第四章方差分析

第四章

多個(gè)樣本均數(shù)比較的方差分析方差分析（analysisofvariance，ANOVA），由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher首創(chuàng)，又稱F檢驗(yàn)，可以用于多個(gè)樣本均數(shù)（g≥2）比較。第一節(jié)

方差分析的基本思想和應(yīng)用條件一、方差分析的基本思想根據(jù)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的類型，把總的變異分成兩個(gè)或多個(gè)部分，每個(gè)部分都可以由某個(gè)因素的作用（或某幾個(gè)因素的交互作用）加以解釋，然后通過(guò)比較推斷各種研究因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有無(wú)影響。例4-2某醫(yī)生為了研究一種降血脂新藥的臨床療效，按統(tǒng)一納入標(biāo)準(zhǔn)選擇120名高血脂患者，采用完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方法將患者等分為4組，進(jìn)行雙盲試驗(yàn)。6周后測(cè)得低密度脂蛋白作為試驗(yàn)結(jié)果，見(jiàn)表4-3。問(wèn)4個(gè)處理組患者的低密度脂蛋白含量總體均數(shù)有無(wú)差別?分組測(cè)量值統(tǒng)計(jì)量n安慰劑組3.534.594.342.663.593.132.642.563.503.25303.43102.91367.853.304.043.533.563.854.073.523.934.192.961.373.932.332.984.003.552.964.34.162.59降血脂新藥

302.7281.46233.002.4g組2.423.364.322.342.682.951.563.111.811.771.982.632.862.932.172.722.652.222.902.972.362.562.522.272.983.722.803.574.022.314.8g組2.862.282.392.282.482.283.212.232.322.68302.7080.94225.542.662.322.613.642.583.652.663.682.653.023.482.422.412.663.292.703.042.811.971.687.2g組0.891.061.081.271.631.891.192.172.281.72301.9758.99132.131.981.742.163.372.971.690.942.112.812.521.312.511.881.413.191.922.471.022.103.71表4-34個(gè)處理組低密度脂蛋白測(cè)量值(mmol/L)表4-1g個(gè)處理組的試驗(yàn)結(jié)果分組測(cè)量值統(tǒng)計(jì)量第1組X11X12…X1j…n1S1第2組X21X22…X2j…n2S2....................................第i組Xi1Xi2…Xij…niSi....................................第g組Xg1Xg2…Xgj…ngSg合計(jì)NS第i個(gè)處理組的第j個(gè)測(cè)量值實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有三種不同的變異

總變異組間變異組內(nèi)變異1?？傋儺悾焊鱾€(gè)觀察值Xij彼此之間大小不等，參差不齊，這種全部數(shù)據(jù)之間的差異叫總變異，用SS總（SS-離均差平方和）表示。反映了各測(cè)量值之間總的變異程度。計(jì)算公式如下：其中：總變異的自由度：ν總=N-1用離均差平方和表示總變異大小受樣本容量的影響，樣本容量越大，SS越大，所以必須扣除n的影響，嚴(yán)格的講是扣除ν的影響。2。組間變異：各處理組由于接受不同的處理，其樣本均數(shù)大小不等，這種差異叫組間變異，用SS組間表示。計(jì)算公式如下：組間變異的自由度：ν組間=g-13。組內(nèi)變異：在同一處理組，雖然每個(gè)受試對(duì)象接受相同的處理，但測(cè)量值各不相同，這種差異叫組間變異，用SS組內(nèi)表示。計(jì)算公式如下：組內(nèi)變異的自由度：ν組內(nèi)=N-g可以證明產(chǎn)生組間變異的原因：

隨機(jī)誤差，包括個(gè)體變異和隨機(jī)測(cè)量誤差不同的處理方法可能對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響產(chǎn)生組內(nèi)變異的原因：只有隨機(jī)誤差，包括個(gè)體變異和隨機(jī)測(cè)量誤差對(duì)組間變異和組內(nèi)變異進(jìn)行比較，結(jié)果用F表示當(dāng)各組樣本的總體均數(shù)相等時(shí)，即處理因素不起作用，組間變異同組內(nèi)變異一樣只反映了隨機(jī)誤差的大小。此時(shí)：當(dāng)各組樣本的總體均數(shù)不等或不全相等時(shí)，即處理因素起作用，組間變異要大于組內(nèi)變異。此時(shí)：FF分布示意圖F界值α二、方差分析的應(yīng)用條件各樣本是相互獨(dú)立的隨機(jī)樣本，均服從正態(tài)分布相互比較的各樣本的總體方差相等，即具有方差齊性（homogeneityofvariance）第二節(jié)

