公用設(shè)備工程師-公共基礎(chǔ)-高等數(shù)學(xué)-線性代數(shù)

公用設(shè)備工程師-公共基礎(chǔ)-高等數(shù)學(xué)-線性代數(shù)[單選題]1.設(shè)A是m階矩陣，B是n階矩陣，行列式等于()。[2010年真題]A.－｜A｜｜B｜B.｜A｜｜B｜C.（－1）m＋n｜A｜｜B｜D.（－1）mn｜A｜｜B｜正確答案：D參考解析：行列式經(jīng)過m×n次列變換得到行列式即：[單選題]2.設(shè)A、B均為三階方陣，且行列式|A|＝1，|B|＝－2，AT為A的轉(zhuǎn)置矩陣，則行列式|－2ATB－1|＝()。[2018年真題]A.－1B.1C.－4D.4正確答案：D參考解析：因?yàn)锳、B均為三階方陣，計(jì)算得|－2ATB－1|＝（－2）3×|AT|×|B－1|＝（－2）3×1×（－1/2）＝4。[單選題]3.若n階方陣A滿足|A|＝b（b≠0，n≥2），而A*是A的伴隨矩陣，則行列式|A*|等于()。[2019年真題]A.bnB.bn－1C.bn－2D.bn－3正確答案：B參考解析：伴隨矩陣A*＝|A|A－1，則|A*|＝|A|n·|A－1|＝|A|n·|A|－1＝|A|n－1。又|A|＝b，則|A*|＝|A|n－1＝bn－1。[單選題]4.矩陣的逆矩陣A－1是()。[2017年真題]A.B.C.D.正確答案：C參考解析：用矩陣的基本變換求矩陣的逆矩陣，計(jì)算如下則有矩陣A的逆矩陣為[單選題]5.設(shè)則A－1＝()。[2011年真題]A.B.C.D.正確答案：B參考解析：由A·A*＝|A|·E，得A－1＝A*/|A|，其中|A|＝－1；故可得：[單選題]6.設(shè)3階矩陣已知A的伴隨矩陣的秩為1，則a＝()。[2011年真題]A.－2B.－1C.1D.2正確答案：A參考解析：由矩陣與伴隨矩陣秩的關(guān)系式：可知，r（A）＝2。故|A|＝0，得：a＝－2或a＝1。當(dāng)a＝1時(shí)，r（A）＝1。故a＝－2。[單選題]7.若使向量組α1＝（6，t，7）T，α2＝（4，2，2）T，α3＝（4，1，0）T線性相關(guān)，則t等于()。[2016年真題]A.－5B.5C.－2D.2正確答案：B參考解析：α1、α2、α3三個(gè)列向量線性相關(guān)，則由三個(gè)向量組成的行列式對(duì)應(yīng)的值為零，即：解得：t＝5。[單選題]8.設(shè)α1，α2，α3，β是n維向量組，已知α1，α2，β線性相關(guān)，α2，α3，β線性無關(guān)，則下列結(jié)論中正確的是()。[2012年真題]A.β必可用α1，α2線性表示B.α1必可用α2，α3，β線性表示C.α1，α2，α3必線性無關(guān)D.α1，α2，α3必線性相關(guān)正確答案：B參考解析：由α1，α2，β線性相關(guān)知，α1，α2，α3，β線性相關(guān)。再由α2，α3，β線性無關(guān)，α1必可用α2，α3，β線性表示。[單選題]9.已知向量組α1＝（3，2，－5）T，α2＝（3，－1，3）T，α3＝（1，－1/3，1）T，α4＝（6，－2，6）T，則該向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組是()。[2013年真題]A.α2，α4B.α3，α4C.α1，α2D.α2，α3正確答案：C參考解析：可見α1，α2是該向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。[單選題]10.要使齊次線性方程組有非零解，則a應(yīng)滿足()。[2018年真題]A.－2＜a＜1B.a＝1或a＝－2C.a≠－1且a≠－2D.a＞1正確答案：B參考解析：齊次線性方程組的系數(shù)矩陣作初等變換如下要使齊次線性方程組有非零解，則矩陣的秩r＜3，因此得a－1＝0或－（a＋2）（a－1）＝0，計(jì)算得a＝1或a＝－2。