專升本《高數(shù)一》知識總結(jié)

2019年10月份成人高考入學(xué)考試高等數(shù)學(xué)（一）通關(guān)資料一、極限考點1：極限的四則運(yùn)算法則1.利用極限的四則運(yùn)算法則求極限n

lim

f

(

x

)

n

lim

f

(

x

)

f(x

)g

(

x

)2

.lim

f

(

x

).

g

(

x

)

lim f(x

)

lim g(x)

AB1.lim

f(x)

g(x)

lim f(x)

lim g(x)

A

B

x

x

0

x

x

0lim

c.f(x)

c.

lim f(x

)x

x

0 x

x

0lim f(x

)x

x

0 Alim g(

x

) Bx

x

0x

x

0 x

x

0 x

x

0x

x

0 x

x

0 x

x

0x

x

0 x

x

03

.當(dāng)

lim g(x)

0，limx

x

0 x

x

0如果

lim f(x)

A

,

lim g(x)

B,

則一、極限為無窮大量1f

(x)反之，如果f

(x)為無窮小量，且f

(x)

0，則1.無窮小量概念：如果當(dāng)自變量x

x（0

或x

）時，函數(shù)f（x）的極限值為零，則稱在該變化過程中，f（x）為無窮小量，簡稱無窮小，記作lim

f

(x)

（0

或limf（x）

0）x

x0 x

在微積分中，常用希臘字母

，

，

來表示無窮小量.2.無窮大量概念如果當(dāng)自變量x

x（0

或x

）時，函數(shù)f

(x)的絕對值可以變得充分大（即無限得增大），則稱在該變化過程中，f

(x)為無窮大量.記作lim

f

(x)

x

x0兩者關(guān)系：

1 在同一變化過程中，如果f

(x)為無窮大量，則 為無窮小量f

(x)考點2：無窮小量和無窮大量定義及關(guān)系一、極限

（4）如果lim

,則稱

是比

低階的無窮小量.（1）如果lim

0，則稱

是比

高階的無窮小量.（3）如果lim

C

1，則稱

是與

等價無窮小量，記作

等價于

.（2）如果lim

C

0，則稱

是與

同階的無窮小量.考點3：無窮小量性質(zhì)及比較1.無窮小量的性質(zhì).有限個無窮小量的和

、差、積仍為無窮小量.無窮小量與有界之量

的積仍為無窮小量.2.無窮小量的比較.設(shè)

和

是同一過程中的無窮小

量，即lim

0，lim

0一、極限考點4：等價無窮小21~

tanx，1.如果

1、

2、

1、

2都是同一變化過程中的無窮小量，且

1

~

1，

2

~

2則lim

1

lim

1

2

2這個定理說明，兩個無窮小量之比的極限，可以用與它們等價的無窮小量之比的極限來代替.以后我們可以用這個方法來求兩個無窮小量之比的極限，此方法可叫做等價無窮小代替法。常用等價無窮小：當(dāng)x

0時，x

~

sinx

~ln（1

x）~

arcsinx

~

arctanx

~

ex

-11-

cosx

~ x2，（1

x）

-1

~

x（

為實常數(shù)，

0）一、極限考點5：兩個重要極限n1n

x

0x

xxlim（1

x）x

elim（1

1

）n

elim（1

1

）x

ex

0特殊極限二：特殊極限一：lim

sinx

1二、連續(xù)考點1：函數(shù)在某一點的連續(xù)即lim

f（x）

f（x0），則稱函數(shù)y

f（x）在點x0處連續(xù).定義1：設(shè)函數(shù)y

f（x）在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果有自變量

x（初值為x0）趨近于0時，相應(yīng)的函數(shù)改變量

y也趨近于0，即

lim[

f（x0

x）-

f（x0）]

