基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)釜自適應(yīng)反步控制

基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)釜自適應(yīng)反步控制

基于非線性問題的控制律設(shè)計(jì)連續(xù)攪拌反應(yīng)器（cstr：連續(xù)msi-tob）是化工生產(chǎn)過程中廣泛應(yīng)用的一類檢測(cè)器。由于其自身的非線性和化工過程中參數(shù)的時(shí)間變量，因此很難控制其。傳統(tǒng)控制方案(如特征點(diǎn)局部線性化和系數(shù)“凍結(jié)”法獲得模型,按線性系統(tǒng)控制方案進(jìn)行設(shè)計(jì)),需要系統(tǒng)工作點(diǎn)相對(duì)穩(wěn)定,而CSTR所固有的開環(huán)不穩(wěn)定性使其在工作點(diǎn)微量漂移時(shí),被控變量變化很大。早期的解決方法有增益程序控制(GainScheduling),該方法設(shè)計(jì)費(fèi)時(shí),且屬于開環(huán)工作方式,系統(tǒng)非線性和參數(shù)時(shí)變的影響很難完全消除。反步遞推(Backstepping)自適應(yīng)控制是當(dāng)前控制界研究熱點(diǎn)之一[5~9]。研究表明:若系統(tǒng)滿足參數(shù)嚴(yán)反饋或純反饋結(jié)構(gòu),就可用反步遞推設(shè)計(jì)方法逐步構(gòu)造出理想的系統(tǒng)控制函數(shù)?；谖⒎謳缀蔚姆蔷€性系統(tǒng)理論,能判定一個(gè)系統(tǒng)本質(zhì)上是否具有上述結(jié)構(gòu)的幾何條件,并給出通過微分同胚進(jìn)行坐標(biāo)變換,將系統(tǒng)化為該結(jié)構(gòu)的一般方法。反步遞推法的優(yōu)點(diǎn)是可以使控制器設(shè)計(jì)過程系統(tǒng)化,缺點(diǎn)是需要計(jì)算虛擬控制量的導(dǎo)數(shù)。采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊理論等智能方法可以部分克服此方面的不足。通常處理非線性問題采用反饋線性化方法。但是由于系統(tǒng)控制增益項(xiàng)g的不確知性,通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近獲得g的過程中,會(huì)發(fā)生控制奇異情況,即g的估計(jì)值過零,這在控制中應(yīng)努力避免。筆者通過構(gòu)造類加權(quán)形式的Lyapunov函數(shù),設(shè)計(jì)一種非奇異控制律。該控制律對(duì)系統(tǒng)參數(shù)不確定性和有界干擾具有一定的魯棒性,并保證閉環(huán)系統(tǒng)全局有界。1問題描述1.1反應(yīng)煙氣的降解圖1為帶冷卻夾層的CSTR裝置,是一種復(fù)雜的非線性化學(xué)反應(yīng)器系統(tǒng)。假設(shè)物料的混合是完全的,反應(yīng)器被持續(xù)冷卻,且流出物料的體積流量等于進(jìn)入物料的體積流量。同時(shí)為不失一般性,假定反應(yīng)釜中所發(fā)生的是一級(jí)不可逆放熱反應(yīng):A※B,則由熱力學(xué)及化學(xué)動(dòng)力學(xué)知識(shí),可得該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型其中,k(T)=k0×107exp(-E/(RT))。式(1)中物理量的意義及其標(biāo)稱值如表1所示。1.2擔(dān)保系統(tǒng)的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)具有很強(qiáng)的認(rèn)識(shí)性通常,反應(yīng)釜工作在開環(huán)不穩(wěn)定工作點(diǎn),在擾動(dòng)作用下,此工作點(diǎn)容易偏移,因此基于傳統(tǒng)的工作點(diǎn)線性化處理系統(tǒng)模型的方法就不再適用。同時(shí)此系統(tǒng)不是標(biāo)準(zhǔn)的仿射非線性結(jié)構(gòu),式(1)中T呈非線性地出現(xiàn)在微分方程中。因此在設(shè)計(jì)系統(tǒng)控制器之前,應(yīng)對(duì)模型進(jìn)行預(yù)處理。定義狀態(tài)變量:x1=C,x2=107×exp(-E/(RT)),原系統(tǒng)(1)的狀態(tài)[C,T]與[x1,x2]構(gòu)成一一映射。若將冷卻液溫度作為系統(tǒng)的控制輸入u=Tc;釜內(nèi)A物質(zhì)的濃度作為系統(tǒng)輸出y=C,并且考慮到實(shí)際系統(tǒng)中存在的擾動(dòng),則實(shí)際系統(tǒng)模型可表示為Δ1,Δ2分別是系統(tǒng)未建模動(dòng)態(tài)或外界擾動(dòng)。fi,gi的解析式較復(fù)雜,其中還有許多不確知參數(shù),且它們不能表示成線性化參數(shù)形式。由gi的表達(dá)式及其參數(shù)標(biāo)稱值可知gi的符號(hào)為負(fù)。