◇輔助線-對(duì)稱和平移變換√

./對(duì)稱變換、平移變換一、對(duì)稱變換：對(duì)稱變換是幾何變換中的基本變換之一,利用軸對(duì)稱變換作對(duì)稱點(diǎn),是我們研究"最短路線"的常用方法。有利于把折線轉(zhuǎn)化到同一直線上研究。典型例題：例1.如圖,在△ABC中,∠C＝90°,將△ABC沿直線MN翻折后,頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)D處,已知MN∥AB,MC＝6,NC＝,則四邊形MABN的面積是[]A．B．C．D．例2.如圖,圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm,在杯離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜,此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處,則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為cm．例3.如圖,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,點(diǎn)P,Q,K分別為線段BC,CD,BD上的任意一點(diǎn),則PK+QK的最小值為[] A． 1 B． C．2 D．＋1例4.如圖,四邊形ABCD中,∠BAD＝120°,∠B＝∠D＝90°,在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N,使△AMN周長(zhǎng)最小時(shí),則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為[]A．130°B．120°C．110°D．100°例5.如圖,正方形ABCD中,AB=4,E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn),則PE+PB的最小值為．二、平移變換：平移變換是幾何變換中的基本變換之一,平移變換是使圖形上的點(diǎn)沿同一方向平移同一距離得到新的圖形。平移變換前后的圖形具有如下性質(zhì)：〔1對(duì)應(yīng)線段平行且相等；〔2對(duì)應(yīng)角的兩邊平行且方向一致。典型例題：例1.如圖,∠APB=300,圓心在邊PB上的⊙O半徑為1cm,OP=3cm,若⊙O沿BP方向移動(dòng),當(dāng)⊙O與PA相切時(shí),圓心O移動(dòng)的距離為cm.例2.如圖,有a、b、c三戶家用電路接入電表,相鄰電路的電線等距排列,則三戶所用電線[] A． a戶最長(zhǎng)B．b戶最長(zhǎng) C．c戶最長(zhǎng) D． 三戶一樣長(zhǎng)例3.如圖：矩形ABCD的對(duì)角線AC=10,BC=8,則圖中五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為．例4.如圖,在等腰梯形ABCD中,ABDC,AB=3,DC=,高CE=2,對(duì)角線AC、BD交于H,平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速平移,分別交等腰梯形ABCD的邊于M、N和R、Q,分別交對(duì)角線AC于F、G；當(dāng)直線RQ到達(dá)點(diǎn)C時(shí),兩直線同時(shí)停止移動(dòng)．記等腰梯形ABCD被直線MN掃過的圖形面積為S1、被直線RQ掃過的圖形面積為S2,若直線MN平移的速度為1單位/秒,直線RQ平移的速度為2單位/秒,設(shè)兩直線移動(dòng)的時(shí)間為x秒．〔1填空：∠AHB=；AC=；〔2若S2=3S1,求x；〔3設(shè)S2=mS1,求m的變化圍．對(duì)稱變換、平移變換一、對(duì)稱變換：對(duì)稱變換是幾何變換中的基本變換之一,利用軸對(duì)稱變換作對(duì)稱點(diǎn),是我們研究"最短路線"的常用方法。有利于把折線轉(zhuǎn)化到同一直線上研究。典型例題：例1.如圖,在△ABC中,∠C＝90°,將△ABC沿直線MN翻折后,頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)D處,已知MN∥AB,MC＝6,NC＝,則四邊形MABN的面積是[]A．B．C．D．[分析]連接CD,交MN于E,∵將△ABC沿直線MN翻折后,頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)D處,∴MN⊥CD,且CE=DE。∴CD=2CE。∵M(jìn)N∥AB,∴CD⊥AB?！唷鰿MN∽△CAB?！唷！咴凇鰿MN中,∠C=90°,MC=6,NC=,∴∴?！唷９蔬xC。例2.如圖,圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm,在杯離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜,此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處,則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為▲cm．[分析]如圖,圓柱形玻璃杯展開〔沿點(diǎn)A豎直剖開后側(cè)面是一個(gè)長(zhǎng)18寬12的矩形,作點(diǎn)A關(guān)于杯上沿MN的對(duì)稱點(diǎn)B,連接BC交MN于點(diǎn)P,連接BM,過點(diǎn)C作AB的垂線交剖開線MA于點(diǎn)D。由軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系知AP＋PC為螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離,且AP=BP。由已知和矩形的性質(zhì),得DC=9,BD=12。