0limf（x）

lim f（x）

f（x0），則稱函數(shù)y

f（x）在點x0處連續(xù).x

x0- x

x0

x

x0定義3：設(shè)函數(shù)y

f（x）在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)x

x0時，函數(shù)f（x）的左右極限存在且等于函數(shù)值f（x0），即

x

0則稱函數(shù)y

f（x）在點x0處連續(xù).定義2：設(shè)函數(shù)y

f（x）在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)x

x0時，函數(shù)f（x）的極限值存在，且等于x0處的函數(shù)值f（x0）二、連續(xù)考點2：函數(shù)間斷點定義：如果函數(shù)f（x）在點x0處不連續(xù)，則稱點

x0為f（x）的一個間斷點.由函數(shù)在某點連續(xù)的定

義可知，如果函數(shù)

f（x）在點x0處有下列三種情況之一，則點x0是f（x）的一個間斷點：在點x0處，f（x）沒有定義。在點x0處，f（x）的極限不存在。雖然點x0處f（x）有定義，且

lim f（x）存在，但lim f（x）

f（x0）x

x0x

x

0三、導(dǎo)數(shù)h000000000，，，f（x

）x-

xf（x）-f（x

）f（x

）dy記作y， ， 或f（，

x

）.f（x

h）-

f（x）

lim

lim

xf（x

x）-

f（x0）即f（x

）

lim存在，則此極限值為函數(shù)y

f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù).

x

x）-

f（x0）lim

y

lim

f（x0（一）導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)y

f（x）在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，若自變量

x在點x0處的改變量為

x（x0

x仍在該領(lǐng)域內(nèi)）.函數(shù)y

f（x）相應(yīng)地有改變量

y

f（x0

x）-

f（x0）.如果極限x

0x

x0

x

0dxx

xx

x0

x

0

x

x

0三、導(dǎo)數(shù)x2

xa

1

a

x

a

-18（. tan

x

）'

sec2x/(cot

x

）'

-csccos

x

）'

-sin

x5（. a

x）'

ax

lna6（. e

x）'

e

x7（. sin

x

）'

cosx

（/4（. lnx

）'1 （

a

0,

且

a

1）x

lna3（. log x

）'

2（. x

a）'（二）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1（. c

）'

0三、導(dǎo)數(shù)11-

x211-

x2111

x21

x213（.

arccotx）'

-12（.

arctanx）'

（-1

x

1）11（.

arccosx）'

-（-1

x

1）10（.

arcsinx）'

（二）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式9（.

secx）'

secx.tanx/（cscx）'

-cscx.cotx三、導(dǎo)數(shù)4（.v2u u'.v

-u.v'

v'）

（v

0）（三）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算公式1（. u

v）'

u'

v'2（. u.v）'

u'.v

u.v'3（. cu）'

cu（' c為常數(shù)）三、導(dǎo)數(shù)'（x）] f（' u）u（' x）解題思路：找出復(fù)合框架，y

f

(u),u

f

(x)y

f

(u),u

f(v),

v

f

(x)分別求導(dǎo)相乘

f

[

（四）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)如果函數(shù)u

（x）在點x處可導(dǎo)，函數(shù)y

f（u）在對應(yīng)點u處也可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y

f

[

（x）在] 點x處可導(dǎo)，且有dy

dy.

dudx du dx

y'x

y'u.u'x三、導(dǎo)數(shù)（五）參數(shù)方程表示的函數(shù)求導(dǎo)法則t''dt

dxdtdxdt

x't

.

v（'

t）t）

ydy

dy

dt

u（dx確定了y為x的函數(shù)，在計算此類由參數(shù)方程所確定的導(dǎo)數(shù)時，不需要先消去參數(shù)t后再進(jìn)行求導(dǎo).dyt）

y

v（

（t為參數(shù)）

x

u（t）一般的，如果參數(shù)方程三、導(dǎo)數(shù)（六）隱函數(shù)的求導(dǎo)解析法表示函數(shù)通常有兩種：（1）.y

f（x）來表示的，稱之為顯函數(shù)。如y

sinwx，y

exln（x

1

x

2）（2）.x與y之間的函數(shù)關(guān)系是由一

個方程F（x，y）

0來確定這種稱之為隱函數(shù)，如2x

y3

-1

0，xy

-

ex

ey

0對于隱函數(shù)的求導(dǎo)通常做法：可直接在方程F（x，y）

0的兩端同時對x求導(dǎo)，而把y視為中間變量，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法即可。(特殊情況：對數(shù)求導(dǎo)法時，先兩邊同時取對數(shù)，再求解）三、導(dǎo)數(shù)或dx dx

