第二章圖像變換技術(shù)

1數(shù)字圖像處理張鑫2第二章圖像變換技術(shù)5圖像變換使圖像在視覺上失去了原有圖像的形態(tài)，盡管視覺上不同，但是保留了很多本質(zhì)特征。6一般變換后的圖象，大部分能量都分布于低頻譜段，這對以后圖象的壓縮、傳輸都比較有利。經(jīng)過變換后的圖像更有利于特征抽取、增強(qiáng)、壓縮和圖像編碼。應(yīng)用于圖像濾波、圖像壓縮、圖像識別7采樣數(shù)減少一半81、正向變換核、反向變換核2、可分離的3、正交變換對2-D的情況，正變換和逆變換分別表示為：A為實(shí)矩陣，稱A為正交矩陣基礎(chǔ)知識9傅里葉變換離散余弦變換（DCT）一般了解：蓋伯變換沃爾什和哈達(dá)瑪變換霍特林變換Radon變換小波變換基礎(chǔ)102.1傅里葉變換

11一個恰當(dāng)?shù)谋扔魇菍⒏道锶~變換比做一個玻璃棱鏡。棱鏡是可以將光分成不同顏色成分的物理儀器，每個成分的顏色由波長(或頻率)決定。傅里葉變換可看做“數(shù)學(xué)的棱鏡”，將函數(shù)基于頻率分成不同的成分。當(dāng)我們考慮光時，討論它的光譜或頻率譜線。同樣，傅里葉變換使我們能夠通過頻率成分來分析一個函數(shù)。一維傅立葉變換對的定義為式中： ，x稱為時域變量，u稱為頻域變量。以上一維傅立葉變換可以很容易地推廣到二維，如果二維函數(shù)f(x,y)滿足狄里克雷條件，則它的二維傅立葉變換對為式中：x,y為時域變量；u,v為頻域變量。離散傅立葉變換

在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用傅立葉變換，需要解決兩個問題：在數(shù)學(xué)中進(jìn)行傅立葉變換的f(x)為連續(xù)（模擬）信號，而計(jì)算機(jī)處理的是數(shù)字信號（圖像數(shù)據(jù)）；數(shù)學(xué)上采用無窮大概念，而計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行有限次計(jì)算。通常，將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（DiscreteFourierTransform，DFT)。設(shè){f(x)|f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}為一維信號f(x)的N個抽樣，其離散傅立葉變換對為式中：x，u=0，1，2，…,N－1。N為階數(shù)(order)由于利用cos(－θ)=cos(θ)，可得可見，離散序列的傅立葉變換仍是一個離散的序列，每一個u對應(yīng)的傅立葉變換結(jié)果是所有輸入序列f(x)的加權(quán)和（每個f(x)都乘以不同頻率的正弦和余弦值），u決定了每個傅立葉變換結(jié)果的頻率。1.1-D傅里葉變換1516傅里葉頻譜（幅度譜）相位角（相位譜）功率譜2.2-D傅里葉變換傅立葉變換例子（一）原圖像

幅度譜相位譜傅立葉變換例子（二）原圖像

幅度譜相位譜

202.2傅里葉變換的性質(zhì)1.分離性21一個2-D傅里葉變換可由連續(xù)兩次運(yùn)用1-D傅里葉變換來實(shí)現(xiàn)先對f(x,y)按行進(jìn)行傅立葉變換得到F(x,v)，再對F(x,v)按列進(jìn)行傅立葉變換，便可得到f(x,y)的傅立葉變換結(jié)果。2.平移性質(zhì)23第一個公式表明將f（x,y）與一個指數(shù)項(xiàng)相乘就相當(dāng)于把其變換后的頻域中心移動到新的位置。第二公式表明將F(u,v)與一個指數(shù)相乘相當(dāng)于把其反變換后的空域中心移動到新的位置。平移性質(zhì)推倒下圖是簡單方塊圖像平移的結(jié)果傅立葉頻譜平移示意圖

