遼寧省錦州市某校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次考試數(shù)學(xué)試題

2024高三第二次考試數(shù)學(xué)試題考試時間：120分鐘注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．，，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．四張連號的電影票，小李從中隨機抽出了兩張，則這兩張票座位恰好相鄰的概率是（）A． B． C． D．4．已知定義在R上函數(shù)滿足，當時，，則（）A．0 B．1 C．－1 D．20195．已知，，x，a，b，y成等比數(shù)列，x，c，d，y成等差數(shù)列，則的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．46．命題“，”為假命題，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若存在，使不等式成立，則實數(shù)m的最小值為（）A．－1 B．0 C．1 D．8．設(shè)，，，，，則（）A． B． C． D．二、多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9．下列說法不正確的是（）A．不等式的解集為B．已知p：，q：，則p是q的充分不必要條件C．若，則函數(shù)的最小值為2D．當時，不等式恒成立，則k的取值范圍是10．下列各式中值為1的是（）A． B．C． D．11．設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則下列關(guān)于的說法正確的有（）A．的一個周期為4 B．點是函數(shù)的一個對稱中心C．時， D．12．已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A．函數(shù)在時，取得極小值－1B．對于，恒成立C．若，則D．若，對于恒成立，則a的最大值為，b的最小值為1第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．曲線在點處的切線與直線垂直，則______．14．已知，是函數(shù)的兩個零點，則______．15．“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍天也是幸?！?，隨著經(jīng)濟的發(fā)展和社會的進步，人們的環(huán)境保護意識日益增強，錦州某家化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會減少20%，錦州環(huán)保部門為了保護好錦州優(yōu)越的生態(tài)環(huán)境，要求廢氣中該污染物的含量不能超過，若要使該工廠的廢氣達標排放，那么該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為______（參考數(shù)據(jù)：，）16．函數(shù)、分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，且，若存在，使不等式成立，則實數(shù)m的最小值為______．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17．（滿分10分）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．18．（滿分12分）已知，，求：（1）的值；（2）的值．19．（滿分12分）新疆地區(qū)的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆長絨棉，世界頂級，做衣被，暖和、透氣、舒適，長年供不應(yīng)求．評價棉花質(zhì)量的重要指標之一就是棉花的纖維長度，新疆農(nóng)科所在土壤環(huán)境不同的A、B兩塊實驗地分別種植某品種的棉花，為了評價該品種的棉花質(zhì)量，在棉花成熟后，分別從A、B兩地的棉花中各隨機抽取40根棉花纖維進行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：（記纖維長度不低于300mm的為“長纖維”，其余為“短纖維”）．纖維長度A地（根數(shù)）492178B地（根數(shù)）2122015（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)，填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.01的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”（的觀測值精確到0.01）．附：A地B地總計長纖維短纖維總計臨界值表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）現(xiàn)從抽取的80根棉花纖維中“短纖維”里任意抽取2根做進一步研究，記B地“短纖維”的根數(shù)為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)上述B地關(guān)于“長纖維”與“短纖維”的調(diào)查，將B地“長纖維”的頻率視為概率，現(xiàn)從B地棉花（大量的棉花）中任意抽取3根棉花，記抽取的“長纖維”的根數(shù)為X，求X的方差．20．（滿分12分）在正項數(shù)列中，，，．（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，，且，設(shè)數(shù)列的前n項和為，證明：．21．（滿分12分）法國數(shù)學(xué)家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包，該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是1000g，上下浮動不超過50g，這句話用數(shù)學(xué)語言來表達就是：每個面包的質(zhì)量服從期望為1000g，標準差為50g的正態(tài)分布．（1）已知如下結(jié)論：若，從X的取值中隨機抽取個數(shù)據(jù)，記這k個數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機變量．利用該結(jié)論解決下面問題．①假設(shè)面包師的說法是真實的，隨機購買25個面包，記隨機購買25個面包的平均值為Y，求；②龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數(shù)據(jù)都落在上并經(jīng)計算25個面包質(zhì)量的平均值為978.72g．龐加萊通過分析舉報了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報該面包師的理由；（2）假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黑色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黑色面包有3個．現(xiàn)隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包．求取出黑色面包個數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：①隨機變量服從正態(tài)分布，則，，②通常把發(fā)生概率小于0.05的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生22．（滿分12分）（1）試比較與的大?。?）若函數(shù)的兩個零點分別為，，①求m的取值范圍；②證明：．2024高三第二次考試數(shù)學(xué)試題參考答案一、單選題1．【詳解】對于集合，；對于集合，，所以.故選：A2．【詳解】,則，即z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第三象限，故選：C3．【詳解】四張電影票編號為1，2，3，4，任取2張的基本事件有：12，13，14，23，24，34，共6種，其中相鄰的是12，23，34共3種，所求概率為．故選：A.4．【詳解】由，得，故是以為周期的函數(shù)，則，又當時，，則，所以.故選：C.5．【詳解】，，，成等比數(shù)列，故，，，，成等差數(shù)列，故，因為，，所以，當且僅當時等號成立，故的最小值是4.故選：D6．【詳解】若“，使得”為假命題，可得當時，恒成立只需又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故選：B7．【詳解】由題設(shè)，，即在R上為奇函數(shù)；在上，故在上遞增，易知：在R上遞增，又，則，即上；令，則，故上，遞增；上，遞減，而，，此時；綜上，的最小值為.故選：A8．【詳解】，而，令，則，，∴時，遞減；而，，∴上，即遞減，則在上，∴由，則，即.綜上，.故選：D二、多選題9．【詳解】對A：由可得，所以或，所以A錯誤.對B：由可得，所以，所以是的充分不必要條件，所以B正確.對C：由，當且僅當時取等號，但是，所以，所以C錯誤.對D：若當時，不等式恒成立，①當時，不等式為恒成立，滿足題意；②當時，只要，解得；所以不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍為，D錯.選：ACD10．【詳解】A.，故錯誤；B.，故正確；C.，故正確；D.因為，所以，所以，故錯誤.選：BC11．【詳解】為奇函數(shù)，，且，函數(shù)關(guān)于點，偶函數(shù)，，函數(shù)關(guān)于直線對稱，，即，，令，則，，，故的一個周期為4，故A正確；則直線是函數(shù)的一個對稱軸，故B不正確；當時，，，，又，，解得，，，當時，，故C不正確；，故D正確.故選：AD.12【詳解】，∴上，即上遞減，則，∴A錯誤，B正確；令，則在上，即遞減，∴時，有，C正確；，則等價于，等價于，令，則，，∴當時，，則遞增，故；當時，，則遞減，故；當時，存在使，∴此時，上，則遞增，；上，則遞減，∴要使在上恒成立，則，得.綜上，時，上恒成立，時上恒成立，∴若，對于恒成立，則的最大值為，的最小值為1，正確.故選：BCD三、填空題13．【詳解】在處的切線與直線垂直，，又，，解得：.答案為：.14.【詳解】因為是函數(shù)的兩個零點，可得，由，可得，即，解得或，因為，所以，即，所以15.【詳解】設(shè)該污染物排放前需要過濾的次數(shù)為，則由題意得，即，所以，，，所以，因為，，所以，所以，因為，所以的最小值為8，16.【詳解】∵，①∴，又函數(shù)、分別是定義在上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，∴，②由①②得，，不等式為，（*），設(shè)，這是一個增函數(shù)，當時，，（*）變?yōu)?，，若存在，使不等式成立，則為：存在，使成立，由于，當且僅當，即時等號成立，∴的最小值是．∴．四、解答題17．（滿分10分）【詳解】（1）解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知得------2分解得，------4分所以數(shù)列的通項公式為；------5分（2）解：由（1）得，------6分所以------8分------10分（滿分12分）【詳解】（1）由，因為，------2分所以，------4分------6分（2）∵，，∴，

