2022-2023學(xué)年陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)高二下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】求解集合B，然后根據(jù)交集的定義計(jì)算即可.【詳解】解：集合或，又集合，所以.故選：C2．設(shè)復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)，然后計(jì)算即可.【詳解】方法一：，所以方法二：由復(fù)數(shù)的性質(zhì)可知故選：A3．過(guò)直線上任意一點(diǎn)，總存在直線與圓相切，則k的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求得的最大值.【詳解】設(shè)為直線上任意一點(diǎn)因?yàn)檫^(guò)直線上任意一點(diǎn)，總存在直線與圓相切所以點(diǎn)在圓外或圓上，即直線與圓相離或相切，則，即，解得，故的最大值為.故選：A.4．已知，，，則A． B．C． D．【答案】C【分析】利用根式的運(yùn)算性質(zhì)、冪函數(shù)的單調(diào)性可得a，b的大小關(guān)系，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出c＜1．【詳解】∵＝，且=＝，∴，．∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根式的運(yùn)算性質(zhì)、冪函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．5．為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲~18歲的男生體重（kg），得到頻率分布直方圖如圖所示，根據(jù)該圖可得這100名學(xué)生中體重在的學(xué)生人數(shù)是（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】C【分析】由頻率直方圖中的小長(zhǎng)方形的面積即為該范圍內(nèi)的頻率,先求出體重在的頻率,再由樣本的容量求人數(shù)即可.【詳解】解:由頻率直方圖得,體重在的頻率為,所求人數(shù)為.故選：C.6．運(yùn)行如圖所示的程序，輸出的結(jié)果為A．12 B．10 C．9 D．8【答案】D【詳解】列表得出S，k的值如下：S014134012136410933280k139278124372921876561據(jù)此可得：輸出值為：.本題選擇D選項(xiàng).7．若變量滿(mǎn)足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值是（

）A． B．0C． D．【答案】A【分析】先作出可行域，然后平移直線，得到的最小值．【詳解】作出可行域如圖所示，圖中的陰影部分為不等式組所表示的平面區(qū)域（含邊界），其中，，．先作出的圖象，然后通過(guò)平移，發(fā)現(xiàn)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取到最小值．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，正確作出可行域是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．8．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】A【分析】由題意首先求得平移之后的函數(shù)解析式，然后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度之后的解析式為：.則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿(mǎn)足：，即，令可得一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為：.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿(mǎn)足：，即，令可得一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為：，本題選擇A選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判斷等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.9．甲、乙兩位同學(xué)將高三6次物理測(cè)試成績(jī)做成如圖所示的莖葉圖加以比較（成績(jī)均為整數(shù)滿(mǎn)分100分），乙同學(xué)對(duì)其中一次成績(jī)記憶模糊，只記得成績(jī)不低于90分且不是滿(mǎn)分，則甲同學(xué)的平均成績(jī)超過(guò)乙同學(xué)的平均成績(jī)的概率為A． B． C． D．【答案】C【解析】首先求得甲的平均數(shù)，然后結(jié)合題意確定污損的數(shù)字可能的取值，最后利用古典概型計(jì)算公式求解其概率值即可.【詳解】由題意可得：，設(shè)被污損的數(shù)字為x，則：，滿(mǎn)足題意時(shí)，，即：，即x可能的取值為,結(jié)合古典概型計(jì)算公式可得滿(mǎn)足題意的概率值：.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查莖葉圖的識(shí)別與閱讀，平均數(shù)的計(jì)算方法，古典概型計(jì)算公式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.10．“垛積術(shù)”(隙積術(shù))是由北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家楊輝?元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類(lèi)數(shù)列求和方法，有茭草垛?方垛?芻童垛?三角垛等等.某倉(cāng)庫(kù)中部分貨物堆放成如圖所示的“茭草垛”:自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是件.已知第一層貨物單價(jià)1萬(wàn)元，從第二層起，貨物的單價(jià)是上一層單價(jià)的.若這堆貨物總價(jià)是萬(wàn)元，則的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】由于件數(shù)成等差數(shù)列，單價(jià)成等比數(shù)列，因此總價(jià)是一個(gè)數(shù)列的和，這個(gè)數(shù)列是由等差數(shù)列與等比數(shù)列相乘得到的，用錯(cuò)位相減法求和．【詳解】由題意總價(jià)，，所以，所以，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查錯(cuò)位相減法求和．掌握錯(cuò)位相減法求和方法是解題基礎(chǔ)．11．已知是定義在上的奇函數(shù)，且滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．0 B．2 C．4 D．6【答案】D【解析】先討論函數(shù)的性質(zhì)，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)畫(huà)出草圖；將零點(diǎn)的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合處理.