非線性多輸入多輸出不確定系統(tǒng)魯棒輸出跟蹤問題的變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)

非線性多輸入多輸出不確定系統(tǒng)魯棒輸出跟蹤問題的變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)

1非匹配條件下的魯棒控制實(shí)際系統(tǒng)往往存在不同程度的不確定性，因此，非線性非相交系統(tǒng)的設(shè)備魯棒控制和輸出跟蹤問題受到了控制權(quán)的廣泛應(yīng)用。對于滿足匹配條件的不確定系統(tǒng),其魯棒自適應(yīng)控制相對容易解決,目前已有許多可行方法,如變結(jié)構(gòu)控制方法。但變結(jié)構(gòu)控制方法因其滑動模只對匹配條件下的不確定性才有不變性,對于處理非匹配條件下的不確定干擾仍然非常困難,而實(shí)際系統(tǒng)往往受各種不確定因素的影響,一般很難滿足苛刻的匹配條件。因此,研究非匹配條件的不確定系統(tǒng)魯棒控制或輸出跟蹤問題具有重要的實(shí)際意義。近年來,反步設(shè)計(jì)法在處理非匹配條件下的非線性不確定系統(tǒng)的魯棒與自適應(yīng)控制問題中具有相當(dāng)?shù)奈?。但是現(xiàn)有結(jié)果都要求系統(tǒng)模型滿足下三角形假設(shè)條件,并且每一步設(shè)計(jì)都涉及虛擬控制的偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算;此外,反步設(shè)計(jì)算法牽涉到一隱式遞推過程,即每一步的虛擬控制量并沒有具體給出,從而無法具體估計(jì)出經(jīng)反步遞推設(shè)計(jì)后不確定性的變化范圍。因此,這些算法對于實(shí)際應(yīng)用而言具有相當(dāng)?shù)木窒扌?。本文旨在結(jié)合反步法與變結(jié)構(gòu)控制法,給出一種非線性不確定系統(tǒng)的魯棒輸出跟蹤問題在非匹配和非三角形情形下的顯式反步變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)方法,從而有效地克服了現(xiàn)有反步設(shè)計(jì)算法所存在的局限性。2顯色系統(tǒng)1e考慮如下MIMO非線性不確定系統(tǒng){x=f(x)+Δf(x?p)+[B(x)+ΔB(x?p)]uy=C(x)(1)其中:x∈Rn,u∈Rm和y∈Rm分別為狀態(tài)、輸入和輸出向量;f(x),B(x)=[b1(x),…,bm(x)]和C(x)=[c1(x),…,cm(x)]T是具有相應(yīng)維數(shù)的充分光滑函數(shù);Δf(x,p)和ΔB=[Δb1(x,p),…,Δbm(x,p)]分別代表f(x)和B(x)=[b1(x),…,bm(x)]的不確定部分,包括未建模動態(tài)和未知干擾引起的結(jié)果等系統(tǒng)中所有不確定性部分;p∈Rl表示不確定參數(shù)向量。假設(shè)不確定系統(tǒng)(1)滿足下列條件:1)存在整數(shù)ri使得LbjLkfci=0,0≤k<ri-1,i,j=1,…,m;2)下列m×m階矩陣Ec=(eij)m×m=[LbjLri-1fci]m×mΔEc=(Δeij)m×m=[LΔbjLri-1fci]m×m對所有的x是非奇異的;3)存在整數(shù)σi(i=1,…,m),對某些x和p有LΔfLσi-1fci≠0;4)存在整數(shù)γi(i=1,…,m),對j∈{1,…,m},x和p有LΔbjLγi-1fci≠0。上述假設(shè)保證了不確定系統(tǒng)(1)有強(qiáng)相對階向量(r1,…,rm)。如果至少存在一個整數(shù)i∈{1,…,m},有σi<ri或γi<ri,則上述假設(shè)表明不確定部分Δf或ΔB不滿足所謂的匹配條件。不失一般性,我們假設(shè)1<σi≤ri≤γi(i=1,…,m)?；谏鲜黾僭O(shè)并通過如下非線性變換{z=[zcζ]=Τ(x)=[Τc(x)Τζ(x)]u=E-1c(v-Κz)(2)其中zc=[zc1?zcm]=Τc(x)zci=[z1iz2i?zrii]=[ciLfci?Lri-1fci]?i=1???mζ=(ζ1???