北師大版七年級下冊知識點梳理及典型例題

第一章整式一、整式的有關概念1、單項式:數(shù)與字母乘積，這樣的代數(shù)式叫單項式。單獨一個數(shù)或字母也是單項式。2、單項式的系數(shù):單項式中的數(shù)字因數(shù)。3、單項式的次數(shù)：單項式中所有的字母的指數(shù)和。4、多項式：幾個單項式的和叫多項式。5、多項式的項及次數(shù)：組成多項式中的單項式叫多項式的項，多項式中次數(shù)最高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù)。6、整式：單項式與多項式統(tǒng)稱整式。（分母含有字母的代數(shù)式不是整式）練習一：（1）指出下列單項式的系數(shù)與指數(shù)各是多少。（2）指出下列多項式的次數(shù)及項。二、整式的運算（一）整式的加減法：基本步驟：去括號，合并同類項。（二）整式的乘法1、同底數(shù)的冪相乘法則：同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。數(shù)學符號表示：練習二：判斷下列各式是否正確。2、冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。數(shù)學符號表示：練習三：判斷下列各式是否正確。3、積的乘方法則：積的乘方，先把積中各因式分別乘方，再把所得的冪相乘。（即等于積中各因式乘方的積。）符號表示：練習四：計算下列各式。4、同底數(shù)的冪相除法則：同底數(shù)的冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。數(shù)學符號表示：特別地：練習五：（1）判斷正誤（2）計算（3）用分數(shù)或者小數(shù)表示下列各數(shù)5、單項式乘以單項式法則：單項式乘以單項式，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余的字母則連同它的指數(shù)不變，作為積的一個因式。練習六：計算下列各式。6、單項式乘以多項式法則：單項式乘以多項式，就是根據(jù)分配律用單項式的去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。7、多項式乘以多項式法則：多項式乘以多項式，先用一個多項式的每一項去乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。練習七：（1）計算下列各式。（2）計算下圖中陰影部分的面積8、平方差公式法則：兩數(shù)的各乘以這兩數(shù)的差，等于這兩數(shù)的平方差。數(shù)學符號表示：9、完全平方公式法則：兩數(shù)和（或差）的平方，等于這兩數(shù)的平方和再加上（或減去）這兩數(shù)積的2倍。數(shù)學符號表示：練習八：（1）判斷下列式子是否正確，并改正（2）計算下列式。 （二）整式的除法1、單項式除以單項式法則：單項式除以單項式，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相除后，作為商的一個因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式。2、多項式除以單項式法則：多項式除以單項式，就是多項式的每一項去除單項式，再把所得的商相加。練習九：計算下列各題。三、綜合提升第二章平行線與相交線考點分析：本章的內(nèi)容考題涉及到填空選擇，說理題會有一道！但不難，會結合第五章的內(nèi)容考核；分值10—15分余角、補角、對頂角探索直線平行的條件余角、補角、對頂角探索直線平行的條件探索直線平行的特征作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角相交線與平行線相交線平行線尺規(guī)作圖同位角內(nèi)錯角同旁內(nèi)角同位角內(nèi)錯角同旁內(nèi)角二、知識梳理：（一）角的大小關系：余角、補角、對頂角的定義和性質(zhì)：1．余角的定義：如果兩個角的和是直角，那么稱這兩個角互為余角．2．補角的定義：如果兩個角的和是平角，那么稱這兩個角互為補角．3．對頂角的定義：如果兩個角有公共頂點，并且它們的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角．4．互為余角的有關性質(zhì)：①∠1＋∠2=90°，則∠1、∠2互余．反過來，若∠1，∠2互余．