第六章 相關與回歸分析-1

第6章

相關與回歸分析主要內(nèi)容

6.1變量間關系的度量6.2一元線性回歸變量間的關系1相關關系的描述與測度2相關關系的顯著性檢驗36.1變量間關系的度量變量間的關系6.1變量間的相關關系變量間的關系客觀現(xiàn)象之間是普遍聯(lián)系相互依存的?？陀^現(xiàn)象之間的數(shù)量聯(lián)系可分為兩類：確定性關系（函數(shù)關系）非確定性關系（相關關系）

變量間的關系

（函數(shù)關系）是一一對應的確定關系設有兩個變量x和y，變量y隨變量x一起變化，并完全依賴于x，當變量x取某個數(shù)值時，y依確定的關系取相應的值，則稱y是x的函數(shù)，記為y=f(x)，其中x稱為自變量，y稱為因變量各觀測點落在一條線上

xy

函數(shù)關系的例子某種商品的銷售額(y)與銷售量(x)之間的關系可表示為y=p

x(p為單價)圓的面積(S)與半徑之間的關系可表示為S=

R2

企業(yè)的原材料消耗額(y)與產(chǎn)量(x1)

、單位產(chǎn)量消耗(x2)

、原材料價格(x3)之間的關系可表示為y=x1x2x3

變量間的關系

（函數(shù)關系）

相關關系的例子商品的消費量(y)與居民收入(x)之間的關系商品銷售額(y)與廣告費支出(x)之間的關系糧食畝產(chǎn)量(y)與施肥量(x1)、降雨量(x2)、溫度(x3)之間的關系收入水平(y)與受教育程度(x)之間的關系父親身高(y)與子女身高(x)之間的關系

變量間的關系

（相關關系）變量間關系不能用函數(shù)關系精確表達一個變量的取值不能由另一個變量唯一確定當變量

x取某個值時，變量y的取值可能有幾個各觀測點分布在直線周圍

xy

變量間的關系

（相關關系）相關關系的描述與測度6.1變量間的相關關系相關關系的類型相關關系非線性相關線性相關正相關正相關負相關負相關完全相關不相關相關關系的圖示（散點圖）

不相關

負線性相關

正線性相關

非線性相關

完全負線性相關完全正線性相關

散點圖(例題分析)【例6.6】一家大型商業(yè)銀行在多個地區(qū)設有分行，其業(yè)務主要是進行基礎設施建設、國家重點項目建設、固定資產(chǎn)投資等項目的貸款。近年該銀行貸款額平穩(wěn)增長，但不良貸款額也有較大提高，給銀行業(yè)務發(fā)展帶來較大壓力。為弄清不良貸款形成的原因，以便找出控制不良貸款的辦法，現(xiàn)利用銀行有關業(yè)務數(shù)據(jù)進行相關分析。下面是該銀行所屬25家分行2002年的有關業(yè)務數(shù)據(jù)。

散點圖(例題分析)散點圖(例題分析)相關關系的測度

（相關系數(shù)）對變量之間關系密切程度的度量對兩個變量之間線性相關程度的度量稱為簡單相關系數(shù)（簡稱相關系數(shù)）若相關系數(shù)是根據(jù)總體全部數(shù)據(jù)計算的，稱為總體相關系數(shù)，記為

若是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的，則稱為樣本相關系數(shù)，記為r

樣本相關系數(shù)的計算公式或化簡為相關關系的測度

（相關系數(shù)）

我國人均國民收入與人均消費金額數(shù)據(jù)

單位:元年份人均國民收入人均消費金額年份人均國民收入人均消費金額1981198219831984198519861987393.8419.14460.86544.11668.29737.73859.972492672893294064515131988198919901991199219931068.81169.21250.71429.51725.92099.56436907138039471148（相關系數(shù)計算練習）【練習1】在研究我國人均消費水平的問題中，把全國人均消費額記為y，把人均國民收入記為x。我們收集到1981～1993年的樣本數(shù)據(jù)(xi

，yi)，i=1,2,…，13，數(shù)據(jù)見下表，計算相關系數(shù)。年份序號人均國民收入x人均消費金額yx2y2xy123∶∶∶∶13393.8419.14460.86∶∶∶∶2099.5249267289∶∶∶∶1148155078.44175678.34212391.94∶∶∶∶4407900.25620017128983521∶∶∶∶131790498056.20111910.38133188.54∶∶∶∶2410226合計12827.5745716073323.7752263399156173.99（相關系數(shù)計算練習）（計算結果）解：根據(jù)樣本相關系數(shù)的計算公式有