（ ）dx

2 dx dxd

2

y d dy2 2d

2

y d2

f''

''y''

（y）'

’，f（'' x）

[

f（' x）]'

或y

，f（x），（七）高階求導(dǎo)如果函數(shù)y

f（x）的導(dǎo)數(shù)y'

f（' x）仍是x的可導(dǎo)函數(shù)，那么就稱

f（'

x）的導(dǎo)數(shù)為

f（x）的二階導(dǎo)數(shù)，相應(yīng)地

f（'

x）稱為函數(shù)y

f（x）的一階導(dǎo)數(shù)

.二階導(dǎo)數(shù)記為四、微分1(v

0

)v

2u

vdu

udvudv

;

d

(

)vd(uv)

vdux

)

cos

xdxxln

aa(

4

)

d

(

e

x

)

e

x

dx

.(

5

)

d

log x

設(shè)

u

u

(

x

),

v

v

(

x

)

可微分，則d

(

cu

)

cdu

(

c

為常數(shù)）； d(u

v)

du

dv微分運(yùn)算公式(

6

)

d

(ln x

)

1dx.(7)d

(sinx(8

)

d

(cos x)

sin xdx函數(shù)的和、差、積、商dx(a

0,且a

1)（一）微分公式和微分法則微分公式：(1)d（

c）

（0 c為常數(shù)）（.

2）

d

(

x

a

)

ax

a

1

dx(3)d(ax)

axlnadx(a

0,且a

1)五、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（一）洛必達(dá)求導(dǎo)為“

”或“

”來求解

00

洛必達(dá)法則是求未定型極限的一種有效方法。其它類型未定式：0.

；

-

也可以變形為未定型極限，并分別簡記為“

”或“

”.0

0F

(x)如果當(dāng)x

a(或x

)時，函數(shù)f

(x)與F

(x)都趨于零或都趨于無窮大，則稱lim

f

(x)x

a(

x

)五、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（二）曲線的切線方程與法線方程0000'0 0 0'0 01f'(x

)1f'(x

)f (x

)(x

x

)y-f(x)

-y-f(x)

f (x)(x

x

)，法線方程為法線的斜率為-表示過曲線上點M

(x0，f

(x0

))的切線斜率，所以，過曲線上點M

(x0，f

(x0

))的切線方程為：若函數(shù)y

f

(x)在點x

處可導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知五、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（三）函數(shù)單調(diào)性判斷設(shè)函數(shù)f

(x)在區(qū)間(a,

b)內(nèi)可導(dǎo).如果在區(qū)間(a,

b)內(nèi)f

'

(x)

0,

則函數(shù)f

(x)在區(qū)間(a,

b)內(nèi)是遞增的；如果在區(qū)間(a,

b)內(nèi)f

'

(x)

0,

則函數(shù)f

(x)在區(qū)間(a,

b)內(nèi)是遞減的。注：f

(x)在個別點處f

'

(x)

0不影響f

(x)的單調(diào)性.五、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用'若f

''

(x

)

0，f

(x

)為極大值，x

為極大值點；0 0 0若f

''

(x

)

0，f

(x

)為極小值，x

為極小值點；0 0 0若f

''

(x

)

0，此方法不能判定x

是否為極值點，而改用0 0極值第一充分條件來判定。2.極值的第二充分條件設(shè)函數(shù)y

f

(x)在x0處存在二階導(dǎo)數(shù)，且f

(x)

0，則（四）函數(shù)的極值1.極值的第一充分條件設(shè)f

(x)在x0的某領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo).若x

x

時，f

'

(x)

0，x

x

，f

'

(x)

0時則稱x

為極大值點，f

(x

)為極大值0 0 0 0若x

x

時，f

'

(x)

0，x

x

，f

'

(x)

0時則稱x

為極小值點，f

(x

)為極小值0 0 0 0如果f

'

(x)在x

兩側(cè)的符號相同，那么x

不是極值點。0 0五、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（四）函數(shù)的極值極值存在的必要條件：設(shè)函數(shù)f

