排列組合問題的解題技巧

PAGEPAGE6排列組合問題的解題方略排列組合知識，廣泛應(yīng)用于實際，掌握好排列組合知識，能幫助我們在生產(chǎn)生活中，解決許多實際應(yīng)用問題。同時排列組合問題歷來就是一個老大難的問題。因此有必要對排列組合問題的解題規(guī)律和解題方法作一點歸納和總結(jié)，以期充分掌握排列組合知識。首先，談?wù)勁帕薪M合綜合問題的一般解題規(guī)律:1．使用“分類計數(shù)原理”還是“分步計數(shù)原理”要根據(jù)我們完成某件事時采取的方式而定，可以分類來完成這件事時用“分類計數(shù)原理”，需要分步來完成這件事時就用“分步計數(shù)原理”；那么，怎樣確定是分類，還是分步驟？“分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨立完成所給的事件，而“分步”必須把各步驟均完成才能完成所給事件，所以準確理解兩個原理強調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾，相互獨立，彼此間交集為空集，并集為全集，不論哪類辦法都能將事情單獨完成，分步計數(shù)原理強調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，步與步之間互不影響，即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法。運用兩個基本原理加法原理和乘法原理是解排列組合應(yīng)用題的最基本的出發(fā)點，可以說對每道應(yīng)用題我們都要考慮在記數(shù)的時候進行分類或分步處理。例1．n個人參加某項資格考試，能否通過，有多少種可能的結(jié)果？解法1：用分類計數(shù)的原理：沒有人通過，有種結(jié)果；1個人通過，有種結(jié)果，……；n個人通過，有種結(jié)果。所以一共有種可能的結(jié)果。解法2：用分步計數(shù)的原理：第一個人有通過與不通過兩種可能，第二個人也是這樣，……，第n個人也是這樣。所以一共有種可能的結(jié)果。2．排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān)。3．復(fù)雜的排列問題常常通過試驗、畫“樹圖”、“框圖”等手段使問題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結(jié)果的正確性難于檢驗，因此常常需要用不同的方法求解來獲得檢驗。4．按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)性進行分步是處理排列組合問題的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制詞的意義。5．處理排列、組合綜合問題，一般思想是先選元素（組合），后排列，按元素的性質(zhì)進行“分類”和按事件的過程“分步”，始終是處理排列、組合問題的基本原理和方法，通過解題訓(xùn)練要注意積累和掌握分類和分步的基本技能，保證每步獨立，達到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。6．在解決排列組合綜合問題時，必須深刻理解排列組合的概念，能熟練地對問題進行分類，牢記排列數(shù)與組合數(shù)公式與組合數(shù)性質(zhì)，容易產(chǎn)生的錯誤是重復(fù)和遺漏計數(shù)。總之，解決排列組合問題的基本規(guī)律，即：分類相加，分步相乘，排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；正難則反，間接排除等。其次，我們在抓住問題的本質(zhì)特征和規(guī)律，靈活運用基本原理和公式進行分析解答的同時，還要注意講究一些解題策略和方法技巧，使一些看似復(fù)雜的問題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。一．特殊元素（位置）的“優(yōu)先安排法”：對于特殊元素（位置）的排列組合問題，一般先考慮特殊，再考慮其他。例1．用0，2，3，4，5，五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）。A．24個B.30個C.40個D.60個[分析]由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因為0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：1）0排末尾時，有A42個，2）0不排在末尾時，則有C21A31A31個，由分數(shù)計數(shù)原理，共有偶數(shù)A42+C21A解法一：(元素優(yōu)先)分兩類：第一類，含0，0在個位有A42種，0在十位有A21·A31種；第二類，不含0，有A21·A32種。故共有(A42+A21·A31)+A32·A21=30。注：在考慮每一類時，又要優(yōu)先考慮個位。解法二：(位置優(yōu)先)分兩類：第一類，0在個位有A42種；第二類，0不在個位，先從兩個偶數(shù)中選一個放個位，再選一個放百位，最后考慮十位，有A21·A31·A31種。故共有A42+A21·A31·A31=30。對于含有限定條件的排列組合應(yīng)用題，可以考慮優(yōu)先安排特殊位置，然后再考慮其他位置的安排。例2．(1995年上海)1名老師和4名獲獎學(xué)生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法（）種．解：先考慮特殊元素（老師）的排法，因老師不排在兩端，故可在中間三個位置上任選一個位置，有C31種，而其余學(xué)生的排法有A44種，所以共有C31·A44＝72種不同的排法.例3．（2000年全國）乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名隊員參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有（）種.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力隊員，有A33種排法，而其余7名隊員選出2名安排在第二、四位置，有A72種排法，所以不同的出場安排共有A33·A72＝252種.特殊優(yōu)先，一般在后對于問題中的特殊元素、特殊位置要優(yōu)先安排。在操作時，針對實際問題，有時“元素優(yōu)先”，有時“位置優(yōu)先”。二．總體淘汰法：對于含否定的問題，還可以從總體中把不合要求的除去。如例1中，也可用此法解答:五個數(shù)字組成三位數(shù)的全排列有A53個，排好后發(fā)現(xiàn)0不能排首位，而且數(shù)字3，5也不能排末位，這兩種排法要排除，故有A53--3A42+C21A31=30個偶數(shù)。在直接法考慮比較難，或分類不清或多種時，可考慮用“排除法”，解決幾何問題必須注意幾何圖形本身對其構(gòu)成元素的限制。例6.(1996年全國)正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形共有多少個.解：從7個點中取3個點的取法有種，但其中正六邊形的對角線所含的中心和頂點三點共線不能組成三角形，有3條，所以滿足條件的三角形共有－3＝32個.三．合理分類與準確分步含有約束條件的排列組合問題，按元素的性質(zhì)進行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。四．相鄰問題用捆綁法：在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆綁法．例7．有8本不同的書；其中數(shù)學(xué)書3本，外語書2本，其它學(xué)科書3本．若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學(xué)書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有()種．(結(jié)果用數(shù)值表示)解：把3本數(shù)學(xué)書“捆綁”在一起看成一本大書，2本外語書也“捆綁”在一起看成一本大書，與其它3本書一起看作5個元素，共有A55種排法；又3本數(shù)學(xué)書有A33種排法，2本外語書有A22種排法；根據(jù)分步計數(shù)原理共有排法A55A33A22=1440(種).注：運用捆綁法解決排列組合問題時，一定要注意“捆綁”起來的大元素內(nèi)部的順序問題．例10．