則∠1+∠2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3=90○，則∠2=∠3．5．互為補角的有關性質(zhì)：①若∠A+∠B=180○則∠A、∠B互補，反過來，若∠A、∠B互補，則∠A+∠B＝180○．②同角或等角的補角相等．如果∠A＋∠C=180○，∠A+∠B=180°，則∠B=∠C．6．對頂角的性質(zhì)：對頂角相等．（二）兩直線平行的判別和性質(zhì)：1．同一平面內(nèi)兩條直線的位置關系是：相交或平行．2．“三線八角”的識別：三線八角指的是兩條直線被第三條直線所截而成的八個角．正確認識這八個角要抓?。和唤俏恢孟嗤?，即“同旁”和“同規(guī)”；內(nèi)錯角要抓住“內(nèi)部，兩旁”；同旁內(nèi)角要抓住“內(nèi)部、同旁”．3．平行線的判別：（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行線．（2）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么．這兩條直線互相平行．（3）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。（4）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等．那么這兩條直線平行。（5）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行．備注：其中（3）、（4）、（5）這三種方法都是由角的數(shù)量關系（相等或互補）來確定直線的位置關系（平行）的，因此能否找到兩直線平行的條件，關鍵是能否正確地找到或識別出同位角，內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角．4．平行線的性質(zhì)：（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等。（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。5．兩個幾何中最基本的尺規(guī)作圖：作一條線段等于已知線段和作一個角等于已知角。bbanm23145三．基礎練習1、觀察右圖并填空：(1)∠1與是同位角;(2)∠5與是同旁內(nèi)角;(3)∠1與是內(nèi)錯角;aablmn12342、當圖中各角滿足下列條件時,你能指出哪兩條直線平行?(1)∠1=∠4;(2)∠2=∠4;(3)∠1+∠3=180°;aabcd12343.如圖：∠1=100°∠2=80°，∠3=105°則∠4=_______4.兩條直線被第三條直線所截，則（）⌒⌒⌒⌒⌒⌒ABCD1432C內(nèi)錯角相等D以上都不對5.如圖,若∠3=∠4，則∥；若AB∥CD,則∠=∠。圖1三、典型例題分析：圖1【例1】已知：∠A=30○，則∠A的補角是________度．解：150○點撥：此題考查了互為補角的性質(zhì)．【例2】如圖l，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB于點O，OF平分∠AOE，∠1＝15○30’，則下列結論中不正確的是（）圖2A．∠2=45○B(yǎng)．∠1=∠3圖2C．∠AOD與∠1互為補角D．∠1的余角等于75○30′解：D點撥：此題考查了互為余角，互為補角和對頂角之間的綜合運用知識．【例3】如圖2，直線a∥b，則∠ACB＝________解：78○點撥：過點C作CD平行于a，因為a∥b，所以CD∥b．則∠ACD＝28○，∠DCB=50○．所以∠ACB＝78○．【例4】如圖3，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點E、F，EG平分圖3∠BEF，交CD于點G，∠1=50○求，∠2的度數(shù)．圖3解：65○點撥：由AB∥CD，得∠BEF＝180○－∠1=130○，∠BEG=∠2．又因為EG平分∠BEF，所以∠2=∠BEG=EQ\F(1,2)∠BEF=65°（根據(jù)平行線的性質(zhì)）【例5】一學員在廣場上練習駕駛汽車，若其兩次拐彎后仍沿原方向前進，則兩次拐彎的角度可能是（）A．第一次向左拐30○，第二次向右拐30○B(yǎng)．第一次向右拐30○，第二次向左拐130○C．第一次向右拐50○，第二次向右拐130○D．第一次向左拐50○．第二次向左拐130○解：A點撥：本題創(chuàng)設了一個真實的問題。要使經(jīng)過兩次拐彎后．汽車行駛的方向與原來的方向相同．就得保證原來，現(xiàn)在的行駛方向是兩條平行線且方向一致．