(x)在x0可導(dǎo)，且在點x0處取得極值，則必有f

'

(x

)

0，稱滿足f

'

(x

)

0的點為函數(shù)f

(x)的駐點，0 0由此可知，可導(dǎo)函數(shù)的極值點必為駐點。五、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（五）曲線的凹凸性及拐點曲線凹凸性的判別法：設(shè)函數(shù)y

f

(x)在[a,

b]上連續(xù)，在（a,

b）內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么若在（a,

b）內(nèi)，f

''

(x)

0,則f則f

(x)在[a,

b]上的圖形是凹的若在（a,

b）內(nèi)，f

''

(x)

0,則f則f

(x)在[a,

b]上的圖形是凸的曲線的拐點：在連續(xù)的曲線上的凹弧與凸弧之間的分界點稱為曲線的拐點。五、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用稱直線x

a是曲線y

f

(x)的鉛直漸近線.x

a（六）曲線的水平漸近線與鉛直漸近線定義：若

lim f

(x)

A或lim f

(x)

A或lim

f

(x)

A，則x

x

-

x

稱直線y

A是曲線y

f

(x)的水平漸近線.若lim f

(x)

或

lim f

(x)

或lim

f

(x)

，則x

a

x

a

六、不定積分（一）原函數(shù)區(qū)間上f

(x)的原函數(shù)的全體，稱為f

(x)在I上的不定積分記為

f

(x)dx.如果F（x）為f

(x)的一個原函數(shù)，則有

f

(x)dx

F（x）

C，其中C為任意常數(shù).六、不定積分（二）不定積分區(qū)間上f

(x)的原函數(shù)的全體，稱為f

(x)在I上的不定積分記為

f

(x)dx.如果F（x）為f

(x)的一個原函數(shù)，則有

f

(x)dx

F（x）

C，其中C為任意常數(shù).六、不定積分（三）不定積分的性質(zhì)（2）

dF(

x)

F

(

x)

C

,

F

'

(

x)dx

F

(

x)

C（3）

kf

(

x)dx

k

f

(

x)dx

(k為常數(shù)）（4）

f

(

x)

g

(

x)

dx

f

(

x)dx

g

(

x)dx（1）

f（

x）

dx

'

f（

x）,

d

f

(

x)dx

f

(

x)dx六、不定積分（四）基本積分公式xa

xx

exdx

ex

C

sinxdx

cosx

C

cosxdx

sinx

C(3)

a dx

lna

C(a

0,a

1)(2)

1dx

lnx

Ca

1（1）

xa

dx

1 xa

1

C(a

1)六、不定積分（四）基本積分公式

dx

arctanx

C1

x12（8）

1 dx

arcsinx

C1

x

2（7）六、不定積分（五）求不定積分的兩種常用方法：一、換元積分法（湊微分法）設(shè)f(u)有原函數(shù)F

(u)，且u

v(x),則F[v(x)]是f

[v(x)]v'

(x)的原函數(shù)，即有：

f

[v(x)]v'

(x)dx

F[v(x)]

C二、分部積分法設(shè)u、v都是x的可微函數(shù)，則有

udv

uv

vdu七、定積分稱f(x)在區(qū)間[a,

b]上可積.其中f(x)稱為被積函數(shù)，

f(x)dx稱為被積表達(dá)式，

x稱為積分變量，[a,

b]稱為積分區(qū)間，

a稱為積分下限，b稱為積分上限.f

(x)dxba

（一）定積分的定義七、定積分

f(x)dx

0f

(x)dxf(x)dx

-f

(t)dt.f(x)dx

abb aabaab ba特別地有a積分上下限，必須改變定積分的符號，即（2）定積分 f

(x)dx中，上下限的大小沒有限制，但若顛倒符號無關(guān)，即應(yīng)有（二）定積分的注意點注意：（1）定積分若存在，它只是一個確定的常數(shù)，它只與被積函數(shù)f