【說明】n元齊次線性方程組Ax＝0有非零解的充要條件是r（A）＜n。[單選題]11.設(shè)A為m×n矩陣，則齊次線性方程組Ax＝0有非零解的充分必要條件是()。[2017年真題]A.矩陣A的任意兩個(gè)列向量線性相關(guān)B.矩陣A的任意兩個(gè)列向量線性無關(guān)C.矩陣A的任一列向量是其余列向量的線性組合D.矩陣A必有一個(gè)列向量是其余列向量的線性組合正確答案：D參考解析：線性方程組Ax＝0有非零解?|A|＝0?r（A）＜n，矩陣A的列向量線性相關(guān)，所以矩陣A必有一個(gè)列向量是其余列向量的線性組合。[單選題]12.已知n元非齊次線性方程組Ax＝B，秩r（A）＝n－2，α1，α2，α3為其線性無關(guān)的解向量，k1，k2為任意常數(shù)，則Ax＝B的通解為()。[2014年真題]A.x＝k1（α1－α2）＋k2（α1＋α3）＋α1B.x＝k1（α1－α3）＋k2（α2＋α3）＋α1C.x＝k1（α2－α1）＋k2（α2－α3）＋α1D.x＝k1（α2－α3）＋k2（α1＋α2）＋α1正確答案：C參考解析：n元非齊次線性方程組Ax＝B的通解為Ax＝0的通解加上Ax＝B的一個(gè)特解。因?yàn)閞（A）＝n－2，Ax＝0的解由兩個(gè)線性無關(guān)的向量組成，所以α2－α1，α2－α3是Ax＝0的兩個(gè)線性無關(guān)解。所以Ax＝B的通解為：x＝k1（α2－α1）＋k2（α2－α3）＋α1。[單選題]13.若非齊次線性方程組Ax＝b中，方程的個(gè)數(shù)少于未知量的個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()。[2013年真題]A.Ax＝0僅有零解B.Ax＝0必有非零解C.Ax＝0一定無解D.Ax＝b必有無窮多解正確答案：B參考解析：因非齊次線性方程組未知量個(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù)，可知系數(shù)矩陣各列向量必線性相關(guān)，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組必有非零解。[單選題]14.齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為()。[2011年真題]A.α1＝（1，1，1，0）T，α2＝（－1，－1，1，0）TB.α1＝（2，1，0，1）T，α2＝（－1，－1，1，0）TC.α1＝（1，1，1，0）T，α2＝（－1，0，0，1）TD.α1＝（2，1，0，1）T，α2＝（－2，－1，0，1）T正確答案：C參考解析：簡化齊次線性方程組為：令則α1＝（1，1，1，0）T。令則α2＝（－1，0，0，1）T。故基礎(chǔ)解系為：α1＝（1，1，1，0）T，α2＝（－1，0，0，1）T。[單選題]15.設(shè)λ1＝6，λ2＝λ3＝3為三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值，屬于λ2＝λ3＝3的特征向量為ξ2＝（－1，0，1）T，ξ3＝（1，2，1）T，則屬于λ1＝6的特征向量是()。[2017年真題]A.（1，－1，1）TB.（1，1，1）TC.（0，2，2）TD.（2，2，0）T正確答案：A參考解析：矩陣A為實(shí)對(duì)稱矩陣，由實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，設(shè)屬于λ1＝6的特征向量為（x1，x2，x3）T，（－1，0，1）·（x1，x2，x3）＝0，（1，2，1）·（x1，x2，x3）＝0，解得令x3＝1，解得（x1，x2，x3）T＝（1，－1，1）T。