對(duì)于實(shí)際CSTR系統(tǒng),通常存在常數(shù)gi0<0及光滑有界函數(shù)Gi(χi),使Gi(χi)≤gi(χi)≤gi0,即:1≤βi(χi)=Gi(χi)/gi(χi)≤Gi(χi)/gi0=βimax(χi),并且假設(shè)βi的導(dǎo)數(shù)存在且有界,不妨設(shè)β′i(χi)≤2κi,κi≥0。由于實(shí)際系統(tǒng)的狀態(tài)是連續(xù)的,有界的輸入信號(hào)一般也只能產(chǎn)生有界的輸出信號(hào),因此該條件并不是非常強(qiáng)。對(duì)于系統(tǒng)的未建模動(dòng)態(tài)Δi(χ2,t),假設(shè)存在已知函數(shù)μi(χ2)使得Δi≤λiμi,(i=1,2)。式中,λi>0;μi為已知的有界光滑非線性函數(shù)。Δi包含許多非匹配不確定性情況,具有一般性。系統(tǒng)(2)的控制問題可描述為:閉環(huán)系統(tǒng)的輸出y,按一定精度要求跟蹤期望輸出信號(hào)yr,同時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)要滿足穩(wěn)定性。此系統(tǒng)控制問題的難點(diǎn)在于gi的不確知性。如果gi為已知確定函數(shù)則可利用反饋線性化方法得到系統(tǒng)的控制律。但在gi未知情況下,如采用自適應(yīng)估計(jì)方法,gi的估計(jì)值可能過零,控制過程奇異。筆者采用類加權(quán)形式的Lyapunov函數(shù),不需要直接估計(jì)函數(shù)gi,避免了可能的奇異問題。2基于反向步驟的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非什拉自適應(yīng)控制器2.1神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)期權(quán)值估計(jì)根據(jù)萬能逼近定理(Hornik,1991),多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能以任意精度逼近在緊集Ψz上的連續(xù)實(shí)函數(shù),即具有非線性函數(shù)逼近的能力。本文中采用3層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),則非線性函數(shù)可逼近為其中,ρ為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差;W*∈Rl,V*∈R(m+1)×l為最佳逼近時(shí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理想權(quán)值矩陣;Z=[χT,1]T∈Ψz∈Rm+1為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入向量,m=1,2;l是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。隱層非線性激活函數(shù)選擇為ψ(x)=(1+exp(-γx))-1,γ>0。設(shè)W,V為網(wǎng)絡(luò)權(quán)值陣的估計(jì),W=W-W*,V=V-V*為權(quán)值估計(jì)誤差。引理13層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差為其中,‖·‖1為矩陣的1范數(shù);‖·‖為矩陣歐氏范數(shù);‖·‖F(xiàn)為矩陣的Frobenius范數(shù)。引理2對(duì)于z∈R,ε>0及式(3)中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)定義的權(quán)值有如下不等式成立引理2的證明,可用完全平方不等式得到。2.2基于反步法的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非奇通過構(gòu)造類加權(quán)形式的Lyapunov函數(shù),設(shè)計(jì)非奇異的控制律。令:z1=x1-yr,z2=x2-α1,其中α1為虛擬控制量。第1步:設(shè)函數(shù)V0=1/2β1(χ1)z12,顯然V0正定。對(duì)此函數(shù)取時(shí)間的導(dǎo)數(shù),利用假設(shè)條件β′i(χi)≤2κi,得到當(dāng)f1,g1,Δ1確知情況下,可以通過式(8)構(gòu)造出虛擬控制量α1的函數(shù),通過Backstepping方法實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性系統(tǒng)的控制。但是由于f1,g1,Δ1的不確知性,所以還應(yīng)通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)其進(jìn)行逼近。設(shè)其中Z1=[χ1,yr,y′r,1]T為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入向量,1階子系統(tǒng)類加權(quán)Lyapunov函數(shù)可定義為Γ表示誤差權(quán)重矩陣。