(x)及積分區(qū)間[a,

b]有關(guān)，而與積分變量的七、定積分

ab baab cba cba ab baab baf

(x)dx

g(x)dxf

(x)dx

f

(x)dxf(x)dx

f

(x)dx

g(x)dx[

f

(x)

g(x)]dx

kf(x)dx

k f

(x)dx4.如果在區(qū)間[a,b]上，總有f

(x)

g(x),則有可以推廣到有限個函數(shù)的代數(shù)和的情況.3.定積分的可加性：如果積分區(qū)間[a,b]被點c分成兩個小區(qū)間[a,

c]與[c,b]，則有2.兩函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們的定積分的代數(shù)和即有（三）定積分的性質(zhì)1.常數(shù)可以提到積分號之外，即若k為常數(shù)，則有baba

F

(b)

F

(a)f(x)dx

F

(x)

七、定積分（四）牛頓——萊布尼茨公式如果F

(x)是連續(xù)函數(shù)f

(x)在區(qū)間[a,

b]上任意一個原函數(shù)則有

aabaf

(x)dxf

(x)dx即S

-(2)當(dāng)f

(x)

0時，曲邊梯形aABb的面積S如圖2.b曲邊梯形aABb的面積S，即S

y

f

(x),直線x

a,

x

b(a

b)和x軸所圍成的bf

(x)dx表示由連續(xù)曲線（1）當(dāng)f

(x)

0時，定積分（五）定積分的幾何意義（五）定積分的幾何意義——求平面圖形面積七、定積分acdcaba

S

S

S

(

y)

dy(

y)

dyf(x)

dxf2

(x)

f1

(x)

dxf2

(x)

y

f1

(x)2 1f2

(x)

f1

(x)

dx記為a,

及交點中x的最大值，記為

b，則b，得出交點中

x的最小值，先求兩條曲線的交點，

只需求解方程組：

y

(5)由y

f1

(x)，y

f2

(x)所圍成的封閉平面圖形

的面積S

:(2)由y

f1

(x)，y

f2

(x)，x

a,

x

b(a

b)所圍成的封閉平面圖形

的面積S

:b（1）由y

f

(x),

x

a,

x

b(a

b)及x軸所圍成的封閉平面圖

形的面積S:S

(

y)

(4)由x

1

(

y),

x

2

(

y),

y

c,

y

d

(c

d

)所圍成的封閉平面圖形

的面積S

:dS

（3）由x

(

y),

y

c,

y

d

(c

d

)及y軸所圍成的封閉平面圖

形的面積S:七、定積分cycyaxax

dV

2(

y)dydV

2(

y)dybV

f2(

x)dxbV

f2(

x)dx(4)曲邊梯形x

(

y)，y

c,

y

d

(c

d

)及Oy軸所圍成的圖形繞Oy軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積

Vy

:（3）曲線段x

(

y)，c

x

d

(c

d

)繞Oy軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積

Vy

:(2)曲邊梯形y

f

(

x)，x

a,

x

b(a

b)及Ox軸所圍成的圖形繞Ox軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積

Vx

:（五）定積分的幾何意義——求旋轉(zhuǎn)體體積（1）曲線段y

f

(

x),

a

x

b繞Ox軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積

Vx

:七、定積分dcybax

2 22 1f

2

(

x)

f

2

(

x)

dx2 1V

(

y)

(

y)

dyV

(6)由x

1

(

y)，x

2

(

y)，y

c,

y

d

(c

d

)所圍成的圖形繞Oy軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積

Vy

:（五）定積分的幾何意義——求旋轉(zhuǎn)體體積(5)由y

f1

(

x)，y

f2

(

x)，x

a,

x

b(a

b)所圍成的封閉圖形繞Ox軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積

Vx

:八、多元函數(shù)（一）多元函數(shù)定義定義：設(shè)D為xOy平面上的一個區(qū)域，如果對于D上的每一點P（x,

y），變量z依照某一規(guī)律f有唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，則稱z為x,

y的函數(shù)，記作z

f(x,

y)類似的可以定義三元函數(shù)，記作u

f(x,y,

z)二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱多元函數(shù).八、多元函數(shù)（二）偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法：求二元函數(shù)z

f

(x,

y)對x和y的偏導(dǎo)數(shù)，并不需要新的方法，當(dāng)求f

(x,

y)對x的偏導(dǎo)數(shù)時，只要將二元函數(shù)中的y看成是常數(shù)，而對x求導(dǎo)數(shù)就行了.同理，求f

(x,

y)對y的偏導(dǎo)數(shù)時，只要將二元函數(shù)中的x看成是常數(shù)，而對y求導(dǎo)數(shù)就行了.如果要求f

(x,

y)在點（x0

,

y0）處的偏導(dǎo)數(shù)，只需在偏導(dǎo)函數(shù)中將x

x0，y

y0帶入即可。'' ''''''''''''''稱yyyxxyxx， 為z

f

(

x,

y

)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)