[單選題]16.已知矩陣與相似，則λ等于()。[2013年真題]A.6B.5C.4D.14正確答案：A參考解析：A與B相似，故A與B有相同的特征值，又因?yàn)樘卣髦抵偷扔诰仃嚨嫩E，故1＋4＋5＝λ＋2＋2，故λ＝6。[單選題]17.已知n階可逆矩陣A的特征值為λ0，則矩陣（2A）－1的特征值是()。[2012年真題]A.2/λ0B.λ0/2C.1/（2λ0）D.2λ0正確答案：C參考解析：由矩陣特征值的性質(zhì)，2A的特征值為2λ0，因此（2A）－1的特征值為1/（2λ0）。[單選題]18.設(shè)A是3階矩陣，P＝（α1，α2，α3）是3階可逆矩陣，且若矩陣Q＝（α2，α1，α3），則Q－1AQ()。[2011年真題]A.B.C.D.正確答案：B參考解析：設(shè)可逆矩陣計(jì)算可得：PB＝Q，Q－1＝B－1P－1，其中，因此[單選題]19.要使得二次型f（x1，x2，x3）＝x12＋2tx1x2＋x22－2x1x3＋2x2x3＋2x32為正定的，則t的取值條件是()。[2012年真題]A.－1＜t＜1B.－1＜t＜0C.t＞0D.t＜－1正確答案：B參考解析：該方程對(duì)應(yīng)的二次型的矩陣為：若二次型為正定，其各階順序主子式均大于零，由二階主子式大于零，有1－t2＞0，求得－1＜t＜1。三階主子式也大于零，得－1＜t＜0。[單選題]20.矩陣所對(duì)應(yīng)的二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是()。[2018年真題]A.f＝y(tǒng)12－3y22B.f＝y(tǒng)12－2y22C.f＝y(tǒng)12＋2y22D.f＝y(tǒng)12－y22正確答案：C參考解析：二次型的矩陣則對(duì)應(yīng)的二次型展開式為：f（x1，x2，x3）＝x12＋3x22－2x1x2＝（x1－x2）2＋2x22。令則上式化簡得f＝y(tǒng)12＋2y22。[單選題]21.設(shè)A是3階矩陣，矩陣A的第1行的2倍加到第2行，得矩陣B，則下列選項(xiàng)中成立的是()。A.B的第1行的－2倍加到第2行得AB.B的第1列的－2倍加到第2列得AC.B的第2行的－2倍加到第1行得AD.B的第2列的－2倍加到第1列得A正確答案：A參考解析：設(shè)矩陣則[單選題]22.設(shè)有向量組α1＝（1，－1，2，4），α2＝（0，3，1，2），α3＝（3，0，7，14），α4＝（1，－2，2，0），α5＝（2，1，5，10），則該向量組的極大線性無關(guān)組是()。A.α1，α2，α3B.α1，α2，α4C.α1，α4，α5D.α1，α2，α4，α5正確答案：B參考解析：對(duì)以α1，α2，α3，α4，α5為列向量的矩陣施以初等行變換：由于不同階梯上對(duì)應(yīng)向量組均線性無關(guān)，而含有同一個(gè)階梯上的兩個(gè)及兩個(gè)以上的向量必線性相關(guān)，對(duì)比四個(gè)選項(xiàng)知，B項(xiàng)成立。[單選題]23.設(shè)n維行向量α＝（1/2，0，…，0，1/2），矩陣A＝E－αTα，B＝E＋2αTα，其中E為n階單位矩陣，則AB等于()。A.OB.－EC.ED.E＋αTα正確答案：C參考解析：注意利用ααT＝1/2來簡化計(jì)算。AB＝（E－αTα）（E＋2αTα）＝E＋2αTα－αTα－2αTααTα＝E＋αTα－2αT（ααT）α＝E＋αTα－2·（1/2）αTα＝E。[單選題]24.設(shè)β1，β2是線性方程組Ax＝b的兩個(gè)不同的解，α1、α2是導(dǎo)出組Ax＝0的基礎(chǔ)解系，k1、k2是任意常數(shù)，則Ax＝b的通解是()。A.