函數(shù)可得的周期、對稱性及特殊值，從而化簡；對BD，由，結(jié)合C即可判斷.【詳解】對A，∵，則，則，又，所以，令，可得，即.所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，A錯；對C，∵為奇函數(shù)，則圖像關(guān)于對稱，且，∴，，，，∴.又，∴，∴的周期，∴，C對；對B，，則是周期的函數(shù)，，B對；對D，，D錯.故選：BC.三、填空題13．設(shè)，，為奇函數(shù)，則的值為．【答案】【分析】先化簡已知函數(shù)，再由函數(shù)為奇函數(shù)可得，由此式可解的值．【詳解】要使為奇函數(shù)，∵,∴需，∴，由,得,．故答案為：1.14．等差數(shù)列中的，是函數(shù)的極值點，則.【答案】/-0.5【分析】先由題意求出，利用等差中項求出和對數(shù)的運算法則，即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為R，導(dǎo)函數(shù)函數(shù).因為，是函數(shù)的極值點，所以，是方程的兩根，所以.因為為等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：15．已知函數(shù)，，如果對任意的，，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，求導(dǎo)函數(shù)，分別求出函數(shù)的最大值，的最小值，進而可建立不等關(guān)系，即可求出a的取值范圍．【詳解】由，可得，當，，所以在單調(diào)遞減，，，在上單調(diào)遞增，，對任意的，都有成立，，，故答案為：．四、雙空題16．已知函數(shù)，，且方程有兩個不同的解，則實數(shù)的取值范圍為，方程解的個數(shù)為．【答案】【分析】作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍；在方程中，設(shè)，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得出函數(shù)與直線的交點橫坐標、、的取值范圍，再利用數(shù)形結(jié)合思想得出方程、、的根的個數(shù)，即可得解.【詳解】函數(shù)，當時，，則，此時，由題意可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，如下圖所示：由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，故；方程中，設(shè)，即，即函數(shù)與直線的交點問題，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：因為，函數(shù)與有個交點，即有三個根、、，其中、、，再結(jié)合圖象可知，方程有個不同的根，方程有個根，方程有個根，綜上所述，方程有個不同的解.故答案為：；.五、解答題17．在中，角，，所對的邊分別為，，，.(1)求角；(2)若外接圓的半徑為，求面積的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）先根據(jù)展開，結(jié)合正弦和差化積公式進行化簡，可得出，進而得出角的值.（2）根據(jù)題意和正弦定理可得出邊長a的值，再由第一問和余弦定理得出b和c的關(guān)系，結(jié)合基本不等式即可求出面積的最大值.【詳解】（1）由得，，所以，又，所以，所以，因為，所以；（2）由外接圓的半徑為，則得，由余弦定理得，，即，所以，解得.所以，故面積的最大值為.18．已知二次函數(shù)滿足且．(1)求的解析式；(2)若方程，時有唯一一個零點，且不是重根，求的取值范圍；(3)當時，不等式恒成立，求實數(shù)的范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)，，得到，代入函數(shù)計算得到，得到解析式.（2）令，只需，解不等式并驗證得到答案.（3）設(shè)，確定函數(shù)的單調(diào)性，計算最值得到答案.【詳解】（1）設(shè)，則由，．，即，，即，的解析式為．（2）令，則，，由在上有唯一零點且不是重根，只需，，解得，經(jīng)檢驗時，方程在上有唯一解；時，方程在上有唯一解，故實數(shù)的取值范圍為．（3）在上恒成立，即在上恒成立．設(shè)，其圖象的對稱軸為直線，所以在上單調(diào)遞減．故只需，即，解得，19．已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值.【答案】(1)(2)的極大值為;的極小值為.【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解;(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系即可求解.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，而，所以函數(shù)f（x）在處的切線方程為：，即，（2）因為，所以，所以，令，解得或，又因為，所以或，↗極大值↘極小值↗函數(shù)的極大值為;函數(shù)的極小值為.20．隨著全國新能源汽車推廣力度的加大，尤其是在全國實現(xiàn)“雙碳”目標的大背景下，新能源汽車消費迎來了前所未有的新機遇．為了更好了解大眾對新能源汽車的接受程度，某城市汽車行業(yè)協(xié)會依據(jù)年齡采用按比例分層隨機抽樣的方式抽取了200名市民，并對他們選擇新能源汽車，還是選擇傳統(tǒng)汽車進行意向調(diào)查，得到了以下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：選擇新能源汽車選擇傳統(tǒng)汽車合計40歲以下6540歲以上（包含40歲）60100合計200(1)完成列聯(lián)表，并判斷依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為選擇新能源汽車與年齡有關(guān)；(2)以樣本的頻率作為總體的概率，若從全市40歲以上（包含40歲）購買汽車的人中有放回地隨機抽取3人，用表示抽取的是“選擇新能源汽車”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望．附：．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)至少有的把握認為選擇新能源汽車與年齡有關(guān).(2)分布列見詳解，.【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)以及公式進行計算求解.（2）利用二項分布進行計算求解.【詳解】（1）由題可知：選擇新能源汽車選擇傳統(tǒng)汽車合計40歲以下653510040歲以上（包含40歲）4060100合計10595200所以，所以至少有的把握認為選擇新能源汽車與年齡有關(guān).（2）由題可知，從全市40歲以上（包含40歲）購買汽車的人中有放回地隨機抽取，抽取的是“選擇新能源汽車”的人的概率為，所以，所以的可能取值為：0，1，2，3，且；；；；所以的分布列為：01230.2160.4320.2880.064數(shù)學期望.21．從甲?乙?丙等5人中隨機地抽取三個人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.(1)記甲乙丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機變量，求的分布列；(2)若剛好抽到甲乙丙三個人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為，①直接寫出的值；②求與的關(guān)系式，并求.【答案】(1)分布列見解析(2)①，，；②；【分析】（1）由離散型隨機變量的分布列可解；（2）記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲手中”，由全概率公式可求再由數(shù)列知識，由遞推公式求得通項公式.【詳解】（1）可能取值為，；；所以隨機變量的分布列為123（2）若剛好抽到甲乙丙三個人相互做傳球訓(xùn)練，且次傳球后球在甲手中的概率為，則有記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲手中”，所以即，所以，且所以數(shù)列表示以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以所以即次傳球后球在甲手中的概率是.22．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個相異的實數(shù)根，．求證：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)后，分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）化為有兩個相異的實數(shù)根，，不妨設(shè)，令，則，將要證的不等式化為