.

x

y

y

x

2

z

2z

z

f yy(x,y

)

z

2z

y(

y

)

y

2

f yx(x,y

)

f xy(x,y

)

y(

x

)

x

y

z

z

2

z

x(

y

)

y

x

z

z

f xx(x,y

)

x(

x

)

x

2

z

2z

z

2z八、多元函數(shù)（三）二階偏導(dǎo)數(shù)八、多元函數(shù)（四）二元函數(shù)極值解題思路：設(shè)函數(shù)

z

f(

x,

y)在點（

x0

,

y0

)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階和二階連

續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f'x

(

x ,

y )

0,f'y

(

x ,

y )

00 0 0 0又設(shè)f''xx

(

x ,

y )

A,f''xy

(

x ,

y )

B,f''yy

(

x ,

y )

C0 0 0 0 0 0則（1）當(dāng)B

2

-AC

0時，函數(shù)f

(

x,

y)在點（

x ,

y )處取得0 0極值，且當(dāng)A

0時時有極大值，當(dāng)

A

0時有極小值.B

2

-AC

0時，函數(shù)f

(

x,

y)在點（

x ,

y )處無極值.0 0B

2

-AC

0時，函數(shù)f

(

x,

y)在點（

x ,

y )處極值不能確定.0 0

x

y

x

y

f

f

f

f

x

y， 存在?？晌⒌某浞謼l件是

，

存在且連續(xù)。全微分dz

f dx

f dy類似地，若三元函數(shù)

u

f

(x,

y,

z)可微，則du

f dx

f dy

f dz

x

y

z一元函數(shù)y

f

(x)在點x處可導(dǎo)與可微是等價的。二元函數(shù)z

f

(x，y)可微與偏導(dǎo)數(shù)存在的關(guān)系是：函數(shù)z

f

(x，y)在點(x，y)處可微的必要條件是偏導(dǎo)數(shù)八、多元函數(shù)（五）全微分

dxy

ep

(

x)dxp

(

x)dxq(x)e dx

Cdy

p(x)

y

q(x)的解法，可用公式法求解可分離變量的解法一階線性微分方程九、常微分方程（一）一階微分方程若y

C

y

C

y

為對應(yīng)的齊次方程的通解，y

為非齊次方程的特解r

xr

xr

x則C1

y1

C2

y22 2y

為非齊次方程的通解1 11 2 1 21 2y''(2)

p2

4q

0,

兩個相等的實根r

,

r

，y

(C

C

x)e1 2 1 2(1)

p2

4q

0,

兩個不等的實根r

,

r

，y

C

e

Ce特征方程r

2

pr

q

0的根r

,

rpy

'

qy

0的通解形式121(3)

p2

4q

0,

一對共軛復(fù)根r

,

r

i，y

e

x(Ccos

x

C sin

x)1 2 1 2九、常微分方程（二）二階線性微分方程（二）收斂與發(fā)散n

n

極限值S稱為級數(shù)的和，或者說

級數(shù)

un收斂收斂于

S，記為

un

S.反之，若極限

lim

Sn不存在，則稱級數(shù)發(fā)散

。如果數(shù)列

Sn

有極限，即

limSn

S

,

則稱級數(shù)

un收斂.n

1n

1n

1un

...

un為無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)

，而稱u1為首項，n

1un為級數(shù)的一般項。（一）定義：設(shè)有數(shù)列

un

(n

1,2,...),

稱表達(dá)式

u1

u2

...九、無窮級數(shù)收斂。級數(shù)若級數(shù)（三）收斂級數(shù)的必要條件

211n

1n

1n

1nnn

nn

n

1