------7分

∴，------9分，------11分∴．------12分（滿分12分）【詳解】（1）根據(jù)題中信息可得如下列聯(lián)表：地地總計長纖維短纖維總計，------4分注意：填表1分，計算結(jié)果準確值2分，保留小數(shù)點后三位的結(jié)果1分，共4分因此，在犯錯誤概率不超過的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”；-----5分（2）根棉花纖維中“短纖維”共根，其中，地的“短纖維”共根，所以，隨機變量的可能取值有、、，，------6分，------7分，------8分所以，隨機變量的分布列如下表所示：所以，；------10分（3）從地棉花（大量的棉花）中任意抽取根是“長纖維”的頻率是，所以，，故.------12分（滿分12分）【詳解】（1）解：已知①，則，------1分且②，，得，整理得，------2分∴，，，，由累乘法可得，------4分又，，符合上式，------5分所以數(shù)列的通項公式為.------6分（2）由（1）可知，，因為，所以，------7分則數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，------8分∴，------10分，即，得證.------12分（滿分12分）【詳解】（1）（i）假設(shè)面包師說法是真實的，則每個面包的質(zhì)量由已知結(jié)論可知，------2分由附①數(shù)據(jù)知，------4分（ii），由附②知，事件“”為小概率事件，由題25個面包質(zhì)量的平均值，小概率事件“”發(fā)生所以龐加萊認為面包師的說法不真實，進行了舉報------6分（2）由題意，設(shè)隨機挑選一箱，取出兩個面包，其中黑色面包個數(shù)為，則的取值為0，1，2設(shè)“所取兩個面包來自第箱”，所以------7分設(shè)“所取兩個面包有個黑色面包”，由全概率公式，------8分，------9分，------10分所以黑色面包個數(shù)的分布列為012所以------12分（滿分12分）【詳解】（1）設(shè)，則，