取式(10)的導(dǎo)數(shù),有若選取1階子系統(tǒng)的虛擬控制量和自適應(yīng)律為并根據(jù)模型(2)中的假設(shè)條件及引理1,則有令k1(t)=ε1‖Z1WT1Χ′‖F(xiàn)2+ε1‖Χ′VT1Z1‖2+12ε1-2ε1G1(χ1)并利用引理2得顯然N1有界,且令ξ1=min{-g10/ε1,σw1/λmax(Γw-11),σv1/λmax(Γ-v11)},其中,λmax(·)表示矩陣最大特征值。則式(18)可寫成若z2≡0,則1階子系統(tǒng)是全局有界穩(wěn)定的。第2步:設(shè)第2階子系統(tǒng)類加權(quán)Lyapunov函數(shù)為在式(24)中,ξ2=min{-g10/ε1,-g20/ε2,σw1/λmax(Γ-w11)σw2/λmax(Γ-w21),σv1/λmax(Γv-11),σv2/λmax(Γv-21)}。k2(t),N2的表達(dá)式分別與k1(t),N1的相似,只是各變量的下角標(biāo)變?yōu)?。式(21)~(23)即是基于反步法的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非奇異自適應(yīng)控制律。上面的推導(dǎo)過程與第1步相似。在對(duì)虛擬控制律(12)~(14)以及系統(tǒng)真實(shí)控制律(21)~(23)的求取過程中,由于采用了類加權(quán)形式的Lyapunov函數(shù)(10)、(20),并利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近系統(tǒng)非線性項(xiàng)F1,F2,從而避免了直接估計(jì)控制增益而造成的gi過零點(diǎn),控制器奇異的問題。文獻(xiàn)則是通過構(gòu)造積分形式的Lyapunov函數(shù)實(shí)現(xiàn)的。在文獻(xiàn)、中,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入節(jié)點(diǎn)為Zi=[χi,αi-1,αi-1/χi-1,ωi-1,1]T,2≤i≤n。其中,由于αi-1解析式較復(fù)雜,其偏導(dǎo)數(shù)的求取比較困難。而在本文中,多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入節(jié)點(diǎn)直接選取Zi=[χi,αi-1,αi-1′,1]T,其中αi的導(dǎo)數(shù)可采用差分形式。由此產(chǎn)生的誤差可以通過逼近過程中的參數(shù)修正來補(bǔ)償。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層結(jié)點(diǎn)足夠多,采樣時(shí)間足夠短的情況下,差分取代導(dǎo)數(shù)在工程上也是允許的。另外,文獻(xiàn)、中沒有考慮未建模動(dòng)態(tài)對(duì)系統(tǒng)的影響。筆者對(duì)此作了考慮,設(shè)計(jì)出的控制器更具魯棒性。3不同權(quán)重對(duì)lyapunov函數(shù)的輸出誤差對(duì)反步方法得到的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非奇異控制律及自適應(yīng)律的穩(wěn)定性能分析,由下面定理給出。定理1將控制律及自適應(yīng)律(21)~(23)作用于系統(tǒng)(2)中,所得到的閉環(huán)系統(tǒng)信號(hào)終態(tài)全局一致有界,且閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差滿足證明取閉環(huán)系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)V2(t),利用式(24)得對(duì)式(26)在[0,t]上積分,并用e-ξ2t乘該式兩端得當(dāng)根據(jù)不等式(27),此時(shí)V2(t)的有界性不依賴于系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)的初值V2(0),而僅取決于不等式(27)右端第2項(xiàng)。根據(jù)第3節(jié)中的推導(dǎo)可知,N1,N2有界,因此zi,W,V終態(tài)全局有界。因?yàn)閂2≥(y-yr)2/2,利用式(27),有式(29)為系統(tǒng)輸出的跟蹤誤差。當(dāng)時(shí),右端第1項(xiàng)為0,則式(25)即為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出誤差,證畢。由定理1可知,閉環(huán)系統(tǒng)僅能保證輸出有界跟蹤,無法使誤差充分小。由N1,N2的定義可知,通過調(diào)整εi,Γwi,Γvi,σwi,σvi可以減少輸出誤差,但還應(yīng)綜合考慮。由式(19),(24)及ξ1,ξ2可知,εi影響了Lyapunov函數(shù)的收斂速度。εi越大Lyapunov函數(shù)的收斂速度越慢。但εi過小會(huì)影響系統(tǒng)魯棒性能,系統(tǒng)噪聲干擾抑制能力變差。Γwi,Γvi可認(rèn)為是Lyapunov函數(shù)中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)誤差的權(quán)重比。