5個男生3個女生排成一列，要求女生排一起，共有幾種排法？解：先把3個女生捆綁為一個整體再與其他5個男生全排列。同時，3個女生自身也應(yīng)全排列。由乘法原理共有A66·A33種。五．不相鄰問題用“插空法”：不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開．解決此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法．例13．排一張有8個節(jié)目的演出表，其中有3個小品，既不能排在第一個，也不能有兩個小品排在一起，有幾種排法？解：先排5個不是小品的節(jié)目，有種排法，它們之間以及最后一個節(jié)目之后一共有6個空隙，將3個小品插入進去，有種排法，所以一共有=7200種排法。注：捆綁法與插入法一般適用于有如上述限制條件的排列問題。例14．

5個男生3個女生排成一列，要求女生不相鄰且不可排兩頭，共有幾種排法？解：先排無限制條件的男生，女生插在5個男生之間的4個空隙，由乘法原理共有A55A43種。注意：①必須分清“誰插入誰”的問題。要先排無限制條件的元素，再插入必須間隔的元素；②數(shù)清可插的位置數(shù)；③插入時是以組合形式插入還是以排列形式插入要把握準。六．順序固定用“除法”：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。例16．6個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲乙丙”順序排的排隊方法有多少種？分析：不考慮附加條件，排隊方法有A66種，而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A66÷A33=120種。(或A63種)例17．4個男生和3個女生，高矮不相等，現(xiàn)在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法。解：先在7個位置中任取4個給男生，有A74種排法，余下的3個位置給女生，只有一種排法，故有A74種排法。(也可以是A77÷A33種)元素定序，先排后除或選位不排或先定后插對于某些元素的順序固定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對其它元素進行排列。也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。例18．