本題旨在考查平行線的判定與空間觀念。解題時可根據(jù)選項中兩次拐彎的角度畫出汽車行駛的方向，再判定其是否相同，應選A．【例6】如圖4，已知BD⊥AC，EF⊥AC，D、F為垂足，G是AB上一點，且∠l=∠2．求證：∠AGD=∠ABC．圖4證明：因為BD⊥AC，EF⊥AC．所以BD∥EF．所以∠3=∠1．因為∠1=∠2，所以∠2=∠3．所以GD∥BC．所以∠AGD=∠ABC．圖4點撥：審題時，根據(jù)分析，只看相關線段組成的圖形而不考慮其他部分，這樣就能避免圖形的其他部分干擾思路． 第三章生活中的數(shù)據(jù)考點分析：本章內(nèi)容以填空選擇為主，很少出現(xiàn)在大題；占5-10分值；一．知識網(wǎng)絡二、知識點過關（1）百萬分之一：對較小數(shù)據(jù)的感受，用科學計數(shù)法表示絕對值較小數(shù)及單位的換算如：1微米=米，1納米=米，4納米=微米=毫米=厘米=米，200千米的百萬分之一是米，用科學計數(shù)法表示為：_______；0.00000368=.（2）近似數(shù)和有效數(shù)字：一般地，通過測量的結果都是近似的.對于一個近似數(shù)從邊第個不是的數(shù)字起，到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字，如：0.03296精確到萬分位是，有個有效數(shù)字，它們是.（3）世界新生兒圖：會從給出的信息圖中得到有用信息；會畫生動形象的統(tǒng)計圖。三、典例剖析例1.按括號里的要求用四舍五入法對下列各數(shù)取近似值：(1)－3.19964(精確到千分位)；(2)560340(保留三個有效數(shù)字)；(3)5.306×105(精確到千位).例2.計算機存儲容量的基本單位是字節(jié)，用b表示，計算中一般用Kb（千字節(jié)）或Mb（兆字節(jié)）或Gb（吉字節(jié)）作為存儲容量的計算單位，它們之間的關系為1Kb=210b，1Mb=210Kb，1Gb=210Mb．學校機房服務器的硬盤存儲容量為40Gb，它相當于多少Kb？（結果用科學記數(shù)法表示，并保留三個有效數(shù)字）例3.下表是1999年我國部分城市年平均氣溫統(tǒng)計情況．北京哈爾濱上海重慶西安烏魯木齊13.1℃4.8℃16.6℃18.4℃15.0℃8.0℃（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，制作統(tǒng)計圖表示這六個城市年平均氣溫情況，你的統(tǒng)計圖能畫得形象些嗎？（2）如果要利用面積分別表示這六個城市的年平均氣溫，六個城市所占的面積之比大約是多少？（利用計算器計算）第四章概率考點分析：本章內(nèi)容以填空選擇為主，偶爾出現(xiàn)在大題；占5-15分值；復習要求：會判定三類事件(必然事件、不可能事件、不確定事件)及三類事件發(fā)生可能性的大?。锤怕剩脠D來表示事件發(fā)生可能性的大小。圖示如右圖：即時練習：將下面事件的字母寫在最能代表它的概率的點上。A．投擲硬幣時，得到一個正面。B．在一小時內(nèi)，你步行可以走80千米。C．給你一個色子中，你擲出一個3。D．明天太陽會升起來。（2）理解概率的意義，會計算摸球等一類事件的概率（3）會設計游戲使其滿足某些要求練習一：1、袋中裝有7個除了顏色不同外完全相同的球，其中2個白球，2個紅球，3個黑球，從中任意摸出一球，摸到白球的概率是P（白球）=第2題2、小貓在如圖的地板上自由地走來走去，并停留在某塊方磚上，它最終停留在黑色方磚上的概率是多少？（圖中每一塊方磚除了顏色不同外完全相同）第2題3、請你設計一個游戲，使某一事件的概率為。（提示：可用：轉盤、卡片、摸球等）第五章三角形考點分析：本冊書的考核重點涉及到填空、選擇、說理題；說明兩個三角形全等為必考；大家要好好復習本章哦！占15—20分值。其中結合了軸對稱的性質(zhì)的題目會稍稍有點難度，不過都是分小題來解決的，只要你一問一問來做，相信你是可以拿下的！加油！ABABCD（1）邊上的性質(zhì)：三角形的任意兩邊之和大于第三邊三角形的任意兩邊之差小于第三邊（2）角上的性質(zhì)：三角形三內(nèi)角和等于180度**另外：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，即∠ACD=∠A+∠B練習一：1、下列每組分別是三根小木棒的長度，用它們能擺成三角形嗎？（單位：厘米。