第1章 概率論的基本概念課后練習及其詳解

1654年,一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒約定賭若干局,且誰先贏

c局便算贏家,若在一賭徒勝

a局(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時便終止賭博,問應如何分賭本”

為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費馬通信討論這一問題,于1654年共同建立了概率論的第一個基本概念數(shù)學期望.概率論的誕生及應用1.概率論的誕生12.概率論的應用

概率論是數(shù)學的一個分支,它研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律.概率論的廣泛應用幾乎遍及所有的科學領(lǐng)域,例如天氣預報,地震預報,產(chǎn)品的抽樣調(diào)查;在通訊工程中可用以提高信號的抗干擾性,分辨率等等.2基本概念與理論一維隨機現(xiàn)象高維隨機現(xiàn)象數(shù)字特征極限定理

概率論部分3第一章概率論的基本概念

第一節(jié)隨機事件的基本概念

第四節(jié)等可能概型(古典概型)

第三節(jié)頻率與概率

第五節(jié)條件概率

第六節(jié)事件的獨立性第二節(jié)事件的關(guān)系和運算4一、隨機現(xiàn)象

二、隨機試驗第一節(jié)隨機事件的基本概念五、小結(jié)三、樣本空間樣本點四、隨機事件的概念5在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

“太陽不會從西邊升起”,1.確定性現(xiàn)象

“同性電荷必然互斥”,“水從高處流向低處”,實例：自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象、隨機現(xiàn)象一、隨機現(xiàn)象

6在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.實例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.2.隨機現(xiàn)象“函數(shù)在間斷點處不存在導數(shù)”等.結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.確定性現(xiàn)象的特征條件完全決定結(jié)果7結(jié)果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.實例3

“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)”.實例2

“用同一門炮向同一目標發(fā)射多發(fā)同一種炮彈,觀察彈落點的情況”.結(jié)果:“彈落點會各不相同”.8實例4

“從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個產(chǎn)品”.其結(jié)果可能為:

正品

、次品.實例5

“過馬路交叉口時,可能遇上各種顏色的交通指揮燈”.實例6“一只燈泡的壽命”可長可短.9隨機現(xiàn)象的特征條件不能完全決定結(jié)果隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的.問題什么是隨機試驗?如何來研究隨機現(xiàn)象?101.可以在相同的條件下重復地進行;2.每次試驗的可能結(jié)果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果;3.進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).定義：在概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗.二、隨機試驗11說明：

1.隨機試驗簡稱為試驗,是一個廣泛的術(shù)語.它包括各種各樣的科學實驗,也包括對客觀事物進行的“調(diào)查”、“觀察”、或“測量”等.實例

“拋擲一枚硬幣,觀察正面,反面出現(xiàn)的情況”.分析：

2.隨機試驗通常用E來表示.(1)試驗可以在相同的條件下重復地進行;121.“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)”.2.“從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù)”.同理可知下列試驗都為隨機試驗(2)試驗的所有可能結(jié)果:正面，反面;(3)進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).故為隨機試驗.133.記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等車人數(shù).4.考察某地區(qū)10月份的平均氣溫.5.從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.14三、樣本空間樣本點規(guī)定不含任何元素的空集為不可能事件，用表示。定義1.1：對于隨機試驗E，它的每一個可能結(jié)果稱為樣本點，由一個樣本點組成的單點集稱為基本事件。所有樣本點構(gòu)成的集合稱為E的樣本空間或必然事件，用

或S表示。15TH16THTHHHTT17THTHHHTT1次0次2次有限樣本空間18在某一批產(chǎn)品中任選一件，檢驗其是否合格19記錄某大超市一天內(nèi)進入的顧客人數(shù)

在一大批電視機中任意抽取一臺，測試其壽命

觀察某地明天的天氣是雨天還是非雨天

無限樣本空間20注意1.樣本空間的元素可以不是數(shù)；2.樣本空間至少有兩個樣本點。21隨機事件：隨機試驗E的樣本空間S的子集(或某些樣本點的集合），稱為E的隨機事件,簡稱事件.四、隨機事件的概念22在一大批電視機中任意抽取一臺，測試其壽命規(guī)定電視機的壽命超過10000小時時為合格品