5人參加百米跑，若無同時到達終點的情況，則甲比乙先到有幾種情況？解法一：先5人全排有A55種，由于全排中有甲、乙的全排種數(shù)A22，而這里只有1種是符合要求的，故要除以定序元素的全排A22種，所以有A55/A22=60種。解法二：先在5個位置中選2個位置放定序元素(甲、乙)有C52種，再排列其它3人有A33，由乘法原理得共有C52A33=60種。解法三：先固定甲、乙，再插入另三個中的第一人有3種方法，接著插入第二人有4種方法，最后插入第三人有5種方法。由乘法原理得共有3×4×5=60種。七．分排問題用“直排法”：把幾個元素排成若干排的問題，可采用統(tǒng)一排成一排的排法來處理。例19．7個人坐兩排座位，第一排3個人，第二排坐4個人，則不同的坐法有多少種？分析：7個人可以在前兩排隨意就坐，再無其它條件,故兩排可看作一排來處理，不同的坐法共有A77種。八．逐個試驗法：題中附加條件增多，直接解決困難時，用試驗逐步尋找規(guī)律。例20.將數(shù)字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的方格中，每方格填1個，方格標號與所填數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（）A．6B.9C.11D.23解：第一方格內(nèi)可填2或3或4，如第一填2，則第二方格可填1或3或4，若第二方格內(nèi)填1，則后兩方格只有一種方法；若第二方格填3或4，后兩方格也只有一種填法。一共有9種填法，故選B九、構(gòu)造模型“隔板法”對于較復(fù)雜的排列問題，可通過設(shè)計另一情景，構(gòu)造一個隔板模型來解決問題。例10．把10本相同的書發(fā)給編號為1、2、3的三個學(xué)生閱覽室，每個閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號數(shù)，試求不同分法的種數(shù)。請用盡可能多的方法求解，并思考這些方法是否適合更一般的情況？本題考查組合問題。解：先讓2、3號閱覽室依次分得1本書、2本書；再對余下的7本書進行分配，保證每個閱覽室至少得一本書，這相當(dāng)于在7本相同書之間的6個“空檔”內(nèi)插入兩個相同“I”（一般可視為“隔板”）共有種插法，即有15種分法。例22．20個相同的球分給3個人，允許有人可以不取，但必須分完，有多少種分法？解：將20個球排成一排，一共有21個空隙，將兩個隔板插入這些空隙中（兩個隔板可以插在同一空隙中），規(guī)定由隔板分成的左、中、右三部分球分別分給3個人，則每一種隔法對應(yīng)了一種分法，每一種分法對應(yīng)了一種隔法，于是分法的總數(shù)為種方法。注：本題可轉(zhuǎn)化成求方程的非負整數(shù)解的個數(shù)。相同元素進盒，用檔板分隔例23．10張參觀公園的門票分給5個班，每班至少1張，有幾種選法？解：這里只是票數(shù)而已，與順序無關(guān)，故可把10張票看成10個相同的小球放入5個不同的盒內(nèi)，每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中9個間隔中選4個位置插入4塊“檔板”分成5格(構(gòu)成5個盒子)有C94種方法。注：檔板分隔模型專門用來解答同種元素的分配問題。十.正難則反——排除法對于含“至多”或“至少”的排列組合問題，若直接解答多需進行復(fù)雜討論，可以考慮“總體去雜”，即將總體中不符合條件的排列或組合刪除掉，從而計算出符合條件的排列組合數(shù)的方法．例24．從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要甲型與乙型電視機各一臺，則不同的取法共有()種．A．140種B．80種C．70種D．35種解：在被取出的3臺中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合題意，因此符合題意的抽取方法有C93-C43-C53=70(種)，故選C．注：這種方法適用于反面的情況明確且易于計算的習(xí)題．例26．100件產(chǎn)品中有3件是次品，其余都是正品?，F(xiàn)在從中取出5件產(chǎn)品，其中含有次品，有多少種取法？解：從100件產(chǎn)品中取5件產(chǎn)品，有種取法，從不含次品的95件中取出5件產(chǎn)品有種取法，所以符合題意的取法有種。+=21600種排法。十一．逐步探索法：對于情況復(fù)雜，不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的問題需要認真分析，探索出其規(guī)律。例28．從1到100的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個數(shù)，使它們的和大于100，則不同的取法種數(shù)有多少種。解：兩個數(shù)相加中以較小的數(shù)為被加數(shù)，1+100>100，1為被加數(shù)時有1種，2為被加數(shù)有2種，…，49為被加數(shù)的有49種，50為被加數(shù)的有50種，但51為被加數(shù)有49種，52為被加數(shù)有48種，…，99為被捕加數(shù)的只有1種，故不同的取法有（1+2+3+…+50）+（49+48+…+1）=2500種十二．一一對應(yīng)法：例29.在100名選手之間進行單循環(huán)淘汰賽（即一場失敗要退出比賽）最后產(chǎn)生一名冠軍，要比賽幾場？解：要產(chǎn)生一名冠軍，要淘汰冠軍以外的所有選手，即要淘汰99名選手，要淘汰一名就要進行一場，故比賽99場。十三、多元問題——分類討論法對于元素多，選取情況多，可按要求進行分類討論，最后總計。例30．（2003年北京春招）某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（A）A．42B．30C．解：增加的兩個新節(jié)目，可分為相臨與不相臨兩種情況：1.不相臨：共有A62種；2.相臨：共有A22A61種。故不同插法的種數(shù)為：A62+A22A61=42，故選A。例31．（2003年全國高考試題）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？（以數(shù)字作答）解：區(qū)域1與其他四個區(qū)域相鄰，而其他每個區(qū)域都與三個區(qū)域相鄰，因此，可以涂三種或四種顏色。用三種顏色著色有=24種方法,用四種顏色著色有=48種方法,從而共有24+48=72種方法,應(yīng)填72.多類元素組合，分類取出例32．車間有11名工人，其中4名車工，5名鉗工，AB二人能兼做車鉗工。今需調(diào)4名車工和4名鉗工完成某一任務(wù)，問有多少種不同調(diào)法？解：不同的調(diào)法按車工分為如下三類：第一類調(diào)4車工4鉗工；第二類調(diào)3車工4鉗工，從AB中調(diào)1人作車工；第二類調(diào)2車工4鉗工，把AB二人作為車工。故共有C44C74+C43C21C64+C42C注：本題也可按鉗工分類。若按A、B分類，會使問題變得復(fù)雜十四、混合問題——先選后排法對于排列組合的混合應(yīng)用題，可采取先選取元素，后進行排列的策略．例33．（2002年北京高考）12名同學(xué)分別到三個不同的路口進行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有（）A．種B．種C．種D．種解：本試題屬于均分組問題。則12名同學(xué)均分成3組共有種方法,分配到三個不同的路口的不同的分配方案共有：種，故選A。例34．（2003年北京高考試題）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（）A．24種B．18種C．12種D．6種解:先選后排,分步實施.由題意，不同的選法有:C32種,不同的排法有:A31·A22,故不同的種植方法共有A31·C32·A22=12，故應(yīng)選C.排組混合，先選后排對于排列與組合的混合問題，宜先用組合選取元素，再進行排列。例35．(95年全國)4個不同的小球放入編號為1、2、3、4的四個盒內(nèi)，則恰有一個空盒的放法有幾種？解：由題意，必有一個盒內(nèi)有2個球，同一盒內(nèi)的球是組合，不同的球放入不同的盒子是排列。因此，有C42A43=144種放法。練習(xí)2