在Rt△BCD中,由勾股定理得?！郃P＋PC=BP＋PC=BC=15,即螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為15cm。例3.如圖,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,點(diǎn)P,Q,K分別為線段BC,CD,BD上的任意一點(diǎn),則PK+QK的最小值為[] A． 1 B． C．2 D．＋1[分析]分兩步分析：〔1若點(diǎn)P,Q固定,此時(shí)點(diǎn)K的位置：如圖,作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)P1,連接P1Q,交BD于點(diǎn)K1。由線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等的性質(zhì),得P1K1=PK1,P1K=PK。由三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì),得P1K＋QK＞P1Q=P1K1＋QK1=PK1＋QK1?！啻藭r(shí)的K1就是使PK+QK最小的位置。〔2點(diǎn)P,Q變動(dòng),根據(jù)菱形的性質(zhì),點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)P1在AB上,即不論點(diǎn)P在BC上任一點(diǎn),點(diǎn)P1總在AB上。因此,根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì),得,當(dāng)P1Q⊥AB時(shí)P1Q最短。過點(diǎn)A作AQ1⊥DC于點(diǎn)Q1?！摺螦=120°,∴∠DAQ1=30°。又∵AD=AB=2,∴P1Q=AQ1=AD·cos300=。綜上所述,PK+QK的最小值為。故選B。例4.如圖,四邊形ABCD中,∠BAD＝120°,∠B＝∠D＝90°,在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N,使△AMN周長(zhǎng)最小時(shí),則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為[]A．130°B．120°C．110°D．100°例5.如圖,正方形ABCD中,AB=4,E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn),則PE+PB的最小值為．[分析]連接DE,交BD于點(diǎn)P,連接BD?！唿c(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱,∴DE的長(zhǎng)即為PE+PB的最小值。∵AB=4,E是BC的中點(diǎn),∴CE=2。在Rt△CDE中,。二、平移變換：平移變換是幾何變換中的基本變換之一,平移變換是使圖形上的點(diǎn)沿同一方向平移同一距離得到新的圖形。平移變換前后的圖形具有如下性質(zhì)：〔1對(duì)應(yīng)線段平行且相等；〔2對(duì)應(yīng)角的兩邊平行且方向一致。典型例題：例1.如圖,∠APB=300,圓心在邊PB上的⊙O半徑為1cm,OP=3cm,若⊙O沿BP方向移動(dòng),當(dāng)⊙O與PA相切時(shí),圓心O移動(dòng)的距離為cm.[分析]如圖,設(shè)⊙O移動(dòng)到⊙O1,⊙O2位置時(shí)與PA相切。當(dāng)⊙O移動(dòng)到⊙O1時(shí),∠O1DP=900?！摺螦PB=300,O1D=1,∴PO1=2?！逴P=3,∴OO1=1。當(dāng)⊙O移動(dòng)到⊙O2時(shí),∠O2EP=900。∵∠APB=300,O2D=1,∴∠O2PE=300,PO2=2?！逴P=3,∴OO1=5。綜上所述,當(dāng)⊙O與PA相切時(shí),圓心O移動(dòng)的距離為1cm或5cm。例2.如圖,有a、b、c三戶家用電路接入電表,相鄰電路的電線等距排列,則三戶所用電線[] A． a戶最長(zhǎng)B．b戶最長(zhǎng) C．c戶最長(zhǎng) D． 三戶一樣長(zhǎng)[分析]根據(jù)平移的性質(zhì),對(duì)于電線中橫的和豎的線段分別采用割補(bǔ)法將線段向右進(jìn)行平移,便可直觀觀察到都是相等的。因此abc三線長(zhǎng)度相等。故選D。例3.如圖：矩形ABCD的對(duì)角線AC=10,BC=8,則圖中五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為．[分析]由勾股定理,得AB=,將五個(gè)小矩形的所有上邊平移至AD,所有下邊平移至BC,所有左邊平移至AB,所有右邊平移至CD,∴五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和=2〔AB+CD=2×〔6+8=28。例4.如圖,在等腰梯形ABCD中,ABDC,AB=3,DC=,高CE=2,對(duì)角線AC、BD交于H,平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速平移,分別交等腰梯形ABCD的邊于M、N和R、Q,分別交對(duì)角線AC于F、G；當(dāng)直線RQ到達(dá)點(diǎn)C時(shí),兩直線同時(shí)停止移動(dòng)．記等腰梯形ABCD被直線MN掃過的圖形面積為S1、被直線RQ掃過的圖形面積為S2,若直線MN平移的速度為1單位/秒,直線RQ平移的速度為2單位/秒,設(shè)兩直線移動(dòng)的時(shí)間為x秒．〔1填空：∠AHB=；AC=；〔2若S2=3S1,求x；〔3設(shè)S2=mS1,求m的變化圍．解：〔190°；4?！?直線移動(dòng)有兩種情況：0＜x＜及≤x≤2。①當(dāng)0＜x＜時(shí),∵M(jìn)N∥BD,∴△AMN∽△ARQ。