滿足這一條件的樣本點組成的一個子集

稱為隨機試驗的一個隨機事件

23基本事件：隨機試驗有兩個基本事件和

隨機試驗有三個基本事件、和樣本空間的兩個特殊子集

它包含了試驗的所有可能的結(jié)果，所以在每次試驗中它總是發(fā)生，稱為必然事件

它不包含任何樣本點，因此在每次試驗中都不發(fā)生稱之為不可能事件

由一個樣本點組成的單點集

24寫出擲骰子試驗的樣本空間,基本事件,

事件A—出現(xiàn)偶數(shù),事件B—出現(xiàn)奇數(shù)例：事件C=“出現(xiàn)的點數(shù)小于7”，事件D=“出現(xiàn)的點數(shù)大于6”

基本事件解：用

表示擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)為

25(1)樣本點也是一個隨機事件，它是不可分割的基本的隨機事件(2)隨機事件是由樣本點構(gòu)成的，它可以分解成樣本點(基本隨機事件)的并集樣本點←→元素隨機事件←→集合隨機事件A

發(fā)生

A

中的某一個樣本點發(fā)生樣本點

發(fā)生

所有包含這個

的隨機事件都發(fā)生區(qū)別樣本點與隨機事件26

五、小結(jié)隨機現(xiàn)象的特征:1條件不能完全決定結(jié)果.2.隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的.(1)可以在相同的條件下重復地進行;(2)每次試驗的可能結(jié)果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果;(3)進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).隨機試驗27每一個隨機試驗相應地有一個樣本空間,樣本空間的子集就是隨機事件.隨機試驗樣本空間子集隨機事件必然事件、不可能事件是兩個特殊的隨機事件3.隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關(guān)系28一、隨機事件的關(guān)系第二節(jié)事件的關(guān)系和運算三、小結(jié)二、隨機事件的運算29

1.包含關(guān)系若事件A出現(xiàn),必然導致B出現(xiàn),則稱事件B包含事件A,記作實例

“長度不合格”必然導致“產(chǎn)品不合格”所以“產(chǎn)品不合格”包含“長度不合格”.圖示

B包含

A.

BA一、隨機事件間的關(guān)系30

2.相等關(guān)系A(chǔ)

B

而且B

A.

則稱事件A與事件B相等,記作A=B.3.互不相容(互斥)關(guān)系若事件A、B不可能同時發(fā)生，則稱事件A與B互不相容.實例1:

拋擲一枚硬幣,“出現(xiàn)花面”與“出現(xiàn)字面”是互不相容的兩個事件.31“骰子出現(xiàn)1點”“骰子出現(xiàn)2點”圖示A與B互斥

AB互斥實例2:拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).即AB=321.事件的和(并)實例

某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品不合格”是“長度不合格”與“直徑不合格”的并.圖示事件

A與

B的并.

BA二、隨機事件間的運算332.事件的交

(積)推廣34圖示事件A與B

的積事件.

ABAB實例某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品合格”是“長度合格”與“直徑合格”的交或積事件.35和事件與積事件的運算性質(zhì)363.事件的差圖示A與B的差

AB

B實例“長度合格但直徑不合格”是“長度合格”與“直徑合格”的差.A事件“A出現(xiàn)而B不出現(xiàn)”，稱為事件A與B的差.記作A-B.37若事件A、B滿足則稱A與B為互逆(或?qū)α?事件.A的逆記作實例

“骰子出現(xiàn)1點”“骰子不出現(xiàn)1點”圖示A與B的對立.

BA4.事件的互逆（對立）對立38對立事件與互斥事件的區(qū)別

ABABA、B對立A、B互斥互斥對

立39例1設(shè)A,B,C表示三個隨機事件,試將下列事件用A,B,C表示出來.(1)A出現(xiàn),B,C不出現(xiàn);(5)三個事件都不出現(xiàn);(2)A,B都出現(xiàn),C不出現(xiàn);(3)三個事件都出現(xiàn);(4)三個事件至少有一個出現(xiàn);40解(6)不多于一個事件出現(xiàn);41事件間的運算規(guī)律42逆分配律43例3