ζn-r)Τ=Τζ(x)Κz=(Κz1???Κzm)Τ=(Lr1fc1???Lrmfcm)Τr=m∑i=1ri?ζ=Τζ(x)是選定的光滑函數(shù)。則系統(tǒng)(1)可轉(zhuǎn)化為如下形式{˙zki=zk+1i?1≤k≤σi-1˙zσi+ji=zσi+j+1i+Δησi+j-1i0≤j≤ri-σi-1˙zrii=Δηri-1i+vi+ΔEiv˙ζ=χ(zc?ζ)+Δχ+(Eζ+ΔEζ)E-1cvyi=z1i(3)其中χ(zc?ζ)=Κζ-EζE-1cΚzEζ=(LbjΤr+l)(n-r)×mΚζ=(LfΤr+1???LfΤn)ΤΔχ,ΔKζ,ΔEξ,ΔEi,Δησi+k-1i(0≤k≤ri-σi-1),Δηri-1i(i=1,…,m)是有關(guān)的擾動項(xiàng)。設(shè)期望的有界跟蹤信號yd=(yd1,…,ydm)T為充分光滑函數(shù)。設(shè)計(jì)任務(wù)是選擇合適的控制律,設(shè)計(jì)一個魯棒控制器,使得系統(tǒng)(1)在非匹配不確定性的條件下其輸出能跟蹤期望輸出yd,輸出跟蹤誤差是漸近穩(wěn)定的。3生產(chǎn)跟蹤的可變結(jié)構(gòu)控制3.1ei2+iei1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i2i1i1i2i1i1i1i1i1i2i1i1i1i2i1i2i1i2i1i1i1i1i1i1i1i1i2i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i1i首先采用現(xiàn)有反步設(shè)計(jì)方法,給出每一步的相關(guān)表達(dá)式。為此,定義跟蹤誤差ec=(eΤc1???eΤcm)Τ=y-yd(t)其中,eci=(ei1,…,eiri)T,eij=zij-ydij-1(j=1,…,ri,i=1,…,m)。于是可得輸出跟蹤誤差ec的動態(tài)方程{e˙ik=eik+1?1≤k≤σi-1e˙iσi+j=eiσi+j+1+Δη～iσi+j-1e˙iri=Δη～iri-1+vi+ΔE?ivi=1???m?0≤j≤ri-σi-1(4)其中,“～”代表由輸出跟蹤誤差坐標(biāo)ec表示的式(3)中的對應(yīng)項(xiàng)。定義ue001φ=(ue001φ11,…,ue001φ1r1,…,ue001φm1,…,ue001φmrm)T=Φ(ec),其中φik=eik-ωik(ei1???eik-1)1≤k≤ri?i=1???m(5)ωik稱為虛擬控制,其作用是在每一步實(shí)現(xiàn)理想的相應(yīng)子系統(tǒng)指數(shù)鎮(zhèn)定。顯然,當(dāng)ωki充分光滑時,ue001φ=Φ(ec)為一微分同胚。第1步對式(4)的每一個子系統(tǒng),設(shè)ue001φi1=ei1及Lyapunov函數(shù)Vi1=12(φi1)2(i=1???m),則有V˙i1=φi1ei2=-ρi(φi1)2+φi1(ei2+ρiei1)?ρi＞0(6)顯然,如果ei2+ρiei1=0,則由式(6)知ue001φi1(即ei1)是漸近穩(wěn)定的。但一般情況下ei2+ρiei1≠0,為使ei1和ei2+ρiei1具有期望的漸近特性,引入輔助變量φi1=ei1?φi2=ei2+ρiei1或ωi1=0?ωi2=-ρiei1以及Lyapunov函數(shù)Vi2=Vi1+12(φi2)2(i=1???m),則有{φ˙i1=-ρiφi1+φi2V˙i1=-2ρiVi1+φi1φi2(7){φ˙i2=-φi1-ρiφi2+φi3V˙i2=-2ρiVi2+φi2φi3(8)其中φi3=ei3-ωi3ωi3=-φi1-ρiφi2+?ωi2?ei1ei2若ue001φi3=0,則由式(8)知ue001φi1和ue001φi2是漸近穩(wěn)定的。如此下去,可得到一般情形下的虛擬控制和Lyapunov函數(shù)。第k步可以得到一k階系統(tǒng){φ˙ij=-φij-1-ρiφij+φij+11≤j≤k-1φ˙ik=eik+1-∑j=1k-1?