函數(shù)的奇偶性與周期性

第一頁第二頁，共32頁。1．奇函數(shù)、偶函數(shù)定義(1)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有

；即互為相反數(shù)的兩個(gè)自變量值對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．(2)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有

，即互為相反數(shù)的兩個(gè)自變量值對應(yīng)的函數(shù)值相等．那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)．f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)第二頁第三頁，共32頁。2．奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)圖象關(guān)于

對稱；偶函數(shù)圖象關(guān)于

對稱．(2)偶函數(shù)在區(qū)間(a，b)上遞增(減)，則在(－b，－a)上

，奇函數(shù)在區(qū)間(a，b)與(－b，－a)上的增減性 ．原點(diǎn)y軸遞減(增)相同第三頁第四頁，共32頁。第四頁第五頁，共32頁。4．周期函數(shù)定義對于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有

，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，T為函數(shù)的一個(gè)周期．f(x＋T)＝f(x)第五頁第六頁，共32頁。1．(2010·廣東)若函數(shù)f(x)＝3x＋3－x與g(x)＝3x－3－x的定義域均為R，則()A．f(x)與g(x)均為偶函數(shù)B．f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)C．f(x)與g(x)均為奇函數(shù)D．f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)[解析]

f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．[答案]

B第六頁第七頁，共32頁。[答案]

C第七頁第八頁，共32頁。3．(2010·山東)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝()A．3 B．1C．－1 D．－3[解析]

因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，可求得b＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2＋b)＝－3.故選D.[答案]

D第八頁第九頁，共32頁。第九頁第十頁，共32頁。第十頁第十一頁，共32頁。第十一頁第十二頁，共32頁。第十二頁第十三頁，共32頁。(4)當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．∴對任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)為奇函數(shù)．第十三頁第十四頁，共32頁。(5)函數(shù)的定義域?yàn)镽.當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2－|x|＋1.有f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．當(dāng)a≠0時(shí)，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2－2|a|＋1.f(a)≠f(－a)．且f(a)＋f(－a)＝2(a2－|a|＋1)第十四頁第十五頁，共32頁。[點(diǎn)評(píng)與警示]

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)首先求出函數(shù)的定義域，并視定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱．只有定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，才有驗(yàn)證是否有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)的必要．第十五頁第十六頁，共32頁。

已知f(x)是定義在(－1,1)上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0,1)上是增函數(shù)，若有不等式f(a－2)－f(3－a)<0成立．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．第十六頁第十七頁，共32頁。第十七頁第十八頁，共32頁。[點(diǎn)評(píng)與警示]

本例題的求解過程中，既要利用函數(shù)的奇偶性，又要利用函數(shù)的單調(diào)性．求解此類問題的一般思路有兩條：一是就a－2與3－a的符號(hào)進(jìn)行分類討論(過程繁瑣)；二是利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．而得到“|x1|<|x2|?f(x1)<f(x2)”．第十八頁第十九頁，共32頁。已知f(x)是定義在(－1,1)上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－1,0]上是減函數(shù)，若有不等式f(a－2)－f(a－3)＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．第十九頁第二十頁，共32頁。第二十頁第二十一頁，共32頁。[分析]

(1)通過建立方程，求出a、b的值．確定f(x)的解析式．(3)利用函數(shù)的單調(diào)性脫掉“f”．第二十一頁第二十二頁，共32頁。第二十二頁第二十三頁，共32頁。[點(diǎn)評(píng)與警示]

(1)如果一個(gè)奇函數(shù)在x＝0處有定義．那么f(0)＝0.(2)解不等式f(t－1)＋f(t)<0時(shí)，注意函數(shù)定義域?qū)的限制．第二十三頁第二十四頁，共32頁。第二十四頁第二十五頁，共32頁。已知奇函數(shù)f(x)定義在R上，其圖象關(guān)于直線x＝1對稱，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝2x－1.(1)當(dāng)x∈[－1,0)時(shí)，求f(x)的表達(dá)式；(2)證明f(x)是周期函數(shù)，并求出它的一個(gè)周期；(3)當(dāng)x∈[4,5]時(shí)，求f(x)．第二十五頁第二十六頁，共32頁。[解]

(1)當(dāng)－1≤x<0時(shí)．－x∈(0,1]，而f(－x)＝2－x－1，且f(x)是奇函數(shù)．所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1.(2)因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以f(x)＝f(2－x)，用－x替換x，就有f(－x)＝f(2＋x)．由f(x)是奇函數(shù)得f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，進(jìn)而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．可知f(x)是周期函數(shù)，4是它的一個(gè)周期．(3)當(dāng)4≤x≤5時(shí)，0≤x－4≤1.所以f(x－4)＝2x－4－1.而f(x－4)＝f(x)，所以f(x)＝2x－4－1(x∈[4,5])為所求．第二十六頁第二十七頁，共32頁。[點(diǎn)評(píng)與警示]

(1)已知奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝a對稱，則f(x)是周期函數(shù)，且4a為其中的一個(gè)周期；若偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則2a為其中的一個(gè)周期．(2)注意分清函數(shù)圖象的幾種關(guān)系：①若f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．②若f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)的周期為2a.③函數(shù)y＝f(x－a)與函數(shù)y＝f(a－x)圖象關(guān)于直線x＝a對稱．第二十七頁第二十八頁，共32頁。第二十八頁第二十九頁，共32頁。1．判斷函數(shù)奇偶性就是看f(－x)與f(x)是否有相等關(guān)系或互為相反數(shù)的關(guān)系．2．函數(shù)的奇