化簡事件解：

原式44例4

在圖書館中隨意抽取一本書，表示數(shù)學書，表示中文書，表示平裝書.——抽取的是精裝中文版數(shù)學書——精裝書都是中文書——非數(shù)學書都是中文版的，且中文版的書都是非數(shù)學書則：事件451、注意下列基本關(guān)系：基本事件互不相容，基本事件之并=Ω

三、小結(jié)4647

2、概率論與集合論之間的對應關(guān)系記號概率論集合論樣本空間,必然事件不可能事件基本事件隨機事件A的對立事件A出現(xiàn)必然導致B出現(xiàn)事件A與事件B相等全集空集元素子集A的補集A是B的子集A集合與B集合相等48事件A與事件B的差A與B兩集合的差集事件A與B互不相容A與B兩集合中沒有相同的元素事件A與事件B的和A集合與B集合的并集事件A與B的積事件

A集合與B集合的交集491.若A是B的子事件，則

A

B=()，AB=()2.設(shè)

A與B同時出現(xiàn)時

C也出現(xiàn)，則(

)

①

A

B是

C的子事件；

②

C是

A

B的子事件；

③

AB是

C的子事件；

④

C是

AB的子事件.課堂練習③BA50

3.

設(shè)事件A=“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則A的對立事件為（）①甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷；②甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷；③甲種產(chǎn)品滯銷；④甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷.4.設(shè)x

表示一個沿數(shù)軸做隨機運動的質(zhì)點位置，試說明下列各對事件間的關(guān)系①A={|x

a|＜σ}，B={x

a＜σ}②A={x＞20}，B={x≤22}③A={x＞22}，B={x＜19}④A

B相容不相容51第三節(jié)頻率與概率歷史上概率的三次定義③公理化定義②統(tǒng)計定義①古典定義概率的最初定義基于頻率的定義1930年后由前蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫給出52

柯爾莫哥洛夫

(A.H.Колмогоров1903-1987)

1939年任蘇聯(lián)科學院院士.先后當選美,法,意,荷,英,德等國的外籍院士及皇家學會會員.為20世紀最有影響的俄國數(shù)學家.俄國數(shù)學家53一.頻率的定義與性質(zhì)描述一個隨機事件發(fā)生的頻繁程度1.頻率定義在相同的條件下，進行了

n次重復試驗，記

nA

是A

發(fā)生的次數(shù)(又稱為頻數(shù))；則定義隨機事件

A發(fā)生的頻率為

fn(A)=——。

nA

n542.

頻率的性質(zhì)

(1)(非負有界)0≤fn(A)≤1;(2)(規(guī)范性)

fn(S)=1;(3)(有限可加)

如果A1，A2，···，Am

兩兩互不相容，則有：

fn(A1＋A2＋···＋Am)=fn(A1)＋fn(A2)＋···＋fn(Am)55實例將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做

7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.試驗序號12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波動最小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性56(1)

頻率具有隨機波動性，即對于同一個隨機事件來說，在相同的試驗次數(shù)下，得到的頻率也不一定會相同。(2)

頻率還具有穩(wěn)定性，它總是在某一個具體數(shù)值附近波動，而隨著試驗次數(shù)的不斷增加，頻率的波動會越來越小，逐漸穩(wěn)定在這個數(shù)值。大量的隨機試驗表明：頻率的這種穩(wěn)定性表明了隨機現(xiàn)象也具有規(guī)律性，稱為是統(tǒng)計規(guī)律(大量試驗下體現(xiàn)出來的規(guī)律)。57

概率的統(tǒng)計定義在相同條件下重復進行的n

次試驗中,事件A

發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動,

且隨n越大擺動幅度越小,則稱p為事件A

的概率,記作P(A).對本定義的評價優(yōu)點：直觀易懂缺點：粗糙模糊不便使用二.概率的定義581.定義:

S

是隨機試驗E

的樣本空間，如果對于

每一個隨機事件

A

定義一個實數(shù)

P(A)，滿足：(1)

(非負性)對任意的隨機事件

A，有P(A)≥0；(2)

(規(guī)范性)對必然事件

S，有P(S)=1；(3)(可列可加)

對于任意一列兩兩不相容的隨機事件

A1，A2，···，則有：

P

(A1＋A2＋···)=P

(A1)＋P

(A2)＋···則這個集合函數(shù)

P(A)