(a)原圖像；（b）無平移的傅立葉頻譜；（c）平移后的傅立葉頻譜

(a)(b)(c)263.周期性和共軛對稱性27只需一個周期里的變換就可將F(u,v)在頻域里完全確定只需一半的變換就可將整個變換完全確定4.旋轉(zhuǎn)性質(zhì)28f(x,y)旋轉(zhuǎn)一個角度對應(yīng)于將其傅里葉變換F(u,v)也旋轉(zhuǎn)相同的角度29離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性（a）原始圖像；（b）原始圖像的傅立葉頻譜；（c）旋轉(zhuǎn)45°后的圖像；（d）圖像旋轉(zhuǎn)后的傅立葉頻譜(a)(b)(d)(c)5.分配率316.尺度變換（相似定理：similaritytheorem）32（1）對f(x,y)在幅度方面的尺度變換導(dǎo)致對其傅里葉變換F(u,v)在幅度方面的對應(yīng)尺度變化。（2）對f(x,y)在空間尺度方面的放縮導(dǎo)致對其傅里葉變換F(u,v)在頻域尺度方面的相反放縮。（3）對f(x,y)的收縮(對應(yīng)a>1,b>1)不僅導(dǎo)致F(u,v)空間的膨脹，還使F(u,v)的幅度減小。337.平均值34對一個2-D離散函數(shù)，其平均值可用下式表示：如果f(x,y)是一幅圖像，在原點(diǎn)的傅里葉變換即等于圖像的平均灰度級.

358.卷積定理36Matlab實(shí)現(xiàn)

fft函數(shù)一維DFT

fft2函數(shù)二維DFT

fftn函數(shù)N維DFT

ifft函數(shù)一維IDFT

ifft2函數(shù)二維IDFT

ifftn函數(shù)N維IDFT

快速傅里葉變換函數(shù)37d=zeros(32,32);d(13:20,13:20)=1;figure(1);imshow(d,’notruesize’);D=fft2(d);figure(2);imshow(abs(D),[-15],’notruesize’);%imshow(log(abs(D)),[-15],’notruesize’);%DF=fftshift(D);%imshow(log(abs(DF)),[-15],’notruesize’);38在圖(b)中u方向譜的零點(diǎn)分隔恰好是v方向零點(diǎn)分隔的兩倍。這卻相反地符合圖像中1：2的矩形尺寸比例。

圖(a)顯示了在512×512像素尺寸的黑色背景上疊加一個20×40像素尺寸的白色矩形。

39Matlab實(shí)現(xiàn)

例風(fēng)景圖像傅里葉變換中心譜404142圖像的高頻項(xiàng)衰減的很快，在頻域不清楚43442.3離散余弦變換

45原圖余弦變換將大部分信息濾掉重構(gòu)圖像46

余弦變換是傅里葉變換的一種特殊情況。在傅里葉級數(shù)展開式中，如果被展開的函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)，那么，其傅里葉級數(shù)中只包含余弦項(xiàng)，再將其離散化由此可導(dǎo)出余弦變換，或稱之為離散余弦變換（DiscreteCosineTransform，DCT）。DCT也是一種可分離變換

1.變換定義47一維DCT48二維DCT由于二維離散余弦變換的可分離性，二維DCT可以用一維DCT來實(shí)現(xiàn)

正變換核反變換核例題P36例2.3.1離散余弦變換核的值4950Matlab實(shí)現(xiàn)RGB=imread('image2.jpg');%裝入真彩圖像figure(1);imshow(RGB);%顯示彩色圖像GRAY=rgb2gray(RGB);%將真彩圖像轉(zhuǎn)換為灰度圖像figure(2);imshow(GRAY);%顯示灰度圖像DCT=dct2(GRAY);%進(jìn)行余弦變換figure(3);imshow(log(abs(DCT)),[]);%顯示余弦變換例51Matlab實(shí)現(xiàn)

a原圖像b余弦變換例圖b左上角對應(yīng)低頻分量，圖a中的大部分能量在低頻部分。52兩圖給出離散余弦變換的一個示例，其中左圖是一幅原始圖象，右圖是對左圖的離散余弦變換結(jié)果（變換幅值）。右圖左上角對應(yīng)低頻分量，由圖可見，左圖中的大部分能量在低頻部分。