ωik?eijeij+11≤k≤σi-1?i=1???m(9)和Lyapunov函數(shù)Vik=∑j=1k-1Vij+12(φik)2?i=1???m滿足V˙ik=-2ρiVik+φikφik+11≤k≤σi-1?i=1???m其中ωik+1=-φik-1-ρiφik+∑j=1k-1?ωik?eijeij+11≤k≤σi-1?i=1???m第σi+j步由于存在非匹配不確定性,在下列虛擬控制ωiσi+j+1=-φiσi+j-1-ρiφiσi+j+∑l=1σi+j-1?ωiσi+j?eileil+1和Lyapunov函數(shù)Viσi+j=∑l=1σi+j-1Vij+12(φiσi+j)2下,相應(yīng)的遞推公式可變?yōu)橄铝行问溅炸Biσi+j=-φσi+j-1-ρiφiσi+j+φiσi+j+1+Δη～iσi+j-1(10)V˙iσi+j=-2ρiViσi+j+φiσi+jφiσi+j+1+∑l=0jφiσi+lΔη～iσi+l-1(11)相應(yīng)地,每一輸出誤差分量在最后一步的虛擬控制函數(shù)ωiri=-φiri-2-ρiφiri-1+∑j=1ri-2?ωiri-1?eijeij+1和Lyapunov函數(shù)Viri=∑j=1ri-1Vij+12(φiri)2=12eciΤeci分別滿足如下關(guān)系φ˙iri=Δη～iri-1+vi+ΔE?iv-∑l=1ri-1?ωiri?eileil+1V˙iri=-2ρiViri-1+∑j=0ri-σiφiσi+jΔη～iσi+j-1+φiri(vi+ΔE?iv-∑l=1ri-1?ωiri?eileil+1)最后,設(shè)V=∑i=1mViri為系統(tǒng)(4)的Lyapunov函數(shù),可得下列關(guān)系式V˙=∑i=1m{-2ρiViri-1+∑j=0ri-σiφiσi+jΔη～iσi+j-1+φiri[vi+ΔE?iv-∑l=1ri-1?ωiri?eileil+1]}(12)根據(jù)上述系列虛擬控制和Lyapunov函數(shù)的反步設(shè)計(jì),最終由式(12)可設(shè)計(jì)出相應(yīng)的魯棒輸出控制律,這就是所謂的反步設(shè)計(jì)方法。顯然,上述遞推過程牽涉到復(fù)雜的虛擬控制偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算,每一步的虛擬控制本質(zhì)上是隱式遞推給出的,因此現(xiàn)有結(jié)果盡管保證了跟蹤系統(tǒng)確實(shí)具有良好的跟蹤特性和魯棒性,但實(shí)際上還是難以實(shí)現(xiàn)。為克服上述局限性給實(shí)時控制帶來的困難,下面給出上述遞推過程的顯式表達(dá)。主要思想基于下列引理:引理1在上述遞推關(guān)系下,式(5)中的輔助函數(shù)可以顯式地表示如下φik=[∑j=1(k-1)/2Ck-2-jj-1(D+ρi)k-1-2j+(D+ρi)∑j=1k/2Ck-1-jj-1(D+ρi)k-2j]ei1(13)即虛擬控制可顯式地表示為ωik=eik-[∑j=1(k-1)/2Ck-2-jj-1(D+ρi)k-1-2j+(D+ρi)∑j=1k/2Ck-1-jj-1(D+ρi)k-2j]ei1(14)而相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)也可顯式地表示為∑j=1k-1?ωik?eijeij+1=eik+1-[∑j=1(k-1)/2Ck-2-jj-1(D+ρi)k-1-2j+(D+ρi)∑j=1k/2Ck-1-jj-1(D+ρi)k-2j]Dei1其中:(D+ρi)n=∑l=0nCnlDn-lρil?Clj為組合系數(shù),D為微分算子,即D=d/dt,Dk=dk/dtk。證明由式(4)以及上述每一步遞推過程知,每一虛擬控制與系統(tǒng)的不確定性無關(guān)。根據(jù)遞推公式(9),(10)以及原誤差動態(tài)方程知φi1=ei1φi2=ei2+ρiei1=Dei1+ρiei1=(D+ρi)ei1φi3=φ˙i2+ρiφi2+φi1=(D+ρi)φi2+φi1=[(D+ρi)2+1]ei1一般地,我們有φi2k=[(D+ρi)2k-1+C2k-21(D+ρi)2k-3+C2k-32(D+ρi)2k-5+?