中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)全攻略第一節(jié)實(shí)數(shù)及其運(yùn)算

實(shí)數(shù)及其運(yùn)算知識點(diǎn)一：實(shí)數(shù)的概念及分類（1）按定義分正有理數(shù)有理數(shù)0有限小數(shù)或負(fù)有理數(shù)無限循環(huán)小數(shù)實(shí)數(shù)正無理數(shù)無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)負(fù)無理數(shù)注意：無理數(shù)中，切記“無限不循環(huán)”這一本質(zhì)，四類：（1）開方開不盡的數(shù)，如等；（開得盡方的含根號的數(shù)屬于有理數(shù)，如，=-3，它們都屬于有理數(shù).）（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡后含有π的數(shù)，如+100等；…等，一定要注意后面要帶省略號；（4）某些三角函數(shù)，如sin30o，tan75等（2）按正、負(fù)性分 正實(shí)數(shù) 實(shí)數(shù) 0負(fù)實(shí)數(shù)注意：0既不屬于正數(shù)，也不屬于負(fù)數(shù).知識點(diǎn)二：實(shí)數(shù)的相關(guān)概念（一）數(shù)軸（1）規(guī)定了的原點(diǎn)，正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸。所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示。也可以用數(shù)軸來比較兩個實(shí)數(shù)的大小。（2）三要素：數(shù)軸是一種特定幾何圖形；原點(diǎn)、正方向、長度單位稱數(shù)軸的三要素，這三者缺一不可。（3）特征：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)；數(shù)軸右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大注意：1）從原點(diǎn)出發(fā)朝正方向的射線上的點(diǎn)對應(yīng)正數(shù)，相反方向的射線上的點(diǎn)對應(yīng)負(fù)數(shù)，原點(diǎn)對應(yīng)零。數(shù)軸上的點(diǎn)對應(yīng)任意實(shí)數(shù)，包括無理數(shù)。2）在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，正方向的數(shù)大于負(fù)方向的數(shù)。3）正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。變式練習(xí)．在－3，－1，1，3四個數(shù)中，比－2小的數(shù)是(A)A．－3B．－1C．1D．3（二）.相反數(shù)（1）概念：只有符號不同的兩個數(shù)（2）代數(shù)意義：a、b互為相反數(shù)a+b=0（3）幾何意義：數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等注意：a的相反數(shù)為-a，特別的0的絕對值是0.變式練習(xí)：.－2的相反數(shù)是()A.2B.－2C.eq\f(1,2)D.－eq\f(1,2)【解析】Aa的相反數(shù)是－a，因此－2的相反數(shù)為－(－2)＝2.．(易錯題)A，B是數(shù)軸上兩點(diǎn)，線段AB上的點(diǎn)表示的數(shù)中，有互為相反數(shù)的是(B)（三）.絕對值（1）幾何意義：數(shù)軸上表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離（2）運(yùn)算性質(zhì)|a|=a(a≥0)；|a-b|=a-b(a≥b)-a(a＜0).b-a(a＜b)注意：（1）若|x|=a（a≥0），則x=±a.如：絕對值等于4的是±4（2）對絕對值等于它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù).[（3）非負(fù)性：|a|≥0，若|a|+b2=0,則a=b=0.初中階段認(rèn)識了3種非負(fù)數(shù)：eq\o\ac(○,1)（a≥0）eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)|a|變式練習(xí)1：3的絕對值是3；|-4|=4；;|0|=0.變式練習(xí)2.實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則|a－2.5|＝()第2題圖A.a－2.5－aC.a＋2.5D.－a【解析】B從數(shù)軸可以看出0＜a，所以a－2.5＜0，所以|a－2.5|＝－(a－2.5)＝2.5－a.變式練習(xí)3：．?dāng)?shù)軸上點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是5，－3，它們之間的距離可以表示為(D)A．－3＋5B．－3－5C．|－3＋5|D．|－3－5|變式練習(xí)4：.實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖，則|a－3|＝__3－a__．（四）倒數(shù) （1）概念：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù).a的倒數(shù)為1/a(a≠0)即零沒有倒數(shù)，（2）代數(shù)意義：a、b互為倒數(shù)ab=1注意：（1）倒數(shù)等于它本身的數(shù)有±1.（2）分?jǐn)?shù)的倒數(shù)：找一個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，把分?jǐn)?shù)的分子和分母交換位置。