【詳解】因?yàn)?，又函?shù)是奇函數(shù)，故而是以4為周期的函數(shù)；同時(shí),故關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，又=0的根個(gè)數(shù)，即方程的根的個(gè)數(shù)，即函數(shù)與函數(shù)圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).根據(jù)其在上的解析式，以及，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)有5個(gè)交點(diǎn)，故在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，屬綜合題.12．如圖，直徑為4的球放地面上，球上方有一點(diǎn)光源P，則球在地面上的投影為以球與地面切點(diǎn)F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，已知是橢圓的長(zhǎng)軸，垂直于地面且與球相切，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合球的性質(zhì)作出截面，再結(jié)合三角形內(nèi)切圓性質(zhì)求出長(zhǎng)即可作答.【詳解】依題意，平面截球O得球面大圓，如圖，是球O大圓的外切三角形，其中切圓O于點(diǎn)E，F(xiàn)，顯然，而，則，又，有，由圓的切線性質(zhì)知，，在中，，則，于是得橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，即，又F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，令橢圓半焦距為c，即有，因此，所以橢圓的離心率.故選：A二、填空題13．已知向量滿(mǎn)足且，則的夾角為.【答案】【解析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式運(yùn)算即可.【詳解】設(shè)的夾角為,則,解得,又,故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.14．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為60，則．【答案】【分析】直接根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)得，令上的指數(shù)為0，解出值，代入即可得到值.【詳解】，整理得，令，解得，則常數(shù)項(xiàng)為，解得.故答案為：.15．已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為．【答案】【詳解】試題分析：因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，且，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．【解析】基本不等式．【名師點(diǎn)睛】本主要考查基本不等式的應(yīng)用以及構(gòu)造基本不等式的拆項(xiàng)、拼湊等基本方法，屬難題．第一難點(diǎn)是將正確拆分為形式，第二難點(diǎn)是乘以進(jìn)行變形拼湊基本不等式的形式，最后利用基本不等式求最小值時(shí)還得注意應(yīng)用基本不等式的條件，即保證兩個(gè)數(shù)均為正數(shù)、乘積為定值且能取到等號(hào)，得到正確結(jié)果．16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線的斜率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則以下結(jié)論①，②，③，④，正確的序號(hào)是．【答案】①②③【分析】寫(xiě)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，求得，由此對(duì)四個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，解得，.由于，所以，①正確.拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為，，，則，所以，②正確.，，所以，所以③正確.，所以④錯(cuò)誤.故答案為：①②③三、解答題17．已知、、分別是銳角三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊，面積為，且．(1)求；(2)求取最大值時(shí)角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形的面積公式、余弦定理以及輔助角公式化簡(jiǎn)得出，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）求出角的取值范圍，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)的表達(dá)式，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得當(dāng)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的角的值.【詳解】（1）解：由題知，則有①，在中，由余弦定理可得，代入①式可得，即，由輔助角公式可得，因?yàn)?，則，所以，，解得.（2）解：因?yàn)槭卿J角三角形，且，由，解得，所以，，因?yàn)椋瑒t，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最大值.18．阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，對(duì)幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過(guò)卓越貢獻(xiàn)．為調(diào)查中學(xué)生對(duì)這一偉大科學(xué)家的了解程度，某調(diào)查小組隨機(jī)抽取了某市的100名高中生，請(qǐng)他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項(xiàng)的稱(chēng)為“比較了解”，少于三項(xiàng)的稱(chēng)為“不太了解”他們的調(diào)查結(jié)果如下：0項(xiàng)1項(xiàng)2項(xiàng)3項(xiàng)4項(xiàng)5項(xiàng)5項(xiàng)以上理科生(人)110171414104文科生(人)08106321（1）完成如下列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為，了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)？比較了解不太了解合計(jì)理科生文科生合計(jì)（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本．（?。┣蟪槿〉奈目粕屠砜粕娜藬?shù)；（ⅱ）從10人的樣本中隨機(jī)抽取3人，用表示這3人中文科生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828，．