+Ckk-1(D+ρi)]ei1(15)φi2k+1=[(D+ρi)2k+C2k-11(D+ρi)2k-2+C2k-22(D+ρi)2k-4+?+Ckk]ei1(16)從而式(13)成立。事實(shí)上,上述遞推公式對k=1成立。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意k成立。設(shè)式(15)和(16)對k=N成立。事實(shí)上,由φ˙ij=-φij-1-ρiφij+φij+1e˙ik=Deik=Dkei1以及歸納假設(shè),我們有φi2Ν+2=φ˙i2Ν+1+ρiφi2Ν+1+φi2Ν=(D+ρi)φi2Ν+1+φi2Ν=[(D+ρi)2Ν+1+C2Ν1(D+ρi)2Ν-1+C2Ν-12(D+ρi)2Ν-3+?+CΝ+1Ν(D+ρi)]ei1φi2Ν+3=φ˙i2Ν+2+ρiφi2Ν+2+φi2Ν+1=(D+ρi)φi2Ν+2+φi2Ν+1=[(D+ρi)2Ν+2+C2Ν+11(D+ρi)2Ν+C2Ν2(D+ρi)2Ν-2+?+CΝΝ]ei1即式(15)和(16)對k=N+1也成立。綜合式(15)和(16)即得式(13)。再由虛擬控制的定義ωik=eik-ue001φik以及式(13)可知式(14)成立。最后由式(14)以及關(guān)系式φ˙ik=eik+1-∑j=1k-1?ωik?eijeij+1便可得到上述反步設(shè)計(jì)中每一步所需計(jì)算的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)可顯式地表示為∑j=1k-1?ωik?eijej+1=eik+1-φ˙ik=eik+1-[∑j=1(k-1)/2Ck-2-jj-1(D+ρi)k-1-2j+(D+ρi)∑j=1k/2Ck-1-jj-1(D+ρi)k-2j]ei1從而引理得證。根據(jù)上述引理,可以直接給出反步設(shè)計(jì)中每一步涉及到的變換具有下列線性表示φik=Ψikec(17)只要系統(tǒng)的相對階已知,便可直接得到有關(guān)的變換系數(shù)。為給出直接依賴于原系統(tǒng)不確定性變化范圍的魯棒控制律,假定誤差動態(tài)方程(4)中的不確定項(xiàng)滿足下列有界條件{|[Δη?iσi-1?Δη?iri-1]|≤Ξi|eC|,i=1???m|ΔE?i|≤ΔEiΜ≤ΔEΜ(18)即不確定項(xiàng)只需滿足一般的Lipschitz條件,而不需滿足苛刻的下三角約束條件。引理2在假設(shè)(18)下,式(12)中第2項(xiàng)不確定項(xiàng)滿足下列有界條件|∑j=0ri-σiφiσi+jΔη?iσi+j-1|≤Li|ec|2(19)其中Li=Ξi|(Ψiσi,…,Ψiri)|。事實(shí)上,由式(13),(17)和(18)知|∑j=0ri-σiφiσi+jΔη?iσi+j-1|=|(φiσi?φiri)[Δη?iσi-1?Δη?iri-1]|≤|(Ψiσi?Ψiri)|Ξi|ec|2即上述反步設(shè)計(jì)中涉及到的不確定項(xiàng)可直接由原誤差系統(tǒng)的變換范圍給出具體的上界估計(jì),從而為下面的魯棒控制設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。3.2約束條件下viii.1i.下面利用上面給出的顯式遞推關(guān)系和引理1,給出上述魯棒輸出跟蹤問題的一種顯式變結(jié)構(gòu)控制方法。考慮如下滑?？刂坡蓈i=-ρiφiri+∑l=1ri-1?ωri?eilel+1-δisign(φiri)?i=1???m(20)其中ρi和δi是適當(dāng)大的滿足下列條件{2ρi-2Li-ΔEiΜΚ-ρmax(ΔEiΜ+∑j=1mΔEjΜ)＞0δi-ΔEiΜmδmax＞0?i=1???m(21)的正數(shù),且ρmax=maxiρi?δmax=maxiδiΚ=|(Ω1?Ωm)|φiri=[∑j=1(ri-1)/2Cri-2-jj-1(D+ρi)ri-1-