∵直線MN平移的速度為1單位/秒,直線RQ平移的速度為2單位/秒,∴△AMN和△ARQ的相似比為1：2?！??！郤2=4S1,與題設(shè)S2=3S1矛盾。∴當(dāng)0＜x＜時(shí),不存在x使S2=3S1。②當(dāng)≤x≤2時(shí),∵AB∥CD,∴△ABH∽△CDH。∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3?！郈H=DH=AC=1,AH═BH=4﹣1=3?！逤G=4﹣2x,AC⊥BD,∴S△BCD=×4×1=2∵RQ∥BD,∴△CRQ∽△CDB。∴。又,∵M(jìn)N∥BD,∴△AMN∽△ADB?！?∴S1=x2,S2=8﹣8〔2﹣x2?！逽2=3S1,∴8﹣8〔2﹣x2=3·x2,解得：x1=〔舍去,x2=2?！鄕的值為2?！?由〔2得：當(dāng)0＜x＜時(shí),m=4,當(dāng)≤x≤2時(shí),∵S2=mS1,∴?！鄊是的二次函數(shù),當(dāng)≤x≤2時(shí),即當(dāng)時(shí),m隨的增大而增大,∴當(dāng)x=時(shí),m最大,最大值為4；當(dāng)x=2時(shí),m最小,最小值為3。∴m的變化圍為：3≤m≤4。配套練習(xí)練習(xí)題：1.點(diǎn)A、Ｂ均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上,建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．若P是x軸上使得的值最大的點(diǎn),Q是y軸上使得QA十QB的值最小的點(diǎn),則＝．2.如圖,MN為⊙O的直徑,A、B是O上的兩點(diǎn),過A作AC⊥MN于點(diǎn)C,過B作BD⊥MN于點(diǎn)D,P為DC上的任意一點(diǎn),若MN＝20,AC＝8,BD＝6,則PA＋PB的最小值是。3.在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的時(shí)候,老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題。如圖〔1,要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站,分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣．泵站修在管道的什么地方,可使所用的輸氣管線最短？你可以在l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試,能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你可以在上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試,能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過獨(dú)立思考,很快得出了解決這個(gè)問題的正確辦法．他把管道l看成一條直線〔圖〔2,問題就轉(zhuǎn)化為,要在直線l上找一點(diǎn)P,使AP與BP的和最?。淖龇ㄊ沁@樣的：①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′．②連接AB′交直線l于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為所求．請(qǐng)你參考小華的做法解決下列問題．如圖在△ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn),BC=6,BC邊上的高為4,請(qǐng)你在BC邊上確定一點(diǎn)P,使△PDE得周長(zhǎng)最?。?在圖中作出點(diǎn)P〔保留作圖痕跡,不寫作法．〔2請(qǐng)直接寫出△PDE周長(zhǎng)的最小值：．4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,有A<1,2>,B<3,3>兩點(diǎn),現(xiàn)另取一點(diǎn)C<a,1>,當(dāng)a＝時(shí),AC＋BC的值最小．5.去冬今春,市遭遇了200年不遇的大旱,某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題,要在某河道建一座水泵站,分別向河的同一側(cè)村A和村B送水。經(jīng)實(shí)地勘查后,工程人員設(shè)計(jì)圖紙時(shí),以河道上的大橋O為坐標(biāo)原點(diǎn),以河道所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系〔如圖。兩村的坐標(biāo)分別為A〔2,3,B〔12,7。<1>若從節(jié)約經(jīng)費(fèi)考慮,水泵站建在距離大橋O多遠(yuǎn)的地方可使所用輸水管道最短？<2>水泵站建在距離大橋O多遠(yuǎn)的地方,可使它到村、村的距離相等？練習(xí)題：1.如圖：矩形ABCD的對(duì)角線AC=10,BC=8,則圖中五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為[]A、14B、16C、20D、282.等腰梯形的上底是2cm,腰長(zhǎng)是4cm,一個(gè)底角是60°,則等腰梯形的下底是[] A、5cm B、6cm C、7cm D、8cm3.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC⊥BD于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,若BC=2AD=8,則tan∠ABE=。4.如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD∶BC＝1∶2,AE⊥BC,垂足為E,連結(jié)BD交