53應(yīng)用離散余弦變換在圖像壓縮中具有廣泛的應(yīng)用例如，在JPEG圖像壓縮算法中，首先將輸入圖像劃分為8

8的方塊，然后對每一個方塊執(zhí)行二維離散余弦變換，最后將變換得到的量化的DCT系數(shù)進(jìn)行編碼和傳送，形成壓縮后的圖像格式。在接收端，將量化的DCT系數(shù)進(jìn)行解碼，并對每個8

8方塊進(jìn)行二維IDCT，最后將操作完成后的塊組合成一幅完整的圖像。

54Gabor變換屬于加窗傅立葉變換，Gabor函數(shù)可以在頻域不同尺度、不同方向上提取相關(guān)的特征。另外Gabor函數(shù)與人眼的生物作用相仿，所以經(jīng)常用作紋理識別上，并取得了較好的效果。2.4蓋伯變換55沃爾什和哈達(dá)瑪變換

56離散沃爾什變換沃爾什變換具有某種能量集中。而且原始數(shù)據(jù)中數(shù)字越是均勻分布，經(jīng)變換后的數(shù)據(jù)越集中于矩陣的邊角上。因此沃爾什變換可以壓縮圖像信息。且變換比傅立葉變換快。沃爾什函數(shù)是1923年由美國數(shù)學(xué)家沃爾什(Walsh)提出的。由于沃爾什變換核矩陣中只有+1和-1兩種元素，因而在計(jì)算沃爾什變換過程中只有加減運(yùn)算而沒有乘法運(yùn)算，從而大大提高了運(yùn)算速度。這一點(diǎn)對圖像處理來說至關(guān)重要，特別是在實(shí)時處理大量數(shù)據(jù)時，沃爾什變換更加顯示出其優(yōu)越性。5758哈達(dá)瑪變換本質(zhì)上是一種特殊排序的沃爾什變換；其與沃爾什變換的區(qū)別是變換核矩陣行的次序不同；哈達(dá)瑪變換最大優(yōu)點(diǎn)在于變換核矩陣具有簡單的遞推關(guān)系，即高階的變換矩陣可以用低階轉(zhuǎn)換矩陣構(gòu)成。第59頁第4章圖像變換例:幾種變換比較原始圖像傅立葉變換離散余弦變換沃爾什變換60霍特林變換

6162霍特林變換

霍特林（Hotelling）變換是一種基于圖像統(tǒng)計(jì)特性的變換

霍特林變換可直接用于對數(shù)字圖像的變換

它在連續(xù)域?qū)?yīng)的變換是KL（Karhunen-Loeve）變換

霍特林變換：特征值變換、主分量變換、離散KL變換63這種變換用于圖像壓縮、濾波和特征抽取時在均方誤差意義下是最優(yōu)的。但在實(shí)際應(yīng)用中往往不能獲得真正協(xié)方差矩陣，所以不一定有最優(yōu)效果。它的運(yùn)算較復(fù)雜且沒有統(tǒng)一的快速算法。Radon變換

小波變換發(fā)展歷史

小波變換應(yīng)用

65Radon變換

66Radon變換Radon變換是計(jì)算圖像在某一指定角度射線方向上投影的變換方法二維函數(shù)的投影就是其在指定方向上的線積分

在垂直方向上的二維線積分就是在x軸上的投影

在水平方向上的二維線積分就是在y軸上的投影67Radon變換68Radon變換69Matlab實(shí)現(xiàn)[R,xp]=radon(I,theta)計(jì)算圖像在指定角度上的radon變換