完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料的方差分析一、完全隨機(jī)設(shè)計(jì)：1。完全隨機(jī)設(shè)計(jì)

完全隨機(jī)設(shè)計(jì)（成組設(shè)計(jì)）是醫(yī)學(xué)科研中常用的一種研究設(shè)計(jì)方法，它是將同質(zhì)的受試對(duì)象隨機(jī)分配到各處理組中進(jìn)行觀察，或從不同總體中隨機(jī)抽樣進(jìn)行對(duì)比研究。首先從總體中進(jìn)行隨機(jī)抽樣，然后將樣本中的所有受試對(duì)象隨機(jī)分配到不同的處理組中，接受不同的處理，比較處理組之間有無(wú)差異。2。完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的隨機(jī)分配方法①編號(hào)：將n個(gè)受試對(duì)象編號(hào)。②取隨機(jī)數(shù)字：從隨機(jī)數(shù)字表中的任意一行任意一列開(kāi)始，依次讀取隨機(jī)數(shù)字，每次讀取的隨機(jī)數(shù)字可以是一位數(shù)，也可是二位數(shù)或三位數(shù)，一般要求與n的位數(shù)相同。④確定組別：依據(jù)每個(gè)受試對(duì)象獲得的隨機(jī)數(shù)字的序號(hào)決定受試對(duì)象在哪個(gè)組。③對(duì)隨機(jī)數(shù)字排序：將全部隨機(jī)數(shù)字從小到大編序號(hào)，若遇到數(shù)字相同的按出現(xiàn)的先后順序編號(hào)。小鼠編號(hào)12345隨機(jī)數(shù)字1539257099序號(hào)2741115小鼠編號(hào)678910隨機(jī)數(shù)字9386527765序號(hào)141381210小鼠編號(hào)1112131415隨機(jī)數(shù)字1533590528序號(hào)36915從隨機(jī)數(shù)字表的第9行第1列開(kāi)始，依次讀取2位作為一個(gè)隨機(jī)數(shù)字例：將15只小鼠隨機(jī)分為3組，每組5只。規(guī)定：序號(hào)為1-5的進(jìn)甲組，6-10的進(jìn)乙組，11-15的進(jìn)丙組甲組：1，3，11，14，15；乙組：2，8，10，12，13；丙組：4，5，6，7，9完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，需根據(jù)數(shù)據(jù)的分布特征選擇方法，對(duì)于正態(tài)分布且方差齊的資料，常采用完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的單因素方差分析（one-wayANOVA）或兩樣本t檢驗(yàn)（g=2）；對(duì)于非正態(tài)或方差不齊的資料，可進(jìn)行數(shù)據(jù)變換或采用秩和檢驗(yàn)。3。完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料的分析方法二、完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析將總的變異分解成兩部分：組間變異和組內(nèi)變異。變異來(lái)源SSνMSF總組間組內(nèi)1、建立假設(shè)并確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)H0：4組患者的低密度脂蛋白含量總體均數(shù)相等H1：4組患者的低密度脂蛋白含量總體均數(shù)不全相等α=0.052、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：方差分析結(jié)果變異來(lái)源SSνMSF總82.10119組間62.16310.7224.93組內(nèi)49.941160.433、確定P值，作出推斷結(jié)論按α=0.05的水準(zhǔn)，拒絕H0，接受H1，可以認(rèn)為4組患者低密度脂蛋白總體均數(shù)不同或不全相同。需要注意的：

當(dāng)方差分析結(jié)果為拒絕H0，接受H1時(shí)，說(shuō)明各組的總體均數(shù)不全相等，若要分析哪兩組均數(shù)有差別，需進(jìn)行多個(gè)均數(shù)間的多重比較。

當(dāng)g=2時(shí)，方差分析結(jié)果與兩樣本t檢驗(yàn)結(jié)果完全等價(jià)，且t2=F。第三節(jié)

隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)資料的方差分析隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)又稱配伍組設(shè)計(jì)，是配對(duì)設(shè)計(jì)的擴(kuò)展。首先從總體中隨機(jī)抽樣，然后將樣本中的所有受試對(duì)象，按條件相同或相近配成若干組（隨機(jī)區(qū)組或配伍組），再將每組中的幾個(gè)受試對(duì)象隨機(jī)分配到不同的處理組中去，這種設(shè)計(jì)的方法稱隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)。一、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)1。隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)隨機(jī)抽樣隨機(jī)分配配成組隨機(jī)分配完全隨機(jī)設(shè)計(jì)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)2。隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)隨機(jī)分配的方法①配伍：將受試對(duì)象按條件相同或相近配成組②編號(hào)：分別對(duì)每個(gè)區(qū)組中的受試對(duì)象編號(hào)③取隨機(jī)數(shù)字：從隨機(jī)數(shù)字表中的任意一行任意一列開(kāi)始，依次讀取隨機(jī)數(shù)字，每個(gè)受試對(duì)象可取兩位隨機(jī)數(shù)字

④排序：對(duì)每個(gè)區(qū)組內(nèi)的隨機(jī)數(shù)字從小到大編序號(hào)，若遇到數(shù)字相同的按出現(xiàn)的先后順序編號(hào)。⑤確定組別：依據(jù)每個(gè)區(qū)組內(nèi)各受試對(duì)象獲得的隨機(jī)數(shù)字的序號(hào)決定受試對(duì)象在哪個(gè)組。例：按隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)，分配15只小鼠接受甲、乙、丙三種抗癌藥物區(qū)組號(hào)12345小鼠編號(hào)123123123123123隨機(jī)數(shù)字683526009953936128527005483456序號(hào)321132321231213從第8行第3列開(kāi)始規(guī)定：序號(hào)為1的進(jìn)甲組；序號(hào)為2的進(jìn)乙組；序號(hào)為3的進(jìn)丙組。區(qū)組12345甲組：31332乙組：23211丙組：121233。隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的特點(diǎn)：

隨機(jī)分配的次數(shù)要重復(fù)多次，每次隨機(jī)分配都對(duì)同一個(gè)區(qū)組中的受試對(duì)象進(jìn)行各個(gè)處理組受試對(duì)象數(shù)量相同，每個(gè)處理組中的受試對(duì)象的個(gè)數(shù)等于配伍組數(shù)；每個(gè)配伍組中的受試對(duì)象個(gè)數(shù)等于處理組數(shù)區(qū)組內(nèi)影響研究結(jié)果的因素相同，區(qū)組內(nèi)均衡隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的資料在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)也需要根據(jù)資料的分布特征選擇方法，對(duì)于正態(tài)分布且方差齊的資料，應(yīng)采用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)資料的方差分析或配對(duì)t檢驗(yàn)（g=2）。當(dāng)不滿足方差分析和t檢驗(yàn)條件時(shí)，可對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行變換或采用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)資料的秩和檢驗(yàn)。4。隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)資料的分析方法隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)方差分析將總的變異分為3部分：處理組間變異、區(qū)組間變異和誤差變異。二、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)方差分析處理組間的變異：用SS處理表示，指各個(gè)處理組間均數(shù)大小不等的差異，其產(chǎn)生原因是處理因素和隨機(jī)誤差。區(qū)組間的變異：用SS區(qū)組表示，指各個(gè)區(qū)組間均數(shù)大小不等的差異，其產(chǎn)生原因是區(qū)組因素和隨機(jī)誤差。誤差變異：用SS誤差表示，指由于個(gè)體變異和隨機(jī)測(cè)量誤差造成的差異，其產(chǎn)生原因是隨機(jī)誤差?？梢宰C明隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果區(qū)組編號(hào)處理因素12…i…g1X11X21…Xi1…Xg12X12X22…Xi2…Xg2.....................