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）（?。┪目粕耍砜粕?；（ⅱ）見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)填寫(xiě)列聯(lián)表，根據(jù)公式計(jì)算可得，可知沒(méi)有的把握；（2）（?。└鶕?jù)分層抽樣的原則計(jì)算即可得到結(jié)果；（ⅱ）首先確定所有可能的取值為，根據(jù)超幾何分布的概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，從而可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式可求得期望.【詳解】（1）依題意填寫(xiě)列聯(lián)表如下：比較了解不太了解合計(jì)理科生422870文科生121830合計(jì)5446100，沒(méi)有的把握認(rèn)為，了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)（2）（?。┏槿〉奈目粕藬?shù)是：人理科生人數(shù)是：人（ⅱ）的可能取值為則；；；其分布列為：X0123P（X）【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用、分層抽樣、服從超幾何分布的離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解問(wèn)題，屬于常規(guī)題型.19．如圖，在三棱柱中，點(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且.(1)證明：；(2)已知，，直線與底面所成角的大小為，求二面角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）分別證明出和，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求二面角的平面角.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在底面內(nèi)的射影是點(diǎn)，平面，平面，.在三角形中，，，，平面，平面，.（2）平面，直線與底面所成角的大小為，，.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，以的方向?yàn)檩S正方向，分別以，的方向?yàn)檩S，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，可取.平面的一個(gè)法向量是，，二面角的大小為.20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的焦距為4，過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為，A，B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)．

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知圖中四邊形ABCD是矩形，且，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，AM與BN相交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P．若點(diǎn)P在橢圓E上，證明：為定值，并求出該定值．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析，該定值為.【分析】（1）根據(jù)給定條件，建立關(guān)于的方程組，再求出作答.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合已知，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)、點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可計(jì)算作答.【詳解】（1）依題意，橢圓E的半焦距，由，得，因此，又，解得，所以橢圓E的方程為．（2）由（1）知，，設(shè)，，則，即，直線AP的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，直線的方程，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，令，得，則，所以為定值，該定值為.21．已知函數(shù)．(1)試討論的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，均有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)后，分別在、、和的情況下，根據(jù)的正負(fù)可確定的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中單調(diào)性可確定，采用分離變量的方式可將恒成立的不等式化為，由此可確定的取值范圍.【詳解】（1）由題意知：定義域?yàn)?，；①?dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；④當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，恒成立，，，又，，，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），將曲線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的后得到曲線．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程．(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和直線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)、，已知點(diǎn)，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，利用伸縮變換求出曲線的普通方程，再將曲線的普通方程化為極坐標(biāo)方程，利用極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得出直線的直角坐標(biāo)方程；（2）寫(xiě)出直線的參數(shù)方程，將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，利用韋達(dá)定理可求得.【詳解】（1）解：將曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)）消去參數(shù)得，在曲線上任取一點(diǎn)，將點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到點(diǎn)，則點(diǎn)在曲線上，且有，即，即點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程可得，即，故曲線的普通方程為，化為極坐標(biāo)方程為，即，由可得，化為普通方程為，故直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）解：由題意知在直線上，又直線的斜率為，直線的傾斜角為，所以直線的參數(shù)