就稱為隨機事件

A

的概率。

概率的公理化定義59(1)

不可能事件的概率為零：P

(

)=0；(2)

有限可加性：對于任意有限個兩兩不相容的隨機事件

A1，···，Am，則有：

P

(A1＋···

＋Am)=P

(A1)＋···

＋P

(Am)；(3)

概率具有單調(diào)性：如果A

B，則P

(A

)≤P

(B

)；(4)隨機事件的概率不超過1：P

(A

)≤1。2.概率的基本性質(zhì)證明：利用概率定義中的可列可加以及非負性等。60三.概率的幾個重要公式1.對立事件的概率，P

()=1–P

(A

)。2.減法公式，P

(B–A)=P

(B

)–P

(AB

)。3.加法公式，P

(A∪B

)=P

(A

)+P

(B

)–P

(AB

)。推論：P

(A∪B

)≤

P

(A

)+P

(B

)特別的當A

B，則P(B–A)=P(B)–P(A)61推廣一般的加法公式對于任意的n

個隨機事件A1，A2，···，An

，有

P

(A1∪A2∪···∪An)=練習：利用概率的加法公式證明：P

(A∪B∪C

)=P

(A)+P

(B)+P

(C)–P

(AB)–P

(BC)–P

(AC)+P

(ABC)62例1：假定“B

發(fā)生而A

不發(fā)生”

的概率是0.2，計算“A

發(fā)生或者B

不發(fā)生”的概率。分析：轉(zhuǎn)化成符號表示，即已知P

(B–A)=0.2，需要計算的是概率：解法1.利用對立事件的概率公式解法2.利用概率的加法公式□63例2

：假定

P(A)=0.3，P(B)=0.5，分別計算(1)

A、B

不相容；(2)

A

B；(3)P(A∪B)=0.7時，概率P(B–

A)的值。

分析：由減法公式，P

(B–A)=P

(B

)–P

(AB

)

只需要計算出概率P(AB)。(1)

A、B互不相容即AB=

，得到

P

(B–A)=0.5；(2)A

B等價于AB=A，得到P(B–A)=0.2；(3)利用加法公式的另一形式：

P(A∪B)=P(A)+P(B–A)，得到P(B–A)=0.4。64例3

假定

P(A)=0.6，P(B)=0.7，

(1)什么情況下

P(AB)最大？最大值是多少？

(2)什么情況下P(AB)最小？最小值又是多少？解：(1)

對任意事件

A、B，P(AB)有一個上界，

P(AB)≤

min{P(A)，P(B)}；

(2)

根據(jù)概率的加法公式，

P

(A∪B

)=P

(A

)+P

(B

)–P

(AB

)

當

P(A∪B

)最大時，P(AB)

最小。A

B時P(AB)最大，最大值就等于P(A)=0.6A∪B=S

時P(AB)最小，最小值就是P(AB)=0.365例4：假定某學院一年級新生共1000人都參加期末

3門課程(數(shù)學、英語、政治)考試。已知數(shù)據(jù)如下：問三門課程都不及格的有多少人？或者等價的，全部課程都不及格的學生占多大的比例？730690810數(shù)學780英語850政治940100065066分析：從這1000個學生中隨機地選取一個，分別用A、B、C表示如下事件：

A={數(shù)學及格}，B={英語及格}，C={政治及格}

需要求出的是概率：根據(jù)題意，有：

P(A)=0.78,P(B)=0.85,P(C)=0.94,P(AB)=0.73,P(AC)=0.69,P(BC)=0.81,P(ABC)=0.65;

利用概率的加法公式可算出P

(A∪B∪C

)=0.99，因此隨機選一個學生，他的三門課程都不及格的概率=1–P

(A∪B∪C

)=0.0167例5：小王參加“智力大沖浪”游戲,他能答出甲、乙二類問題的概率分別為0.7和0.2,

兩類問題都能答出的概率為0.1.求小王解：事件A,B分別表示“能答出甲,乙類問題”(1)(1)答出甲類而答不出乙類問題的概率

(2)至少有一類問題能答出的概率

(3)兩類問題都答不出的概率(2)(3)68第四節(jié)等可能概型

(古典概型)一.等可能概型

(古典概型)的定義如果一個隨機試驗

E

滿足：(1)試驗的樣本空間

S只包含有限個樣本點，(2)