（3）整數(shù)的倒數(shù)：找一個整數(shù)的倒數(shù)，把3化成分?jǐn)?shù)，即3/1，再把3/1這個分?jǐn)?shù)的分子和分母交換位置。（4）小數(shù)的倒數(shù)：找一個小數(shù)的倒數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)，再求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。變式練習(xí)：.－2的倒數(shù)是()A.2B.－2C.eq\f(1,2)D.－eq\f(1,2)【解析】D一個數(shù)的倒數(shù)等于與這個數(shù)乘積為1的數(shù)，因此－2的倒數(shù)為－eq\f(1,2).知識點(diǎn)三：科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)（2）確定n的方法：對于數(shù)位較多的大數(shù)，n等于原數(shù)的整數(shù)為減去1；對于小數(shù)，寫成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原數(shù)中左起至第一個非零數(shù)字前所有零的個數(shù)（含小數(shù)點(diǎn)前面的一個） 變式練習(xí)1：×104；12萬用科學(xué)記數(shù)法表示為1.2×105；3用科學(xué)記數(shù)法表示為3×10-4.變式練習(xí)2：據(jù)廣東省旅游局統(tǒng)計(jì)顯示，2016年4月全省旅游住宿設(shè)施接待過夜游客27700000人，將27700000用科學(xué)記數(shù)法表示為()×107×108×107D.×108【解析】C將一個大數(shù)表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，，n為正整數(shù)，n的值為原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1，因此n＝8－1＝7，故27700000用科學(xué)記數(shù)法表示為2.77×107.變式練習(xí)3：是指大氣中直徑小于或等μmm)的顆粒物，含有大量有毒、有害物質(zhì)，也稱可入肺顆粒物，將0.0000025用科學(xué)記數(shù)法表示為()A.25×10－7B.2.5×10－6C.0.25×10－5D.×106【解析】B一個將小數(shù)表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為負(fù)整數(shù)，它的絕對值等于原數(shù)左起第一個非零數(shù)字前0的個數(shù)，即a，n＝－6，所以0.0000025＝2.5×10－6.（1）定義：一個與實(shí)際數(shù)值很接近的數(shù).（2）精確度：由四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位. 注意：一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位，這是，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確的數(shù)位止，所有的數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。變式練習(xí)：3.14159精確到百分位是3.14；精確到0.001是3.142.知識點(diǎn)四：實(shí)數(shù)的大小比較（常見方法歸納）（1）正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個正數(shù)，絕對值大的較大；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。（2）數(shù)軸比較法：：在數(shù)軸上表示的兩個實(shí)數(shù)，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)作差比較法：設(shè)a、b是任意的實(shí)數(shù)a-b>0a>ba-b=0a=ba-b<0a<b（3）設(shè)a、b是正實(shí)數(shù)（4）平方法：a＞b≥0a2＞b2.變式練習(xí)1.如圖所示，a與b的大小關(guān)系是()a＜bB.a＞bC.a＝bD.b＝2a第1題圖【解析】A數(shù)軸上原點(diǎn)左邊的數(shù)表示負(fù)數(shù)，原點(diǎn)右邊的數(shù)表示正數(shù)，左邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比右邊的點(diǎn)表示的數(shù)小，故a＜b.變式練習(xí)2.在0，2，(－3)0，－5這四個數(shù)中，最大的數(shù)是()A.0B.2C.(－3)0D.－5【解析】B∵(－3)0＝1，∴－5＜0＜(－3)0＜2，∴最大的數(shù)是2.變式練習(xí)3下列各數(shù)中最小的數(shù)是()A.0B.－3C.－eq\r(3)D.1【解析】B根據(jù)正數(shù)>0>負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)相比較，絕對值大的反而小，得－3<－eq\r(3)<0<1.變式練習(xí)_1＞0＞-2＞-2.3_.變式練習(xí)5．“＜”連接起來是__y＜a＜b＜x__.點(diǎn)撥：∵x＋y＝a＋b，∴y＝a＋b－x，x＝a＋b－y，把y＝a＋b－x代入y－x＜a－b得：a＋b－x－x＜a－b，2b＜2x，b＜x①，把x＝a＋b－y代入y－x＜a－b得：y－(a＋b－y)＜a－b，2y＜2a，y＜a②，∵b＞a③，∴由①②③得：y＜a＜b＜x知識點(diǎn)五：實(shí)數(shù)的運(yùn)算（1）加法：1、同號兩數(shù)相加，取相同的正負(fù)號，并把絕對值相加。