人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （等邊三角形） 教學(xué)課件(第2課時(shí))

第十三章軸對(duì)稱等邊三角形第2課時(shí)

1.掌握含有30°角的直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，2.探索并證明含有30°角的直角三角形性質(zhì)的過(guò)程，并用以解決實(shí)際問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)將兩個(gè)含30°角的三角尺擺放在一起.你能借助這個(gè)圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？

ABDC30°分析：∵∠BAD＝60°

又∵∠B＝∠D＝60°

∴∠BAD=∠B＝∠D

∴△ABD是等邊三角形

∴AB=BD＝2BC.結(jié)論：AB=2BC探究新知你能利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言說(shuō)一說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)嗎？猜想：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.30°上面所述一定是正確的嗎？你能進(jìn)行推理驗(yàn)證嗎？探究新知已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，求證：ACBD.證明1：在斜邊AB上截取BD=BC，連接CD.（截長(zhǎng)法）∵在Rt△ABC中，∠A=30°,

∴∠B=60°.∵BD=BC，∠B=60°,

∴△BCD為等邊三角形，∠DCB=60°，CD=BC=BD.∵∠ACB=90°，∠DCB=60°，∴∠ACD=30°.∵∠A=30°，∴∠A=∠ACD

∴AD=CD（等角對(duì)等邊）∴BC=CD=BD=AD.∴猜想：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，求證：ACB猜想：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.D證明2：延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連接AD.（補(bǔ)短法）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°,

∴AB=AD.

∵∠A=30°

∴∠B=60°

∴△ABD是等邊三角形，AB=BD=AD

∵BC=BD

∴BC=AB如圖，已知Rt△ABC≌Rt△ADC，其中∠BAC=∠DAC=30°，求證：ABDC30°∴△ABD是等邊三角形.∴∠DAC=∠BAC=30°,AB=AD∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=30°+30°=60°∴BC=CD=∴證法3：

做△ABC關(guān)于AC的軸對(duì)稱圖形△ADC∵AC⊥BD30°

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

（簡(jiǎn)記為：30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）含30°角的直角三角形的性質(zhì)：幾何語(yǔ)言：∵∠C=90°，∠A=30°∴注意：必須滿足兩個(gè)條件①30°的角，②直角三角形中.歸納新知ABCDE

例5:如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE要多長(zhǎng)？解：∵BC⊥AC，∠A=30°，AB=7.4cm∴∵DE⊥AC，∠A=30°∴答：立柱BC的長(zhǎng)是3.7m，DE的長(zhǎng)是1.85m．典例精析∵D是AB的中點(diǎn)1．如圖，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB＋BC=12cm，則AB=

．8cm2．如圖：△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8cm，則BD=

，BE=

．2cm4cmACEBDCBA第1題

第2題小試牛刀AEDCB3.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分線交邊CB于D，若AB=10，AC=5，則圖中等于30°的角的個(gè)數(shù)為（）．A．2B．3C．4D．5B1.如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4，求BC長(zhǎng).解：在Rt△ABD中∵∠C=30°∴BD=2AD=8

∵∠BAD=90°

則∠DAC=∠C=30°，AD=CD=4∴BC=8+4=12學(xué)以致用解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°,

∴∠CAB=60°.

∵AD平分∠CAB,

∴∠CAD=∠BAD=30°.

∴∠B=∠BAD，

∴AD=BD.2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，若CD=2，求BD的長(zhǎng).BCAD┐在Rt△ACD中，∠C=90°，

∵∠CAD=30°，CD=2,

∴AD=2CD=4.

∴BD=AD=4.3.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,CD是AB邊上的高，∠A=30°，求證：AB=4BD.1解：∵∠ACB=90°,∠A=30°∴∵CD⊥AB∴∠CDB=90°∴∠1=30°∴∴4.如圖，一個(gè)等腰三角形的兩個(gè)底角為15°，腰長(zhǎng)為14cm，求這個(gè)等腰三角形的面積.BD└解：過(guò)點(diǎn)C作AB邊上的高，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.∵∠B=∠ACB=15°，

∴∠DAC=30°.