由數(shù)字1，2，3，4，5，6，7組成有3個奇數(shù)字，2個偶數(shù)字的五位數(shù)，數(shù)字不重復(fù)的有多少個？答案：有C43C32A十五.機會均等法例36．10個人排成一隊，其中甲一定要在乙的左邊，丙一定要在乙的右邊，一共有多少種排法？解：甲、乙、丙三人排列一共有6種排法，在這6種排法中各種排列順序在10個人的所有排列中出現(xiàn)的機會是均等的，因此符合題設(shè)條件的排法種數(shù)為。例37．用1，4，5，四個數(shù)字組成四位數(shù)，所有這些四位數(shù)中的數(shù)字的總和為288，求。解：若不為0，在每一個數(shù)位上1，4，5，，出現(xiàn)的機會是均等的。由于一共可以得到24個四位數(shù)，所以每一個數(shù)字在每一個數(shù)位上出現(xiàn)6次，于是得到：，解得。若為0，無解。十六.轉(zhuǎn)化法例38．一個樓梯共10級臺階，每步走1級或2級，8步走完，一共有多少種走法？解：10級臺階，要求8步走完，并且每步只能走一級或2級。顯然，必須有2步中每步走2級，6步中每步走一級。記每次走1級臺階為A，記每次走2級臺階為B，則原問題就相當(dāng)于在8個格子中選2個填寫B(tài)。其余的填寫A，這是一個組合問題，所以一共有種走法。例39．動點從（0，0）沿水平或豎直方向運動到達（6，8），要使行駛的路程最小，有多少種走法？解：動點只能向上或向右運動才能使路程最小而且最小的路程為14，把動點運動1個單位看成是1步，則動點走了14步，于是問題就轉(zhuǎn)化為在14個格子中填寫6個“上”和8個“右”，這也是一個組合的問題，于是得到一共有種走法。十七、“小團體”排列，先“團體”后整體對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團體”時，可先按制約條件“組團”并視為一個元素再與其它元素排列。例40．

四名男歌手與兩名女歌手聯(lián)合舉行一場演唱會，演出的出場順序要求兩名女歌手之間有兩名男歌手，則出場方案有幾種？解：先從四名男歌手中選2人排入兩女歌手之間進行“組團”有A42A22種，把這個“女男男女”小團體視為1人再與其余2男進行排列有A33種，由乘法原理，共有A42A22A練習(xí)7

6人站成一排，其中一小孩要站在爸媽之間的站法有多少種？答案：A22·A44十八、不同元素進盒，先分堆再排列對于不同的元素放入幾個不同的盒內(nèi)，當(dāng)有的盒內(nèi)有不小于2個元素時，不可分批進入，必須先分堆再排入。例41．