每一個樣本點發(fā)生的可能性相同。這種隨機試驗就稱為等可能概型，或古典概型。古典概率的計算公式P(A)=———————————————隨機事件A包含的樣本點個數(shù)樣本空間S包含的樣本點總數(shù)69例1：拋一枚均勻硬幣三次，計算P{恰好出現(xiàn)一次正面

}。提示：這里有兩種構(gòu)造樣本空間的形式，①以隨機試驗的全部結(jié)果構(gòu)造

S1={HHH，HHT，HTH，HTT，THH，

THT，TTH，TTT}

因此P(A)=3/8；古典概型問題中，樣本空間的構(gòu)造必須保證其中的每個樣本點發(fā)生的可能性都相同。此解法不正確，因為各基本事件發(fā)生的可能性不等。②以正面出現(xiàn)的次數(shù)構(gòu)造

S2={0，1，2，3}因此P(A)=1/4。701.加法原理與乘法原理假設(shè)做一件事情可以采用A

或B

兩類不同的方式，A方式有n

種不同的方法可以完成這件事，B

方式有m

種不同的方法可以完成這件事，則完成這件事情一共有n＋m

種不同的方法。如果有若干類方式，就把所有方式的各種方法全部相加二.排列組合的有關(guān)知識加法原理71則從甲城市到乙城市一共有：2＋4＋3=9條線路

：2

：4

：3城市甲城市乙例2：分析兩顆均勻骰子拋擲出的點數(shù)和{2，3，…，12}的全部情況，它們各自對應多少個樣本點？72假設(shè)做一件事必須經(jīng)過A

與B

兩個不同的步驟，步驟A包含了n

種不同的方法，步驟B包含了m

種不同的方法，則完成這件事情一共有n×m

種不同的方法。如果有若干個步驟，就把所有步驟的各種方法全部相乘乘法原理73

：2

：4

：3城市甲城市乙鄉(xiāng)村丙

2

3從甲城市到丙鄉(xiāng)村的線路一共有：9×(3＋2)條。74從

n

個不同的物體中，無放回地任意取出

m

個(1≤

m

≤

n)排成有順序的一列，稱為

n

取

m

的不可重復排列

(又稱為：選排列

)

。(1)不可重復的排列2.基本的排列組合公式不同的排列方法一共有：

Pnm=n×(n–1)×…×(n–m+1)=————例如：從26個英文字母中任取2個字母排列，所有不同的方式一共有P262=26×25=650。

n!(n–m)!75思考1：假定40個人的生日都是隨機地分布在一年的365

天中，則“沒有兩個人的生日相同”所包含的不同排列方式一共有P36540

。

把m

個不同的小球隨機地放進n個不同的盒子中，每個盒子里的小球最多只能有一個。所有不同的放法一共有Pnm

種。有限制放球模型

不可重復排列76(2)可重復的排列從n個不同元素中允許放回地任意取m個出來排成有順序的一列(即取出的這些元素可以相同)。所有不同的排列方式一共有

n×n×…×n=nmm例如，一個城市的電話號碼是

8位數(shù)字，那么理論上這個城市可以容納

108

，即一億個電話。足球彩票有313種可能，可能等等。77無限制放球模型

允許重復排列把m

個不同的小球隨機地放進n個不同的盒子中，每個盒子里的小球個數(shù)不加任何限制。所有不同的放法一共有nm

種。思考2：假定40個人的生日都是隨機地分布在一年的365

天中，則所有不同的排列方式一共有36540

。

78(3)二項式組合從n個不同元素中不允許放回，任意取m個(

m

≤

n)來構(gòu)成一個集合，稱為

n

取

m

的組合。構(gòu)成這個集合的不同的組合方法一共有Cnm

。幾個基本的組合公式：

Cnm=Cnn–m

，Cn0=Cnn=1，

Cnm=——————=——

n!Pnmm!(n–m)!m!79例4：某人的

10張100元紙幣中有

3張假鈔，現(xiàn)在從中隨機抽出

4張。

則所有不同的取法一共有：

恰好只取出一張假鈔的所有取法共有：C104=——————=210種，C31×C73=3×————=105種，恰好只取出一張假鈔的概率為105/210=0.5，同理，取到的全是真幣的概率為35/210=1/6。思考3：假如這是一個賭局。當取到的4張都是真幣，則歸你所有；否則輸100元。你是否愿意參加？

10×9×8×74!