I表示需要變換的圖像

Theta表示變換的角度

R的各行返回theta中各方向上的radon變換值

xp表示向量沿軸相應(yīng)的坐標(biāo)軸IR=iradon(R,theta)radon逆變換函數(shù)radon逆變換可以根據(jù)投影數(shù)據(jù)重建圖像,在X射線斷層攝影分析中常常使用70Matlab實(shí)現(xiàn)0°方向上的Radon變換原圖像45°方向上的Radon變換7172目標(biāo)識別第73頁第4章圖像變換MatLab函數(shù)傅立葉變換例：傅立葉正反變換>>I=imread('lena.tif');>>J=fft2(I);>>K=ifft2(J);>>subplot(2,2,1),imshow(I);>>subplot(2,2,2),imshow(log(abs(J)),[]);>>subplot(2,2,3),imshow(log(abs(fftshift(J))),[]);>>subplot(2,2,4),imshow(uint8(abs(K)));原始圖像頻譜（無平移）頻譜（平移）逆變換圖像第74頁第4章圖像變換MatLab函數(shù)離散余弦變換B=dct2(I)：計(jì)算圖像I的二維離散余弦變換B=idct2(I)：計(jì)算圖像I的二維離散余弦變換的反變換例I=imread('lena.tif');J=dct2(I);imshow(log(abs(J)),[]);2.5小波變換基礎(chǔ)75761、小波變換發(fā)展歷史

2、小波變換應(yīng)用77小波(Wavelet)：“小波”就是小的波形。所謂“小”是指它具有衰減性；而稱之為“波”則是指它的波動性，其振幅正負(fù)相間的震蕩形式。78小波變換發(fā)展歷史1、小波變換的概念是由法國從事石油信號處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過物理的直觀和信號處理的實(shí)際需要經(jīng)驗(yàn)的建立了反演公式，當(dāng)時未能得到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。2、1986年小波分析才開始蓬勃發(fā)展起來，它與Fourier變換、視窗Fourier變換（Gabor變換）相比，這是一個時間和頻率的局網(wǎng)域變換，因而能有效的從信號中提取資訊，通過伸縮和平移等運(yùn)算功能對函數(shù)或信號進(jìn)行多尺度細(xì)化分析（MultiscaleAnalysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題，從而小波變化被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。793、小波變換的理論是近年來興起的新的數(shù)學(xué)分支，它是繼1822年法國人傅立葉提出傅立葉變換之后又一里程碑式的發(fā)展，解決了很多傅立葉變換不能解決的困難問題。傅立葉變換雖然已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于信號處理領(lǐng)域，較好地描述了信號的頻率特性，取得了很多重要的成果，但傅立葉變換卻不能較好地解決突變信號與非平穩(wěn)信號的問題。4、小波變換可以被看作是傅立葉變換的發(fā)展，即它是空間（時間）和頻率的局部變換。與傅立葉變換一樣，小波變換的基本思想是將信號展開成一族基函數(shù)之加權(quán)和，即用一族函數(shù)來表示或逼近信號或函數(shù)。這一族函數(shù)是通過基本函數(shù)的平移和伸縮構(gòu)成的。

80應(yīng)用(1)小波分析用于信號與圖象壓縮是小波分析應(yīng)用的一個重要方面。它的特點(diǎn)是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持信號與圖象的特征不變，且在傳遞中可以抗干擾。基于小波分析的壓縮方法很多，比較成功的有小波包最好基方法，小波域紋理模型方法，小波變換零樹壓縮，小波變換向量壓縮等。(2)小波在信號分析中的應(yīng)用也十分廣泛。它可以用于邊界的處理與濾波、時頻分析、信噪分離與提取弱信號、求分形指數(shù)、信號的識別與診斷以及多尺度邊緣檢測等。(3)在工程技術(shù)等方面的應(yīng)用。包括計(jì)算機(jī)視覺、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、曲線設(shè)計(jì)、湍流、遠(yuǎn)程宇宙的研究與生物醫(yī)學(xué)方面。81在圖像編碼中的應(yīng)用小波被看作是一種用于多層次分解函數(shù)的數(shù)學(xué)工具。圖像信號(數(shù)據(jù))經(jīng)過小波變換后可以用小波系數(shù)來描述，小波系數(shù)體現(xiàn)原圖像信息(數(shù)據(jù))性質(zhì)，圖像信息(數(shù)據(jù))的局部特征可以通過處理小波系數(shù)而改變。