5個老師分配到3個班搞活動，每班至少一個，有幾種不同的分法？解：先把5位老師分3堆，有兩類：3、1、1分布有C53種和1、2、2分布有C51C42C22/A22種，再排列到3個班里有A33種，故共有(C53+C51C注意：不同的老師不可分批進入同一個班，須一次到位(否則有重復(fù)計數(shù))。即“同一盒內(nèi)的元素必須一次進入”。練習(xí)8

有6名同學(xué)，求下列情況下的分配方法數(shù)：分給數(shù)學(xué)組3人，物理組2人，化學(xué)組1人；分給數(shù)學(xué)組2人，物理組2人，化學(xué)組2人；③分給數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)這三個組，其中一組3人，一組2人，一組1人；④平均分成三組進行排球訓(xùn)練。答案：①C63C32C11；②C62C42C22；③C63C32C11·A33；④十九、兩類元素的排列，用組合選位法例42

．10級樓梯，要求7步走完，每步可跨一級，也可跨兩級，問有幾種不同的跨法？解：由題意知，有4步跨單級，3步跨兩級，所以只要在7步中任意選3步跨兩級即可。故有C73種跨法。注意：兩類元素的排列問題涉及面很廣，應(yīng)予重視。練習(xí)10

3面紅旗2面黃旗，全部升上旗桿作信號，可打出幾種不同的信號？答案：C52例43．

沿圖中的網(wǎng)格線從頂點A到頂點B，最短的路線有幾條？解：每一種最短走法，都要走三段“|”線和四段“—”線，這是兩類元素不分順序的排列問題。故有C74或C73種走法。例44．從5個班中選10人組成?；@球隊(無任何要求)，有幾種選法？解：這個問題與例12有區(qū)別，雖仍可看成4塊“檔板”將10個球分成5格(構(gòu)成5個盒子)，是球與檔板兩類元素不分順序的排列問題。但某些盒子中可能沒有球，故4塊“檔板”與10個球一樣也要參與排成一列而占位置，故有C144種選法。練習(xí)11

(a+b+c+d)10的展開式有幾項？提示：因為每一項都是由a,b,c,d中的一個或多個相乘而得到的10次式，所以可以看成是10個球與3塊檔板這兩類元素不分順序的排列，故共有C133項。注意：怎樣把問題等價轉(zhuǎn)化為“兩類元素的排列”問題是解題的關(guān)鍵。二十、個數(shù)不少于盒子編號數(shù)，先填滿再分隔例45．

15個相同的球放入編號為1、2、3的盒子內(nèi)，盒內(nèi)球數(shù)不少于編號數(shù)，有幾種不同的放法？解：先用6個球按編號數(shù)“填滿”各盒(符合起碼要求),再把9個球放入3個盒內(nèi)即可,可用2塊檔板與9個球一起排列(即為兩類元素的排列問題),有C112種?？傊?，排列、組合應(yīng)用題的解題思路可總結(jié)為：排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類為加，分步為乘。具體說，解排列組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑：（1）以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素。（2）以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置。（3）先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求的排列組合數(shù)。應(yīng)該指出的是，以上介紹的各種方法是解決一般排列組合問題常用方法，并非絕對的。數(shù)學(xué)是一門非常靈活的課程，同一問題有時會有多種解法，這時，要認真思考和分析，靈活選擇最佳方法．還有像多元問題“分類法”、環(huán)排問題“線排法”、“等概率法”等在此不贅述了。排列與組合配合練習(xí)一.填空題:(用直接填空法解下列排列組合問題)1.7個人并排站成一排(1)如果甲必須站在中間,有__________________種排法.(2)如果甲、乙兩人必須站在兩端,有_____________________種排法.2.用0,1,2,3,4,5,可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)_________________個.用集團法若千元素要相鄰時,或要按順序3.四男三女排成一排,(1)三個女的要相鄰,有________種排法;(2)女同學(xué)必須按從高到矮的順序(可不相鄰)有___________種.用插空位的方法若千元素互不相鄰時.4.四男三女排成一排,(1)女同學(xué)互不相鄰,有____________種排法.(2)男同學(xué)互不相鄰,女同學(xué)也互不相鄰,有____________種排法.用間接法.5.8人排成一排,其中甲、乙兩人不排在一起,有______________________種排法.6.平面內(nèi)有8個點,其中有4個點共線,另外還有三點共線,此外再無三點共線.則(1)過這8個點中的任何兩點可和__________條直線.(2)由這8個點可以組成__________個不同的三角形.分組分配問題:7.18名同學(xué),(1)平