.....jX1jX2j…Xij…Xgj...........................nX1nX2n…Xin…Xgn……隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)方差分析表變異來(lái)源SSνMSF總處理組區(qū)組誤差例4-4某研究者采用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，比較三種抗癌藥物對(duì)小白鼠肉瘤抑瘤效果，先將15只染有肉瘤小白鼠按體重大小配成5個(gè)區(qū)組，每個(gè)區(qū)組內(nèi)3只小白鼠隨機(jī)接受三種抗癌藥物（具體分配結(jié)果見(jiàn)例4-3），以肉瘤的重量為指標(biāo)，試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表4-9。問(wèn)三種不同的藥物的抑瘤效果有無(wú)差別？表4-9不同藥物作用后小白鼠肉瘤重量（g）區(qū)組A藥B藥C藥10.820.650.5120.730.540.2330.430.340.2840.410.210.3150.680.430.241、建立假設(shè)并確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)H0：三種不同藥物作用后小白鼠肉瘤重量的總體均數(shù)相等H1：三種不同藥物作用后小白鼠肉瘤重量的總體均數(shù)不等或不全相等α=0.052、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：方差分析結(jié)果變異來(lái)源SSνMSF總0.532814處理0.228020.114011.88區(qū)組0.228440.05715.95誤差0.076480.00963、確定P值，作出推斷結(jié)論按α=0.05的水準(zhǔn)，拒絕H0，接受H1，可以認(rèn)為三種不同藥物作用后小白鼠肉瘤重量的總體均數(shù)不同或不全相同同樣可以對(duì)區(qū)組間的差別進(jìn)行檢驗(yàn)1、建立假設(shè)并確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)H0：5個(gè)區(qū)組小白鼠肉瘤重量的總體均數(shù)相等H1：5個(gè)區(qū)組小白鼠肉瘤重量的總體均數(shù)不等或不全相等α=0.052、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：計(jì)算結(jié)果如前所列3、確定P值，作出推斷結(jié)論按α=0.05的水準(zhǔn)，拒絕H0，接受H1，可以認(rèn)為5個(gè)區(qū)組小白鼠肉瘤重量的總體均數(shù)不同或不全相同。需要注意的：

當(dāng)方差分析結(jié)果為拒絕H0，接受H1時(shí)，說(shuō)明各組的總體均數(shù)不全相等，若要分析哪兩組均數(shù)有差別，需進(jìn)行多個(gè)均數(shù)間的多重比較。

當(dāng)g=2時(shí)，方差分析結(jié)果與配對(duì)t檢驗(yàn)結(jié)果完全等價(jià)，且t2=F。隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)確定的區(qū)組因素應(yīng)是對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有影響的非處理因素。當(dāng)區(qū)組內(nèi)各受試對(duì)象均衡，區(qū)組之間受試對(duì)象的差異較大時(shí)，利用區(qū)組控制了非處理因素的影響，而且在方差分析時(shí)，將區(qū)組間的變異從組內(nèi)變異中分離出來(lái)（SS區(qū)組是從完全隨機(jī)設(shè)計(jì)SS組內(nèi)分離出來(lái)的），隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的SS誤差比完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的誤差平方和（SS組內(nèi)）小，提高了統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)效率高。但當(dāng)區(qū)組間差別無(wú)統(tǒng)計(jì)意義時(shí)，說(shuō)明區(qū)組間不存在變異，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方案不合理，需在分析時(shí)將區(qū)組間的變異加入到誤差變異中，重新進(jìn)行分析（方法同完全隨機(jī)設(shè)計(jì)）。第四節(jié)