82小波變換用于圖象編碼的基本思想就是把圖象進(jìn)行多分辨率分解，分解成不同空間、不同頻率的子圖象，然后再對子圖象進(jìn)行系數(shù)編碼。系數(shù)編碼是小波變換用于壓縮的核心，壓縮的實(shí)質(zhì)是對系數(shù)的量化壓縮。根據(jù)塔式分解算法，圖象經(jīng)過小波變換后被分割成四個頻帶：水平、垂直、對角線和低頻，低頻部分還可以繼續(xù)分解。83數(shù)字圖像小波分解流程圖子圖像LL1是低頻分量，為原圖的近似子圖像；子圖像HL1是水平方向低頻、垂直方向高頻的分量，表現(xiàn)原圖的水平邊緣；子圖像LH1是水平方向高頻、垂直方向低頻的分量，表現(xiàn)原圖的垂直邊緣；子圖像HH1是高頻分量，表現(xiàn)原圖像的斜邊緣。84例二維小波一層分解圖

85例多級二維小波變換結(jié)果

86低頻部分可以稱作亮度圖象，水平、垂直和對角線部分可以稱作細(xì)節(jié)圖象。對所得的四個子圖，根據(jù)人類的視覺生理和心理特點(diǎn)分別作不同策略的量化和編碼處理。87其他編碼方法和小波編碼方法，壓縮比：34：1，67：188小波概念小波是定義在有限間隔而且其平均值為零的一種函數(shù)，它的波形如圖(b)所示。圖(a)是大家所熟悉的正弦波，圖(b)是從許多使用比較廣泛的小波中挑選出的幾種一維小波。在圖(b)所示的小波中，縮放函數(shù)和小波函數(shù)的名稱大多數(shù)是以開發(fā)者的名字命名的，與圖(a)相比，圖(b)所示的小波具有有限的持續(xù)時間和突變的頻率和振幅，波形可以是不規(guī)則的，也可以是不對稱的，在整個時間范圍里的幅度平均值為零。而正弦波和余弦波具有無限的持續(xù)時間，它可從負(fù)無窮擴(kuò)展到正無窮，波形是平滑的，它的振幅和頻率也是恒定的。89在眾多的小波中，選擇什么樣的小波對信號進(jìn)行分析是一個至關(guān)重要的問題。使用的小波不同，分析得到數(shù)據(jù)也不同，這是關(guān)系到能否達(dá)到使用小波分析的目的問題。如果沒有現(xiàn)成的小波可用，那么還需要自己開發(fā)適用的小波。9091小結(jié)92謝謝93離散哈達(dá)瑪變換一維離散哈達(dá)瑪變換

一維離散哈達(dá)瑪反變換

94離散哈達(dá)瑪變換95離散哈達(dá)瑪變換二維離散哈達(dá)瑪變換

二維離散哈達(dá)瑪反變換

96一維FFT重新安排計(jì)算次序設(shè)N=2n，經(jīng)過n步計(jì)算后，其結(jié)果為fn(k)=F(l)其中k的二進(jìn)制表示為97一維FFT矩陣分解當(dāng)N=2n，將變換矩陣分解成n個矩陣，使每個矩陣中每一行僅含有兩個非零元素。有兩種分解方法：

一種是按時間分解

一種是按頻率分解下面僅介紹按時間分解的FFT算法98一維FFT矩陣分解u和x的二進(jìn)制表示為99一維FFT矩陣分解N=8=23

100一維FFT矩陣分解N=8=23

101一維FFT矩陣分解矩陣表示102一維FFT矩陣分解矩陣表示103一維FFT矩陣分解矩陣表示104一維FFTFFT流程圖N=8時FFT流程圖

105一維FFT