7×6×53!80例如，把15個學生平均分到3個班里，每班

5個，則所有不同的分配方案有：__________(4)多項式組合把n

個不同的元素分成k個部分，各個部分包含的元素個數(shù)分別是：m1，m2，…，mk

；則全部不同的分配方式一共有：二項式組合的推廣

15!5!×5!×5!81(2)介紹的4種排列組合方式都具有等可能性。Remark(1)排列與組合的區(qū)別在于：

排列必須考慮順序，而組合不考慮順序。(3)排列與組合都可以用來構(gòu)造樣本空間。古典概率的計算，一般是先求出樣本空間里的樣本點總數(shù)，再從中挑選出隨機事件包含的樣本點個數(shù)。一個接一個?。号帕校灰淮稳∪舾蓚€：組合82三.古典概率的一些典型模型例5

：在

N

件產(chǎn)品中包含了

M

件次品，分別采取無放回與有放回這兩種抽樣方式從中隨機取出

n

件產(chǎn)品，求恰好取出了

k

件次品的概率。解.①(無放回抽樣的情況)

把所有的產(chǎn)品編號，樣本空間構(gòu)造成：從N

件不同產(chǎn)品中同時取出n

件產(chǎn)品的所有的二項組合方式；因此，樣本空間里的樣本點總數(shù)一共有CNn

。1.隨機抽樣模型83利用乘法原理，“取出的n

件產(chǎn)品中包含了

k

件次品”這個隨機事件的討論分解成兩個步驟：因此，無放回抽樣時恰好取出k

件次品的概率為：概率論中稱為是超幾何分布的概率公式M

件次品中取

k

個次品CMkN–M

件合格品取出n–k

件CN–M

n–k84②

(有放回抽樣的情況)

仍然把所有產(chǎn)品編號，樣本空間構(gòu)造為：一個接一個從

N件產(chǎn)品中取出n件產(chǎn)品的所有不同的有放回排列方式；此時，樣本空間中的樣本點總數(shù)一共有Nn

個。取出的

n

個產(chǎn)品中究竟哪

k

個是次品CnkM

件次品中取

k

個次品

M

kN–M

件合格品取出n–k

件(N–M)

n–k因此，有放回抽樣時恰好取出k

件次品的概率為：概率論中稱為是二項分布的概率公式85購買彩票的“秘訣”從1~35個號碼中隨機抽取7個號碼，全部可能一共有：C357=6,724,520奇數(shù)號碼與偶數(shù)號碼之比：

5:2=C185×C1724:3=C184×C1733:4=C183×C174

0.17330.30940.288886每個盒里最多一個小球，即有限制的放球模型，包含的樣本點個數(shù)是PNn

個。例6：把

n

個小球隨機放進

N(n

≤

N)個盒子里，即每個小球都以同樣的概率

1/N

落入某個盒子中。計算每個盒子里最多只有一個小球的概率。解.由于每個小球都可以被放進N

個盒子中的任何一個，因此根據(jù)無限制的放球模型，樣本空間中包含的樣本點總數(shù)有Nn個；2.隨機分配模型

PNn

Nn因此，每個盒子最多一個小球的概率是

p=——。87生日問題

假定每個人的生日在一年

365天里是等可能的，隨機挑選

n(n

≤365)個人，那么至少有兩個人的生日相同的概率是：p=1–———n20233040506480100p0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9990.9999997

P365n

365

n分房問題88解.對復雜隨機事件的概率，討論它的對立事件例7

一顆骰子擲

4次至少得到一個六點與兩顆骰子擲

24次至少得到一個雙六，哪一種情況更容易出現(xiàn)？3.德·梅爾問題“一顆骰子擲

4次”一共有64種可能情況，其中，“一個六點都沒有出現(xiàn)”包含了54種；因此，一顆拋4次至少一個六點的概率為：p1=1–——≈0.52；

54

6489同理，“兩顆骰子擲

24次”一共有3624種可能，其中，“一個雙六都沒有出現(xiàn)”包含了3524種；因此，兩顆拋24次至少一個雙六的概率為：即，更可能的是一顆拋4次至少出現(xiàn)一個六點。思考4