（β1－β2）/2＋k1α1＋k2（α1－α2）B.α1＋k1（β1－β2）＋k2（α1－α2）C.（β1＋β2）/2＋k1α1＋k2（α1－α2）D.（β1＋β2）/2＋k1α1＋k2（β1－β2）正確答案：C參考解析：非齊次線性方程組Ax＝b的通解由導(dǎo)出組Ax＝0的基礎(chǔ)解系與某一特解構(gòu)成。A項(xiàng)，（β1－β2）/2、α1－α2都是導(dǎo)出組Ax＝0的一個(gè)解，該選項(xiàng)中不包含特解；B項(xiàng)，β1－β2是導(dǎo)出組Ax＝0的一個(gè)解，該選項(xiàng)也不包含特解；C項(xiàng)，（β1＋β2）/2是Ax＝b的特解，α1－α2與α1線性無關(guān)，可作為導(dǎo)出組Ax＝0的基礎(chǔ)解系；D項(xiàng)，包含特解，但β1－β2與α1未必線性無關(guān)，不能作為導(dǎo)出組Ax＝0的基礎(chǔ)解系。[單選題]25.設(shè)A是m×n階矩陣，Ax＝0是非齊次線性方程組Ax＝b所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是()。A.若Ax＝0僅有零解，則Ax＝b有唯一解B.若Ax＝0有非零解，則Ax＝b有無窮多個(gè)解C.若Ax＝b有無窮多個(gè)解，則Ax＝0僅有零解D.若Ax＝b有無窮多個(gè)解，則Ax＝0有非零解正確答案：D參考解析：由解的判定定理知，對(duì)Ax＝b，若有r（A）＝r（）＝r，則Ax＝b一定有解。進(jìn)一步，若r＝n，則Ax＝b有唯一解；若r＜n，則Ax＝b有無窮多解。而對(duì)Ax＝0一定有解，且設(shè)r（A）＝r，則若r＝n，Ax＝0僅有零解；若r＜n，Ax＝0有非零解。因此，若Ax＝b有無窮多解，則必有r（A）＝r（A）＝r＜n，Ax＝0有非零解，所以D項(xiàng)成立。但反過來，若r（A）＝r＝n（或＜n），并不能推導(dǎo)出r（A）＝r（），所以Ax＝b可能無解，更談不上有唯一解或無窮多解。[單選題]26.齊次線性方程組的系數(shù)矩陣記為A。若存在三階矩陣B≠0使得AB＝0，則()。A.λ＝－2且｜B｜＝0B.λ＝－2且｜B｜≠0C.λ＝1且｜B｜＝0D.λ＝1且｜B｜≠0正確答案：C參考解析：因?yàn)锳B＝0，所以r（A）＋r（B）≤3，又A≠0，B≠0，所以1≤r（A）＜3，1≤r（B）＜3，故｜A｜＝0，｜B｜＝0。由｜A｜＝0?（λ－1）2＝0?λ＝1。綜上λ＝1且｜B｜＝0。[單選題]27.設(shè)A是n階矩陣，且Ak＝0（k為正整數(shù)），則()。A.A一定是零矩陣B.A有不為0的特征值C.A的特征值全為0D.A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量正確答案：C參考解析：設(shè)λ是A的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為α，則有Aα＝λα，Akα＝λkα＝0。由α≠0，有λk＝0，即λ＝0，故A的特征值全為0。令則A2＝0。若A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則A可對(duì)角化，即存在可逆矩陣P，使得P－1AP＝0，則必有A＝0，與題意矛盾。[單選題]28.已知二階實(shí)對(duì)稱矩陣A的一個(gè)特征向量為（2，－5）T，并且|A|＜0，則以下選項(xiàng)中為A的特征向量的是()。A.B.C.，k1≠0，k2≠0D.，k1，k2不同時(shí)為零正確答案：D參考解析：設(shè)A的特征值為λ1，λ2，因?yàn)閨A|＜0，所以λ1·λ2＜0，即A有兩個(gè)不同的特征值。又且在D項(xiàng)中，k1與k2不同時(shí)為零。C項(xiàng)，k1與k2都可