填“能”或“不能”)①3，4，5（）②8，7，15（）③13，12，20（）④5，5，11（）2、在△ABC，AB＝5，BC＝9，那么＜AC＜___3、一個三角形的兩邊長分別是3和8，而第三邊長為奇數(shù)，那么第三邊長是______4、已知一個等腰三角形的一邊是3cm，一邊是7cm，這個三角形的周長是_________（第6題）（第7題）5、如上圖，∠1=60°，∠D=20°，則∠A=度6、如上圖，AD⊥BC，∠1=40°，∠2=30°，則∠B=度，∠C=度BCBCEA1、中線：線段AE是三角形BC邊上的中線__________________BCBCD12A線段AD是三角形∠BAC的角平分線.______________ABABCD線段AD是BC邊上的高__________________BCBCEAD_______________直線DE是BC邊上的中垂線2)_________________練習二：1.如圖，在△ABC中,BE是邊AC上的中線。已知AB=4，AC=3，BE=5，則：AE=_______BCDFEABCDFEACBAE第1題第1題第3題第2題第3題第2題2.如圖,CE,CF分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線,則∠ECF的度數(shù)=______度.3.如圖，AD、BF都是△ABC的高線，若∠CAD=30度，則∠CBF=______度。三、三角形全等的判定方法（1）邊邊邊公理（SSS）：三邊對應相等的兩個三角形全等（2）邊角邊公理（SAS）：兩邊及它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（3）角邊角公理（ASA）：兩角及它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（4）角角邊公理（AAS）：兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（5）斜邊、直角邊公理（HL，只適用于直角三角形）斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。DCAB練習三：1如圖,已知AC平分∠BCD,要說明△ABC≌△ADC,DCAB2、如圖AD=BC，要判定△ABC≌△CDA，還需要的條件是，并說明理由。AABCD3、如圖,已知AB=ED,AF=CD,EF=BC,說明∠EFD=∠BCA的理由。BBAFCDE4、能力提升：如圖:AC和DB相交于點O,若AB=DC，AC=DB，則∠B=∠C,請說明理由.AACBOD四、角平分線的性質(zhì)：CACABP如圖，若點P是∠CAB的平分線上一點，并且PB⊥AB，PC⊥AC，則有_____________書寫格式:∵點P是∠CAB的平分線上一點，PB⊥AB，PC⊥AC，∴PC=PBBDEAC練習四：如圖,在△ABC中,AD是△BAC的角平分線，DE是△ABD的高線，∠C=90度。若DE=2，BDEACACOACOBl１、線段垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。幾何表述：∴CA=CB∴CA=CB練習五：如下圖，EF是AB的中垂線，分別延長BE、AE至D，C，使DE=CE，則AD與BC相等嗎?請說明理由。第六章變量之間的關系考點分析：本章的內(nèi)容不會太難，以填空選擇考核為主，偶有實際問題的解決（即應用題）！占5—10分值；復習要求：能根據(jù)實際的例子理解自變量和因變量之間的定義。熟悉兩個變量之間關系的表示方法:表格法關系式法方法點撥：1、等號左邊是因變量。等號的右邊是含自變量的式子；2、已知自變量求因變量相當于代數(shù)求值；已知因變量求自變量相當于解方程圖像法速度時間eq\o\ac(○速度時間eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)Ｏ路程時間eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)Ｏ路程時間eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)汽車的汽車的“速度-時間”圖像eq\o\ac(○,1)表示汽車由靜止均加速運動eq\o\ac(○,2)表示汽車保持一定的速度運動eq\o\ac(○,3)表示汽車均減速運動，最后停止運動！汽車的“路程-時間”圖像eq\o\ac(○,1)表示汽車由靜止均速向前走eq\o\ac(○,2)表示汽車停止運動eq\o\ac(○,3)表示汽車均速往回走，回到起點。練習一：1.汽車速度與行駛時間之間的關系可以用圖象來表示，下圖中A、B、C、D四個圖象，可以分別用一句話來描述：（1）在某段時間里