拋擲兩顆骰子，最可能出現(xiàn)的點數(shù)和是哪一個？p2=1–———≈0.49

35

24

36

24901、n個人圍一圓桌坐，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.解：考慮甲先坐好，則乙有n-1個位置可坐，而“甲乙相鄰”只有兩種情況，所以P(A)=2/(n-1)。課堂練習912、n個人坐成一排，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.(注意：請與上一題作比較)解：

1)先考慮樣本空間的樣本點數(shù)：甲先坐、乙后坐，則共有n(n

1)種可能.2)甲在兩端，則乙與甲相鄰共有2種可能.3)甲在中間(n

2)個位置上，則乙左右都可坐，所以共有2(n

2)種可能。由此得所求概率為：923、

將

15名新生隨機地平均分配到三個班級中去,這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.問(1)每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(2)3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的概率是多少?解15名新生平均分配到三個班級中的分法總數(shù):(1)每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有93因此所求概率為(2)將3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的分法共有3種,對于每一種分法,其余12名新生的分法有因此3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的分法共有因此所求概率為944、某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的,問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的.

假設(shè)接待站的接待時間沒有規(guī)定,且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777故一周內(nèi)接待12次來訪共有95小概率事件在實際中幾乎是不可能發(fā)生的,從而可知接待時間是有規(guī)定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四12341222222

12次接待都是在周二和周四進行的共有故12次接待都是在周二和周四進行的概率為96

5（分房問題）有n個人，每個人都以同樣的概率1/N被分配在間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：(1)某指定間房中各有一人

;(2)恰有間房，其中各有一人；

(3)某指定一間房中恰有人。

解先求樣本空間中所含樣本點的個數(shù)。首先，把n個人分到N間房中去共有種分法，其次，求每種情形下事件所含的樣本點個數(shù)。97(2)恰有n間房中各有一人，所有可能的分法為

(1)某指定n間房中各有一人，所含樣本點的個數(shù)，即可能的的分法為

(3)某指一間房中恰有m人，可能的分法為

進而我們可以得到三種情形下事件的概率，其分別為

:（1）

（2）

（3）

98引例袋中有7只白球,3只紅球,白球中有4只木球,3只塑料球;紅球中有2只木球,1只塑料球.

現(xiàn)從袋中任取1球,假設(shè)每個球被取到的可能性相同.

若已知取到的球是白球,問它是木球的概率是多少？設(shè)

A

表示任取一球，取得白球；

B

表示任取一球，取得木球.古典概型第五節(jié)條件概率一.條件概率的定義99所求的概率稱為在事件A

發(fā)生的條件下事件B

發(fā)生的條件概率。記為解

列表白球紅球小計木球426塑球314小計7310同除10100設(shè)A、B為兩事件,P(A)>0,則1.定義從而有稱

為事件

A

發(fā)生的條件下事件

B

發(fā)生的條件概率，記為:101注：條件概率也是概率,故具有概率的性質(zhì)：

非負性

歸一性

可列可加性

102（1）古典概型

可用縮減樣本空間法（2）非古典概型

用定義與有關(guān)公式條件概率的計算方法103例1

某種動物由出生算起活20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個20歲的這種動物,問它能活到25歲以上的概率是多少?

設(shè)A表示“能活20歲以上”的事件;B表示“能活25歲以上”的事件,則有解104

10個產(chǎn)品中有7個正品、3個次品，從中不放回地抽取兩個，已知第一個取到次品，求第二個又取到次品的概率.