2、絕對值不等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的數(shù)的正負(fù)號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。3、互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得零。4、一個數(shù)與零相加，仍得這個數(shù)。注意：有理數(shù)的加法運(yùn)算（順口溜）同號兩數(shù)來相加，絕對值加不變號。異號相加大減小，大數(shù)決定和符號。互為相反數(shù)求和，結(jié)果是零須記好?！咀ⅰ俊按蟆睖p“小”是指絕對值的大小。（2）減法：1、有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。2、有理數(shù)減法常見的錯誤：沒有顧到結(jié)果的符號；只改變運(yùn)算符號，不改變減數(shù)的符號，沒有把減數(shù)變成相反數(shù)。注意：（1）有理數(shù)的減法運(yùn)算（順口溜）減正等于加負(fù)，減負(fù)等于加正。有理數(shù)的乘法運(yùn)算符號法則同號得正異號負(fù)，一項(xiàng)為零積是零。（2）有理數(shù)加減混合運(yùn)算步驟：先把減法變成加法，再按有理數(shù)加法法則進(jìn)行運(yùn)算；

（3）乘法：1、兩個有理數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；2、任何數(shù)與0相乘都得0。除法：兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除，0除以任何一個不等于0的數(shù)都等于0。注意：1)、除以一個數(shù)，等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)；2)、0不能做除數(shù)。 變式練習(xí)．按照如圖所示的操作步驟，若輸入的值為3，則輸出的值為__55__．（4）常見運(yùn)算1.乘方 、有理數(shù)的乘法的定義：求幾個相同因數(shù)a的運(yùn)算叫做乘方，乘方是一種運(yùn)算，是幾個相同的因數(shù)的特殊乘法運(yùn)算，記做“an”其中a叫做底數(shù)，表示相同的因數(shù)，n叫做指數(shù)，乘方的結(jié)果叫做冪。（1）幾個相同因數(shù)的積;負(fù)數(shù)的偶（奇）次方為正（負(fù)）

（2）零次冪a0=_1_(a≠0)（3）負(fù)指數(shù)冪a-p=1/ap（a≠0，p為整數(shù)）變式練習(xí).下列等式正確的是()A.(－1)－3＝1B.(－4)0＝1C.(－2)2×(－2)3＝－26D.(－5)4÷(－5)2＝－52【解析】B逐項(xiàng)分析如下：選項(xiàng)逐項(xiàng)分析正誤A(－1)－3＝eq\f(1,（－1）3)＝eq\f(1,－1)＝－1≠1×B(－4)0＝1√C(－2)2×(－2)3＝(－2)2＋3＝(－2)5＝－25≠－26×D(－5)4÷(－5)2＝(－5)4－2＝(－5)2＝52≠－52×2.算術(shù)平方根與平方根、若x2=a（a≥0）,則x=.其中是算術(shù)平方根.立方根若x3=a,則x=.變式練習(xí)：（1）計(jì)算：1-2-6=_-7__;(-3)2=__9__;2-1=_1/2_;π0=__1__;(2)64的平方根是_±8__,算術(shù)平方根是_8_,立方根是__4__.（5）有理數(shù)的混合運(yùn)算：1、進(jìn)行有理數(shù)混合運(yùn)算的關(guān)建是熟練掌握加、減、乘、除、乘方的運(yùn)算法則、運(yùn)算律及運(yùn)算順序。比較復(fù)雜的混合運(yùn)算，一般可先根據(jù)題中的加減運(yùn)算，把算式分成幾段，計(jì)算時，先從每段的乘方開始，按順序運(yùn)算，有括號先算括號里的，同時要注意靈活運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算。2、進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時，應(yīng)注意：一是要注意運(yùn)算順序，先算高一級的運(yùn)算，再算低一級的運(yùn)算運(yùn)算律：①加法的交換律a+b=b+a②加法的結(jié)合律a+(b+c)=(a+b)+c；③存在數(shù)0，使0+a=a+0=a；④對任意有理數(shù)a，存在一個加法逆元，記作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；⑤乘法的交換律ab=ba；⑥乘法的結(jié)合律a(bc)=(ab)c；⑦分配律a(b+c)=ab+ac；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，加減乘除（除數(shù)不為零）、乘方都可以進(jìn)行，但開方運(yùn)算不一定能進(jìn)行，正實(shí)數(shù)和零總能進(jìn)行開方運(yùn)算，而負(fù)實(shí)數(shù)只能開奇次方，不能開偶次方。有理數(shù)的一切運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)算律都適用于實(shí)數(shù)運(yùn)算。變式練習(xí)1.計(jì)算：|－3|－(2016＋sin30°)0－(－eq\f(1,2))－1.解：原式＝3－1＋2變式練習(xí)2.計(jì)算：(eq\r(2011)－1)0＋eq\r(18)sin45°－22.原式＝1＋3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)－4＝1＋3－4＝0.變式練習(xí)3.計(jì)算：eq\r(9)＋|－4|＋(－1)0－(eq\f(1,2))－1.解：原式＝3＋4＋1－2＝6.