提高權(quán)重,可提高非線性逼近精度,但是權(quán)重過大,會(huì)使Lyapunov函數(shù)中狀態(tài)變量的影響降低,控制精度也不能保證。由式(22)、(23)可知,σwi,σvi影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)估計(jì)的收斂速度,同樣不能過大或過小。此外,分析被控系統(tǒng)的特性,有助于上述系數(shù)的選取。4控制律設(shè)計(jì)及仿真CSTR系統(tǒng)仿真結(jié)果如圖2所示。將表1中的物理量的標(biāo)稱值代入系統(tǒng)方程(2),并且根據(jù)化工過程的基本常識(shí),可知系統(tǒng)增益項(xiàng)-6<g1(χ1)<0;-0.1<g2(χ2)<0。分別取G1(χ1)=-6;G2(χ2)=-0.1。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)為10,W1,W2∈R10,V1∈R4×10,V2∈R5×10;神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的初始值:W1(0),W2(0)取零向量;V1(0),V2(0)取零矩陣;系統(tǒng)狀態(tài)初值為:x1(0)=0.7,x2的狀態(tài)初值與出料溫度T及活化能有關(guān),不妨取其標(biāo)稱值,代入狀態(tài)變量表達(dá)式,則系統(tǒng)(2)的擾動(dòng)Δ1,Δ2在[-0.025,0.025]之間任意取值?？刂破髟O(shè)計(jì)中取ciβimaxμi2=2.0,i=1,2。其他參數(shù)如下:Γw1=diag{2.0},Γw2=diag{2.0},Γv1=diag{2.0},Γv2=diag{2.0},ε1=ε2=0.1,σw1=σw2=σv1=σv2=0.01,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中激活函數(shù)的參數(shù)γ=3.0。利用控制律(21)~(23),并考慮到實(shí)際系統(tǒng)中的控制約束u∈[276,350],對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真。由于實(shí)際系統(tǒng)是參數(shù)時(shí)變的,仿真中充分考慮到這一點(diǎn),仿真初始階段指數(shù)因子k0取值為5.33,30min后k0變?yōu)?,70min后k0值變?yōu)?;-ΔH/(ρcp)的初始值為105,50min后變?yōu)?50。仿真過程中,系統(tǒng)參數(shù)的變化可以驗(yàn)證控制器的魯棒性和自適應(yīng)能力。在仿真過程中,采樣時(shí)間為0.01min。為保證輸出平滑,在系統(tǒng)指令輸入端加入平滑濾波器:0.5/(s2+0.8s+0.5)圖2a,圖2b分別是閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)輸出曲線及跟蹤偏差曲線,圖2c為系統(tǒng)的控制量曲線,圖2d為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值范數(shù)變化曲線。系統(tǒng)的輸出基本上可以跟蹤輸入的變化。在初始階段(P1),由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值參數(shù)處于調(diào)整階段,系統(tǒng)跟蹤誤差較大,控制量波動(dòng)也較為劇烈;在一段時(shí)間之后,系統(tǒng)跟蹤誤差趨于穩(wěn)定,輸出抖動(dòng)僅由外界擾動(dòng)所引起;在P2,P3,P4段,由于參數(shù)發(fā)生變化,系統(tǒng)的閉環(huán)輸出曲線出現(xiàn)波動(dòng),但是在自適應(yīng)控制的作用下,參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)的影響很快被補(bǔ)償。由于擾動(dòng)的存在,控制系統(tǒng)只能保證閉環(huán)穩(wěn)態(tài)輸出的有界性,不能實(shí)現(xiàn)閉環(huán)輸出ε-跟蹤。系統(tǒng)控制量除了在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值初始調(diào)整階段偏大外,其余時(shí)間相對(duì)穩(wěn)定,為補(bǔ)償參數(shù)變化的影響,系統(tǒng)的控制量也要隨之變化。圖2d說明多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)加權(quán)矩陣的范數(shù)有界,并趨于穩(wěn)定。系統(tǒng)適應(yīng)參數(shù)變化也能反映在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)上,圖2d中P2,P3,P4處的波動(dòng)體現(xiàn)了這一點(diǎn)。5控制律設(shè)計(jì)仿真連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)器是典型的不確定非線性系統(tǒng),筆者研