P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9解：設(shè)A={第一個取到次品}，

B={第二個取到次品}，例2用縮小樣本空間的思想也可得到答案105條件概率與無條件概率之間的大小無確定關(guān)系若一般地條件概率無條件概率1062.乘法公式(計算隨機事件交事件概率的公式)乘法公式

如果

P(A)

＞

0，則有

P(AB)=P(A)

P(B|A)一般的乘法公式

設(shè)A1

，A2

，…，An

是任意的n

個隨機事件，并且P(A1A2…An)＞0

，則有：

P(A1A2…An)=P(A1)×P(A2|

A1)×P(A3

|A1A2)×…×P(An－1

|

A1A2…An－2)×P(An

|

A1A2…An－1)相應地

如果

P(B)

＞

0，則有

P(AB)=P(B)

P(A|B)107例3、

假定

盒中有1個黑球與

n–1個白球，

n

個人依次各取一個小球，問第

k(1≤

k

≤

n)

個人取到這個黑球的概率是多少？

第一種解法：古典概型的理論。不妨把黑球編成

1號，其余白球依次為2，…，n。所有

n

個人的全部取球方式有

n!

種，而第

k個人取到黑球則有(n–1)!種情況，因此，所求的概率與k

無關(guān)，為1/n

。抽簽結(jié)果與抽簽順序無關(guān)第二種解法：利用乘法公式求解。108P{第一個人取到黑球}=1/n

；P{第二個人取到黑球}=P{(第一個人取到白球)∩(第二個人取到黑球)}=P(第一個人取到白球)

×P{(第二個人取到黑球)|(第一個人取到白球)}=——×——=—同理，第三個人取到黑球的概率是：——×——×——=—；n–111

n

n–1nn–1n–211

n

n–1n–2n109

······

對于任意第k

個人的情況，利用若干個隨機事件交事件的乘法公式，他取到黑球的概率仍然是：實際上，如果有m

個黑球，n–m個白球，n

個人依次無放回各取走一個小球。則任意的第k

個取到黑球的概率就是m/n

，與k

無關(guān)(證明要用到全概率公式)。n–1n–2n–

k+111

n

n–1n–

k+2n–

k+1n——×——×…×————×————=—。110二.全概率公式與Bayes(貝葉斯)公式1.樣本空間

S

的劃分(或完備事件組)樣本空間也可以被劃分成無窮多個隨機事件的和定義：如果隨機事件A1，A2，…，An

滿足：

(1)Ai∩Aj=

,對所有的

i

≠

j

；

(2)A1∪A2∪…∪An=S.

則稱A1，A2，…，An

是樣本空間S

的一個劃分。思考

A–

B、B–

A、AB、是否構(gòu)成S

的一個劃分。

1112.全概率公式與貝葉斯公式對任意的

m≥1，有：假定隨機事件組A1，…，An

是樣本空間S

的一個劃分，B

是任意的一個隨機事件，則：全概率公式貝葉斯公式這兩個公式也適用于對樣本空間的無窮劃分112圖示證明:化整為零各個擊破113全概率公式貝葉斯公式若干原因結(jié)果如果把隨機事件B

看成是結(jié)果，隨機事件組A1，…，An

看成可能導致結(jié)果B

發(fā)生的若干原因，貝葉斯公式在決策理論中有重要應用：不斷地根據(jù)新得到的信息來修正原來的觀點。114例4產(chǎn)品使用的元件由三個工廠提供，數(shù)據(jù)如下：廠家次品率所占份額甲廠0.020.15乙廠0.010.80丙廠0.030.05(1)隨機從倉庫取一件，求取到次品的概率；(2)如果取到次品，最可能是來自哪個工廠的產(chǎn)品？最不可能的又是哪個工廠的？解.以A、B、C

分別表示取到的這個元件來自工廠甲、乙、丙，D表示這個元件是次品。因此已知：

P(A)=0.15,P(B)=0.8,P(C)=0.05;P(D|A)=0.02,P(D|B)=0.01,P(D|C)=0.03.115(2)根據(jù)Bayes公式，

P(A|D)=——————=—————=0.24，同理，P(B|D)=0.64，P(C|D)=0.12。這個次品最有可能是乙廠，最不可能是丙廠的。(1)根據(jù)全概率公式，P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.15×0.02+0.8×0.01+0.05×0.03=0.0125；所求的兩個問題既為:需要求出P(D)，以及比較三個條件概率：P(A|D)，P(B|D)，P(C|D)的大小。P(A)P(D|A)0.15×0.02

P(D)0.0125116“先驗概率”與“后驗概率”先驗概率：過去經(jīng)驗或知識后驗概率：有新的信息以后對過去認識的修正廠家次品率所占份額條件概率甲廠0.020.150.24乙廠0.010.800.64