人均國民收入與人均消費金額之間的相關系數(shù)為0.9987相關關系的測度

（相關系數(shù)取值及其意義）

r

的取值范圍是[-1,1]|r|=1，為完全相關r=1，為完全正相關r=-1，為完全負正相關

r=0，不存在線性相關關系相關-1

r<0，為負相關0<r

1，為正相關|r|越趨于1表示關系越密切；|r|越趨于0表示關系越不密切-1.0+1.00-0.5+0.5完全負相關無線性相關完全正相關負相關程度增加r正相關程度增加相關關系的測度

（相關系數(shù)取值及其意義）樣本容量適中時相關關系程度一般判斷標準

無相關或微弱相關低度相關中度相關（顯著相關）高度相關這種判斷必須建立在對相關系數(shù)進行顯著性檢驗的基礎上。相關系數(shù)計算例

【例6.7】用例6.6數(shù)據(jù)計算出該商業(yè)銀行不良貸款、貸款余額、應收貸款、貸款項目、固定資產(chǎn)投資額之間的相關系數(shù)如下：可以看出，不良貸款與貸款余額的相關系數(shù)最大，與固定資產(chǎn)投資額的相關系數(shù)最小。相關關系的顯著性檢驗6.1變量間的相關關系相關系數(shù)的顯著性檢驗

（概念要點）

1.

檢驗兩個變量之間是否存在線性相關關系等價于對回歸系數(shù)b1的檢驗采用t檢驗檢驗的步驟為提出假設：H0：

；H1：

0

計算檢驗的統(tǒng)計量：

確定顯著性水平，并作出決策若t>t

，拒絕H0

若t<t

，接受H0【例6.8】對前述用例6.7數(shù)據(jù)計算的某大型商業(yè)銀行例不良貸款與貸款余額之間的相關系數(shù)進行顯著性檢(0.05)提出假設：H0：

；H1：

0計算檢驗的統(tǒng)計量3.根據(jù)顯著性水平=0.05和自由度df=n-2=25-2=23查t分布表得t0.025(23)=2.0687由于t=7.5344>t0.05(23)=2.0687，所以拒絕H0，說明不良貸款與貸款余額之間存在顯著正線性相關關系相關系數(shù)的顯著性檢驗(例題分析)r=0.8436相關系數(shù)的顯著性檢驗(例題分析)對前述6.7例某大型商業(yè)銀行各相關系數(shù)計算檢驗統(tǒng)計量數(shù)據(jù)如下，同學們可以自行檢驗和分析相關系數(shù)的顯著性檢驗

（練習2）

對前面練習1中計算的相關系數(shù)進行顯著性檢(0.05)提出假設：H0：

；H1：

0計算檢驗的統(tǒng)計量3.

根據(jù)顯著性水平＝0.05，查t分布表得t

(n-2)=2.201由于t=64.9809>t

(13-2)=2.201，拒絕H0，人均消費金額與人均國民收入之間的相關關系顯著r=0.9987一元線性回歸模型1參數(shù)的最小二乘估計2回歸直線的擬合優(yōu)度3顯著性檢驗4估計和預測36.2一元線性回歸回歸回歸(regression)

平均身高1877年英國弗朗西斯?高爾頓爵士遺傳學研究回歸線什么是回歸分析？

（內(nèi)容）從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學關系式對這些關系式的可信程度進行各種統(tǒng)計檢驗，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著利用所求的關系式，根據(jù)一個或幾個變量的取值來預測或控制另一個特定變量的取值，并給出這種預測或控制的精確程度兩變量是隨機變量

因變量是隨機變量

兩變量對等一個相關系數(shù)兩變量不對等兩個回歸方程相關系數(shù)是抽象數(shù)值反映相關程度回歸方程具體可利用自變量估計因變量值相關分析回歸分析回歸分析與相關分析的區(qū)別回歸模型的類型一個自變量兩個及兩個以上自變量回歸模型多元回歸一元回歸線性回歸非線性回歸線性回歸非線性回歸回歸模型與回歸方程6.2一元線性回歸回歸模型回答“變量之間是什么樣的關系？”方程中運用1個數(shù)字