拉丁方設(shè)計(jì)資料的方差分析一、拉丁方設(shè)計(jì)1。矩陣：由m×n個(gè)元素列成的表格，叫矩陣也稱行列式。

矩陣中的元素可以是數(shù)字也可以是字母。如：2×3型矩陣3×2型矩陣2。方陣：矩陣中有一種特殊的：行數(shù)=列數(shù)，稱這種矩陣為方陣3×3型矩陣，3階方陣4×4型矩陣，4階方陣3。拉丁方：是指由g個(gè)拉丁字母排成的一個(gè)方陣，在這個(gè)方陣中每個(gè)拉丁字母在各行及各列只出現(xiàn)一次，稱這個(gè)方陣為g階拉丁方，或稱g×g拉丁方。如：三階拉丁方四階拉丁方三階拉丁方4.拉丁方設(shè)計(jì)：用拉丁方的字母及其行和列來(lái)安排各因素的試驗(yàn)稱作拉丁方設(shè)計(jì)若實(shí)驗(yàn)只考慮三個(gè)因素（一個(gè)處理因素和兩個(gè)控制因素），各因素之間無(wú)交互作用，而且每個(gè)因素的水平數(shù)相等，可以考慮使用拉丁方設(shè)計(jì)例：比較A、B、C、D、E、F6種藥物給家兔注射后產(chǎn)生的皮膚皰疹大小（mm2），研究者選用6只家兔、并在每只家兔的6個(gè)不同部位進(jìn)行注射。試做拉丁方設(shè)計(jì)。分析：本例共有三個(gè)因素：藥物、家兔和注射部位；每個(gè)因素有6個(gè)水平，六種藥物、六只家兔、六個(gè)不同的注射部位；各個(gè)因素之間無(wú)交互作用（每個(gè)因素的作用不受其他因素的影響），所以可以考慮使用拉丁方設(shè)計(jì)。5。拉丁方設(shè)計(jì)的方法及步驟：（1）選擇合適的拉丁方（2）規(guī)定方陣中字母表示不同藥物（處理因素），行為家兔，列為注射部位①先做行變換：隨機(jī)選取6個(gè)兩位數(shù)的隨機(jī)數(shù)字：22,06,34,72,52,82，然后按照大小順序編秩R=2,1,3,5,4,6，先2,1行對(duì)調(diào)，再3,5行對(duì)調(diào)，最后4,6行對(duì)調(diào)（3）為實(shí)現(xiàn)隨機(jī)分配，即獲得隨機(jī)排列的拉丁方，需對(duì)所選基本拉丁方作行列變換——在任意整行、整列之間對(duì)調(diào)。3,5行對(duì)調(diào)ABCDEFBCDEFACDEFABDEFABCEFABCDFABCDE2,1行對(duì)調(diào)4,6行對(duì)調(diào)BCDEFAABCDEFCDEFABDEFABCEFABCDFABCDEBCDEFAABCDEFEFABCDDEFABCCDEFABFABCDEBCDEFAABCDEFEFABCDFABCDECDEFABDEFABC1,2列對(duì)調(diào)6,5列對(duì)調(diào)CBEDAFBADCFEFEBADCAFCBEDDCFEBAEDAFCBCBDEFABACDEFFEABCDAFBCDEDCEFABEDFABC4,3列對(duì)調(diào)CBDEAFBACDFEFEABDCAFBCEDDCEFBAEDFACB②再做列變換：隨機(jī)選取6個(gè)兩位數(shù)的隨機(jī)數(shù)字：27,29,99,72,68,53，然后按照大小順序編秩R=1,2,6,5,4,3，先1,2列對(duì)調(diào)，再6,5列對(duì)調(diào)，最后4,3列對(duì)調(diào)③隨機(jī)分配處理方式：隨機(jī)選取6個(gè)兩位數(shù)的隨機(jī)數(shù)字：35,56,27,09,24,86，然后按照大小順序編秩R=4,5,3,1,2,6，得到D(甲)、E(乙)、C(丙)、A(丁)、B(戊)、F(己)。試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果家兔注射部位1234561C丙B戊E乙D甲A丁F己2B戊A丁D甲C丙F己E乙3F己E乙B戊A丁D甲C丙4A丁F己C丙B戊E乙D甲5D甲C丙F己E乙B戊A丁6E乙D甲A丁F己C丙B戊拉丁方設(shè)計(jì)方差分析將總的變異分為4部分：處理組間變異、行區(qū)組間變異、列區(qū)組間變異和誤差變異。二、拉丁方設(shè)計(jì)方差分析四部分間的關(guān)系為：家兔編號(hào)（行區(qū)組）注射部位（列區(qū)組）行合計(jì)（Rj）1234561C(87)B(75)E(81)D(75)A(84)F(66)468.078.02B(73)A(81)D(87)C(85)F(64)E(79)469.078.23F(73)E(73)B(74)A(78)D(73)C(77)448.074.74A(77)F(68)C(69)B(74)E(76)D(73)437.072.85D(64)C(64)F(72)E(76)B(70)A(81)427.071.26E(75)D(77)A(82)F(61)C(82)B(61)438.07