角的平分線的性質(zhì)“百校聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

12.3角平分線的性質(zhì)11、在準(zhǔn)備好的角上標(biāo)好字母；A,O,B,。把角AOB對(duì)折，使得這個(gè)角的兩邊重合。2、在折痕（即平分線）上任意找一點(diǎn)P。作PD垂直與OA，垂足為D。3、過點(diǎn)P作OB邊的垂線PE，垂足為E。做一做問：點(diǎn)D與點(diǎn)E重合嗎？由此你可得到什么結(jié)論？2

按照做一做的順序畫∠AOB的折痕OC,過點(diǎn)P的垂線段PD、PE，并度量所畫PD、PE是否等長(zhǎng)？議一議：由此你可得到什么猜想？畫一畫3同學(xué)甲、乙誰(shuí)的畫法是正確的?4角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．議一議：由做一做和畫一畫你可得到什么猜想？5驗(yàn)證結(jié)論已知:如圖,OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn)PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.求證:PD=PE.而△OPD≌△OPE的條件由已知易知它滿足公理(AAS).故結(jié)論可證.老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.分析:要證明PD=PE,只要證明它們所在的△OPD≌△OPE，角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.OCB1A2PDE6能否用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)翻譯“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”這句話．請(qǐng)?zhí)钕卤恚篜D=PEOC平分∠AOB，PD⊥OA,PE⊥OB,D、E為垂足．于是我們得角的平分線的性質(zhì)：在角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．7到角的兩邊距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢？議一議8根據(jù)下表中的圖形和已知事項(xiàng)，猜想由已知事項(xiàng)可推出的事項(xiàng)，并用符號(hào)語(yǔ)言填寫下表：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上9這樣，我們又可以得到一個(gè)結(jié)論：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。請(qǐng)同學(xué)們自己寫出證明過程10同學(xué)們思考一下，這節(jié)課所學(xué)的這兩個(gè)性質(zhì)有什么聯(lián)系嗎？11例

已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.

求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.ABCPMNABCPMN例

已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.

求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、

BC、CA，垂足分別為D、E、FFDEDE∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上

∴PD=PE（在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.

即點(diǎn)P到邊AB、BC、

CA的距離相等想一想，點(diǎn)P在∠A

的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？12暢談收獲小結(jié):13，1、在Rt△ABC中，BD是角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE與DC相等嗎？為什么？ABCDE

2、如圖,OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D、E,PD=4cm,則PE=__________cm.ADOBEPC知識(shí)應(yīng)用14B

思考：如圖所示OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),問PE=PD?為什么?OAEDCPPD,PE沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平分線上任一點(diǎn)這個(gè)角兩邊的距離,所以不一定相等直15思考：要在Ｓ區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處５００米，應(yīng)建在何處？（比例尺1：20000）ＳＯ公路鐵路16練習(xí)1：如圖，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分線ＢＤ與∠Ｃ的外角的平分線ＣＥ相交于點(diǎn)Ｐ．求證：點(diǎn)Ｐ到三邊ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直線的距離相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ17練習(xí)2：

如圖,求作一點(diǎn)P,使PC=PD,并且點(diǎn)P到∠AOB的兩邊的距離相等.C●D●ABO18知識(shí)拓展

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E。（1）已知CD=4cm，求AC的長(zhǎng)；（2）求證：AB=AC+CDBACDE19

1.前面我們學(xué)習(xí)了角平分線的性質(zhì)，你能復(fù)述嗎？它有什么作用？知識(shí)回顧2.你能總結(jié)畫角平分線的方法嗎？20

如圖，要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路，鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20000）思考S21

我們知道，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢？探究

利用三角形全等，可以得到：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上自己證一證。根據(jù)此結(jié)論，你知道集貿(mào)市場(chǎng)建在何處嗎？22ANBCPM知識(shí)應(yīng)用

例如圖，△ABC的角的平分線BM，CN相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.想一想，點(diǎn)P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？23鞏固練習(xí)

如圖，△ABC的∠B的外角的平分線BD與∠C的外角的平分線CE