概率論 二重積分的計(jì)算(二)課件

3.2二重積分的計(jì)算概率論二重積分的計(jì)算(二)二重積分的計(jì)算（一）在直角坐標(biāo)系中（累次積分）或yxdcX-型Y-型復(fù)習(xí)yxab概率論二重積分的計(jì)算(二)例

計(jì)算其中xyo因此,針對(duì)不同形狀的積分區(qū)域D以及被積函數(shù)的特點(diǎn),選擇不同的坐標(biāo)系來(lái)計(jì)算二重積分是一個(gè)重要的問(wèn)題.3.2二重積分的計(jì)算解概率論二重積分的計(jì)算(二)二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算概率論二重積分的計(jì)算(二)極軸X極點(diǎn)Orxy

如果選取以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸為極軸，原點(diǎn)Ox軸二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算概率論二重積分的計(jì)算(二)用以極點(diǎn)O為中心的一族同心圓,1.利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分

設(shè)過(guò)極點(diǎn)O的射線(xiàn)與積分區(qū)域D的邊界曲線(xiàn)的交點(diǎn)不多于兩點(diǎn)，把區(qū)域D分成n個(gè)小區(qū)域，在極坐標(biāo)系下，以及從極點(diǎn)出發(fā)的一族射線(xiàn),在直角坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下極坐標(biāo)系下的面積微元概率論二重積分的計(jì)算(二)則得故面積微元為這樣二重積分在極坐標(biāo)系下的表達(dá)式為二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算概率論二重積分的計(jì)算(二)

直角坐標(biāo)系下與極坐標(biāo)系下二重積分的轉(zhuǎn)換公式

如何計(jì)算極坐標(biāo)系下的二重積分？化為二次積分或累次積分來(lái)計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下的表達(dá)式為二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算概率論二重積分的計(jì)算(二)

在極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分或累次積分，同樣要解決下面兩個(gè)問(wèn)題：（2）確定積分的上、下限（1）選擇積分次序化為二次積分或累次積分來(lái)計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算概率論二重積分的計(jì)算(二)

2.極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分(1)若極點(diǎn)O在區(qū)域D

之外則有

(2)極點(diǎn)O在區(qū)域D的邊界線(xiàn)上則有xoxoDD（只研究先對(duì)r后對(duì)θ的積分次序）下面根據(jù)極點(diǎn)O與區(qū)域D的位置分三種情況討論

型區(qū)域概率論二重積分的計(jì)算(二)(3)若極點(diǎn)O在區(qū)域D的內(nèi)部則有xoDo特殊地DD:二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算x概率論二重積分的計(jì)算(二)或被積函數(shù)為f(x2+y2)、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分積分特征利用極坐標(biāo)常能簡(jiǎn)化計(jì)算.如果積分區(qū)域D為圓、半圓、圓環(huán)、扇形域等，等形式，要點(diǎn)與步驟:用直角坐標(biāo)系計(jì)算繁鎖或不能計(jì)算的可以用極坐標(biāo)計(jì)算;(2)畫(huà)區(qū)域圖,列出

型區(qū)域,寫(xiě)成極坐標(biāo)下的二次積分.二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算概率論二重積分的計(jì)算(二)3.極坐標(biāo)下二重積分計(jì)算的基本步驟

(1)將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分.①將

代入被積函數(shù),

②將區(qū)域D的邊界曲線(xiàn)換為極坐標(biāo)系下的表達(dá)式，確定相應(yīng)的積分限.

將面積元素dxdy換為

.(2)將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分.(3)計(jì)算二次積分.則概率論二重積分的計(jì)算(二)例1

計(jì)算其中解故

注：由于的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無(wú)法用直角坐標(biāo)計(jì)算.xyo在極坐標(biāo)系下二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算概率論二重積分的計(jì)算(二)xy例2二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算解概率論二重積分的計(jì)算(二)例3

計(jì)算積分積分域是圓環(huán)，xyo解D：二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算(例3.14)概率論二重積分的計(jì)算(二)例4二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算解概率論二重積分的計(jì)算(二)

例5

計(jì)算二重積分

其中區(qū)域D為由x=0及

x2+y2=2y圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域.解D的邊界曲線(xiàn)為x2+y2=2y，此時(shí)D可以表示為xyo其極坐標(biāo)表達(dá)式二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算概率論二重積分的計(jì)算(二)解故例6二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算概率論二重積分的計(jì)算(二)解因?yàn)楸环e函數(shù)為偶函數(shù),例7

求廣義積分所以，不能直接用一元函數(shù)的廣義積分計(jì)算。(泊松積分,例3.19）又因?yàn)楸环e函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù),二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算D令利用極坐標(biāo)計(jì)算H，概率論二重積分的計(jì)算(二)令利用極坐標(biāo)計(jì)算H，所以D正態(tài)分布概率論二重積分的計(jì)算(二)

當(dāng)積分區(qū)域由直線(xiàn)和除圓以外的其它曲線(xiàn)圍成時(shí)，

一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A形、扇形、環(huán)形區(qū)域，

選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系對(duì)計(jì)算二重積分的計(jì)算是至關(guān)重要的.而被積函數(shù)中含有

項(xiàng)時(shí),選擇坐標(biāo)系選擇積分次序二重積分計(jì)算過(guò)程通常選擇在直角坐標(biāo)系下計(jì)算.下的計(jì)算方法往往比較簡(jiǎn)便.二重積分計(jì)算方法總結(jié)：化為累次積分計(jì)算累次積分二重積分可在兩種坐標(biāo)系下計(jì)算.采用極坐標(biāo)系概率論二重積分的計(jì)算(二)二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算概率論二重積分的計(jì)算(二)由區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性和函數(shù)的奇偶性可得oxyD二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算解例7概率論二重積分的計(jì)算(二)oxy11D解二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算例3.17——3.18不作要求例8概率論二重積分的計(jì)算(二)二、二重積分在極坐標(biāo)系中的計(jì)算一、二重積分在直角坐標(biāo)系中計(jì)算小結(jié)選擇積分次序選擇積分限化為累次積分概率論二重積分的計(jì)算(二)作業(yè)：P1533.212(1)(2)13(2)(3)下次課內(nèi)容3.3二重積分的應(yīng)用概率論二重積分的計(jì)算(二)二、二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算一、二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算復(fù)習(xí)選擇積分次序選擇積分限化為累次積分二重積分的計(jì)算概率論二重積分的計(jì)算(二)（極