∵AB=AC=14cm，CD⊥AB，∠DAC=30°，

∴CD=1/2AC=7cm.∴S△ABC=1/2AB×CD=49cm2.AC含30°角的直角三角形的性質(zhì)：課堂小結(jié)證明一條線段等于另一條線段一半或2倍的證明思路與方法：

延長(zhǎng)一倍或截半的方法將其轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等．技巧：

1.看到60°，聯(lián)想一半30°，并令30°位于直角三角形中；

2.看到15°，聯(lián)想2倍30°，并構(gòu)造直角三角形.

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．30°幾何語(yǔ)言：∵∠C=90°，∠A=30°∴1.如圖所示，在△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)M,BD=8cm,則AC=_______cm.42.如圖所示，在△ABC中，AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中線，AE是∠BAD的平分線，DF//AB交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則DF的長(zhǎng)為_(kāi)____.4.5第1題

第2題課后練習(xí)3.如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠B=30°，CD=6cm，則BC的長(zhǎng)度是多少？解：∵CD是斜邊AB邊上的高，

∴∠BDC=90°.

∵在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=6cm，

∴BC=2CD=12cm.BCA└D第十三章軸對(duì)稱人教版·八年級(jí)上冊(cè)等邊三角形

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索并掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定．（重點(diǎn)）2.能運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算和證明．（難點(diǎn)）復(fù)習(xí)導(dǎo)入定義：

的三角形叫做等腰三角形.兩邊相等性質(zhì)1：等邊對(duì)等角三線合一性質(zhì)2：等腰三角形判定性質(zhì)定義：兩邊相等.等角對(duì)等邊.對(duì)稱性：是軸對(duì)稱圖形，有

條對(duì)稱軸.1ABC圖形對(duì)稱軸探索新知

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)三角形按照邊是怎么分類的？底≠腰三角形等腰三角形一般三角形底=腰探索新知

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)所以說(shuō)等邊三角形是三條邊都相等的特殊的等腰三角形.那么等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì).探索新知

思考1

把等腰三角形的性質(zhì)1（等邊對(duì)等角）用于等邊三角形，能得到什么結(jié)論？

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)ABC三角形內(nèi)角和為180°AB=AC∠B=∠CAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C∠A=∠B=∠C=60°探索新知

思考2

把等腰三角形的性質(zhì)2（三線合一）用于等邊三角形，能得到什么結(jié)論？

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.探索新知等邊三角形每條邊上的中線、高和所對(duì)角的平分線相互重合，即“三線合一”.

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)ABCBC邊上的中線,高和所對(duì)角的平分線“三線合一”.AB邊上的中線,高和所對(duì)角的平分線“三線合一”.AC邊上的中線,高和所對(duì)角的平分線“三線合一”.探索新知

思考3

把等腰三角形的對(duì)稱性用于等邊三角形，能得到什么結(jié)論？ABCBC邊上的中線,高和所對(duì)角的平分線所在直線為對(duì)稱軸.AB邊上的中線,高和所對(duì)角的平分線所在直線為對(duì)稱軸.AC邊上的中線,高和所對(duì)角的平分線所在直線為對(duì)稱軸.

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)探索新知等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸，分別為每條邊上的中線、高和所對(duì)角的平分線所在直線.

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)探索新知

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)圖形等腰三角形等邊三角形性質(zhì)邊角三線合一對(duì)稱性每一邊上的中線、高和這一邊所對(duì)的角的平分線互相重合三個(gè)角都相等，3條對(duì)稱軸1條對(duì)稱軸兩個(gè)底角相等底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合且都是60o兩條邊相等三條邊都相等探索新知

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)例1

如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使得CE=CD．求證：BD=DE．證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是角平分線，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．∵CE=CD，∴∠CDE=∠E．又∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠CDE=∠E=30°．∴∠DBC=∠E．∴DB=DE．EABCD探索新知

