劉蔣?。?021年江蘇高考數(shù)學(xué)極值點(diǎn)偏移壓軸題出題背景及命題推廣

劉蔣?。?021年江蘇高考數(shù)學(xué)極值點(diǎn)偏移壓軸題出題背景及命題推廣(2021年江蘇新高考數(shù)學(xué)第22題)，設(shè)、為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明： 關(guān)于“出題背景”的一點(diǎn)思考 我們知道是的上凸函數(shù)。不妨設(shè)，等分區(qū)間，設(shè)記，則。由琴生不等式，得：又因?yàn)閯t即：由定積分的定義，可得：③又因?yàn)?，所以③式可化為：化簡得：④這里取，即：，④式即為：，可得：于是生成如下試題：設(shè)、為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：命題推廣（命題推廣）已知，對于連續(xù)函數(shù)，有由于在上連續(xù)，所以，我們知道是的上凸函數(shù)。不妨設(shè)，等分區(qū)間，設(shè)記，則。由琴生不等式，得：又因?yàn)閯t，即：根據(jù)的連續(xù)性，兩邊取極限，得：即：即：，證畢！上式中的“”可以取任意大于0的連續(xù)函數(shù)，有了上述“命題推廣”中的不等式，可以構(gòu)造出很多不等式。譬如：，則即：，這里取，即：，可得：再如：，則即：，這里取，即：，可得：，又由對數(shù)平均值不等式，可得：，，即：（改編題）設(shè)、為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：請讀者自作（編題訓(xùn)練）請你根據(jù)下面的命題，選取大于0的連續(xù)函數(shù)，命制一道“函數(shù)與不等式”的綜合題。命題：已知，對于連續(xù)函數(shù)，有那么，同學(xué)們會怎么做呢？下面介紹常規(guī)的通性通法之“構(gòu)造函數(shù)法”。構(gòu)造函數(shù)法第一步：簡化問題由，得：，，為變換得出欲證不等式中的“，”，分子分母同除以，整理得：，即：令，，則原問題等價(jià)于：已知，且，，證明：第二步：確定所在區(qū)間令，得為的極值點(diǎn)。易得：在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。同時(shí)，。所以，不妨設(shè)，可得：“”與“”第三步：運(yùn)用“分析法+單調(diào)性”完成證明①運(yùn)用“分析法”對欲證不等式化歸與轉(zhuǎn)化：要證“”，只要證：“”，即證：不等式“”；只要證：只要證：，其中②變換到同一單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用單調(diào)性脫“”而，在上單調(diào)遞增。（注：不存在，故轉(zhuǎn)而研究）所以，，即：，其中，，即：“、”在同一單調(diào)區(qū)間；由單調(diào)性脫“”，得：，即：————————①則，令，則，即：，解得：（，故舍去）易得：當(dāng)時(shí)，，，同理，當(dāng)時(shí)，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。故，（因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以）。注意到：（此處，用到洛必達(dá)公式，如何避免？請讀者自行思考。）故，，即：，“、”在同一單調(diào)區(qū)間；由單調(diào)性脫“”，得：，即：————————②綜合①、②可得：，證畢！作者簡介：劉蔣巍，CNKI大成編客推薦主編，《課程教育研究》特約編委,學(xué)思堂教育研究院院長，師生成長高級研修院院長，中學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維聯(lián)盟公益大使。在《高等數(shù)學(xué)研究》、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》等雜志發(fā)表論文30余篇，著有《命題轉(zhuǎn)換的9種方法在教學(xué)中的運(yùn)用》、《中學(xué)學(xué)科學(xué)法指導(dǎo)：學(xué)思堂教研成果集》、《教學(xué)之道28篇》、《中考數(shù)學(xué)解題策略》、《江蘇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》、《升學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷的命制》、《數(shù)學(xué)題的命制與改編設(shè)計(jì)》、《中高考數(shù)學(xué)命題技術(shù)研究》等書籍20余本。擁有《學(xué)生成績改善問題及干預(yù)措施》、《LSMF教學(xué)法、EBASV教學(xué)法與漸進(jìn)式提問》等版權(quán)課程，擁有《師生成長高