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)【變式】如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=（）A.15°B.20°C.25°D.30°AEABCDFG探索新知

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)【變式】如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，若DE=DB，求CE的長(zhǎng).解：∵△ABC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，∴∠ABC=∠ACB=60°，BD為∠ABC的平分線，∴∠DBE=∠ABC=30°.∵DE=DB，∴∠E=∠DBE=30°.∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°.EABCD探索新知

知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)【變式】如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，若DE=DB，求CE的長(zhǎng).∴∠CDE=∠E.∴CD=CE.∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),

∴CE=CD=.EABCD探索新知等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等性質(zhì)？？？判定？？？該怎么證明呢？

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定探索新知

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定已知：如圖，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.求證：△ABC是等邊三角形.證明：∵∠A=∠B,∴BC=AC.∵∠B=∠C,∴AC=AB.

∴AB=BC=AC，則△ABC是等邊三角形.ABC等邊三角形的判定方法1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.探索新知

等腰三角形只要滿足一個(gè)角是60°，就可以判定它是等邊三角形？你同意這樣的說(shuō)法嗎？試著證明一下吧！

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定探索新知證明：∵AB=AC，∠B=60°,∴∠C=∠B=60°.

∴∠A=180°-（∠B+∠C）=60°,∴∠A=∠B=∠C.

∴△ABC是等邊三角形.ABC已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°.求證：△ABC是等邊三角形.

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定當(dāng)60°角為底角時(shí)探索新知已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°.求證：△ABC是等邊三角形.證明：∵AB=AC,∴∠C=∠B.

∵∠A=60°,∴∠B+∠C=180°-∠A=120°.∴∠A=∠B=∠C=60°.

∴△ABC是等邊三角形.ABC

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定當(dāng)60°角為頂角時(shí)探索新知等邊三角形的判定方法2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.在等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60°，無(wú)論這個(gè)角是頂角還是底角，這個(gè)三角形就是等邊三角形.

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定探索新知圖形等腰三角形等邊三角形判定邊（定義）角特殊法三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定探索新知例2

如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.求證：△ADE是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.

∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.

∴∠A=∠ADE=∠AED.

∴△ADE是等邊三角形.ABCDE想一想：本題還有其他證法嗎？

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定探索新知【變式】如圖，△ABC是等邊三角形，D，E分別是邊AB，AC上一點(diǎn)，且BD=CE.求證：△ADE是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠A=60°.

∵BD=CE，

∴AB-BD=AC-CE，即AD=AE,

∴△ADE是等邊三角形.ABCDE

知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定探索新知

知識(shí)點(diǎn)

等腰三角形的判定判定一個(gè)三角形是等邊三角形的方法選擇：若已知三邊關(guān)系，一般選用定義判定；若已知三角關(guān)系，一般選用判定方法1；若已知該三角形是等腰三角形，一般選用判定方法2.課堂小結(jié)等邊三角形的性質(zhì)與判定定義性質(zhì)三邊都相等的三角形是等邊三角形.邊角三邊相等三個(gè)角都等于60°三線合一每條邊上都具有“三線合一”性質(zhì)對(duì)稱性是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸判定定義法三角法三邊都相等的三角形是等邊三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形等腰三角形法有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形課堂練習(xí)1.下列條件中不能得到等邊三角形的是（）A.有一個(gè)角是60°的等腰三角形B.三邊相等的三角形C.有兩個(gè)內(nèi)角是60°的三角形D.有兩個(gè)外角相等的等腰三角形D2.已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為8，一個(gè)內(nèi)角為60°，則它的周長(zhǎng)為

．24課堂練習(xí)3.如圖，直線l1∥l2，△ABC是等邊三角形，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)

．100°4.等邊三角形ABC的兩條角平分線BD和CE相交于點(diǎn)F，則∠BFC的度數(shù)為

．120°ABCDEF第3題圖

第4題圖課堂練習(xí)5.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，將△ADE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，則∠BDF+∠CEF=

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