直線的傾斜角、斜率與直線的方程考點和題型歸納

直線的傾斜角、斜率與直線的方程考點和題型歸納一、基礎知識1．直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.(2)規(guī)定：當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0.(3)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是[0，π)．2．斜率公式(1)定義式：直線l的傾斜角為αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))，則斜率k＝tanα.(2)坐標式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).3．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含垂直于x軸的直線斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面內(nèi)所有直線都適用二、常用結論特殊直線的方程(1)直線過點P1(x1，y1)，垂直于x軸的方程為x＝x1；(2)直線過點P1(x1，y1)，垂直于y軸的方程為y＝y(tǒng)1；(3)y軸的方程為x＝0；(4)x軸的方程為y＝0.eq\a\vs4\al(考點一直線的傾斜角與斜率)[典例](1)直線2xcosα－y－3＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的傾斜角的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))(2)直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，eq\r(3))為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為________．[解析](1)直線2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因為α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2)，因此k＝2·cosα∈[1，eq\r(3)]．設直線的傾斜角為θ，則有tanθ∈[1，eq\r(3)]．又θ∈[0，π)，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即傾斜角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))).(2)設PA與PB的傾斜角分別為α，β，直線PA的斜率是kAP＝1，直線PB的斜率是kBP＝－eq\r(3)，當直線l由PA變化到與y軸平行的位置PC時，它的傾斜角由α增至90°，斜率的取值范圍為[1，＋∞)．當直線l由PC變化到PB的位置時，它的傾斜角由90°增至β，斜率的變化范圍是(－∞，－eq\r(3)]．故直線l斜率的取值范圍是(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．[答案](1)B(2)(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)[變透練清]1.eq\a\vs4\al(變條件)若將本例(1)中的條件變?yōu)椋浩矫嫔嫌邢喈悆牲cA(cosθ，sin2θ)，B(0,1)，則直線AB的傾斜角α的取值范圍是________．解析：由題意知cosθ≠0，則斜率k＝tanα＝eq\f(sin2θ－1,cosθ－0)＝－cosθ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直線AB的傾斜角的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))2.eq\a\vs4\al(變條件)若將本例(2)中P(1,0)改為P(－1,0)，其他條件不變，則直線l斜率的取值范圍為________．解析：設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.∵A，B兩點在直線l的兩側或其中一點在直線l上，∴(2k－1＋k)(－eq\r(3)＋k)≤0，即(3k－1)(k－eq\r(3))≤0，解得eq\f(1,3)≤k≤eq\r(3).即直線l的斜率的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3)))3．若點A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三點共線，則a的值為________．解析：因為kAC＝eq\f(5－3,6－4)＝1，kAB＝eq\f(a－3,5－4)＝a－3.由于A，B，C三點共線，所以a－3＝1，即a＝4.答案：4eq\a\vs4\al(考點二直線的方程)[典例](1)若直線經(jīng)過點A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍，則該直線的方程為________________．(2)若直線經(jīng)過點A(－eq\r(3)，3)，且傾斜角為直線eq\r(3)x＋y＋1＝0的傾斜角的一半，則該直線的方程為________________．(3)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中點M在y軸上，BC的中點N在x軸上，則直線MN的方程為________________．[解析](1)①當橫截距、縱截距均為零時，設所求的直線方程為y＝kx，將(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－eq\f(2,5)，此時，直線方程為y＝－eq\f(2,5)x，即2x＋5y＝0.②當橫截距、縱截距都不為零時，設所求直線方程為eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，將(－5,2)代入所設方程，解得a＝－eq\f(1,2)，此時，直線方程為x＋2y＋1＝0.綜上所述，所求直線方程為x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.(2)由eq\r(3)x＋y＋1＝0得此直線的斜率為－eq\r(3)，所以傾斜角為120°，從而所求直線的傾斜角為60°，故所求直線的斜率為eq\r(3).又直線過點A(－eq\r(3)，3)，所以所求直線方程為y－3＝eq\r(3)(x＋eq\r(3))，即eq\r(3)x－y＋6＝0.(3)設C(x0，y0)，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5＋x0,2)，\f(y0－2,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7＋x0,2)，\f(y0＋3,2))).因為點M在y軸上，所以eq\f(5＋x0,2)＝0，所以x0＝－5.因為點N在x軸上，所以eq\f(y0＋3,2)＝0，所以y0＝－3，即C(－5，－3)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5,2)))，N(1,0)，所以直線MN的方程為eq\f(x,1)＋eq\f(y,－\f(5,2))＝1，即5x－2y－5＝0.[答案](1)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0(2)eq\r(3)x－y＋6＝0(3)5x－2y－5＝0[題組訓練]1．過點(1,2)，傾斜角的正弦值是eq\f(\r(2),2)的直線方程是________________．解析：由題知，傾斜角為eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)，所以斜率為1或－1，直線方程為y－2＝x－1或y－2＝－(x－1)，即x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.答案：x－y＋1＝0或x＋y－3＝02．過點P(6，－2)，且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程為________________．解析：設直線方程的截距式為eq\f(x,a＋1)＋eq\f(y,a)＝1，則eq\f(6,a＋1)＋eq\f(－2,a)＝1，解得a＝2或a＝1，則直線的方程是eq\f(x,2＋1)＋eq\f(y,2)＝1或eq\f(x,1＋1)＋eq\f(y,1)＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.答案：2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0eq\a\vs4\al(考點三直線方程的綜合應用)[典例]已知直線l過點M(2,1)，且與x軸、y軸的正半軸分別相交于A，B兩點，O為坐標原點，求當|eq\o(MA,\s\up7(→))|·|eq\o(MB,\s\up7(→))|取得最小值時直線l的方程．[解]設A(a,0)，B(0，b)，則a＞0，b＞0，直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1.|eq\o(MA,\s\up7(→))|·|eq\o(MB,\s\up7(→))|＝－eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－＝(2a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))－5＝eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥4，當且僅當a＝b＝3時取等號，此時直線l的方程為x＋y－3＝0.[解題技法]與直線方程有關問題的常見類型及解題策略(1)求解與直線方程有關的最值問題．先設出直線方程，建立目標函數(shù)，再利用基本不等式求解最值．(2)求直線方程．弄清確定直線的兩個條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程．(3)求參數(shù)值或范圍．注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結合函數(shù)的性質或基本不等式求解．[題組訓練]1．若直線ax＋by＝ab(a>0，b>0)過點(1,1)，則該直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為()A．1 B．2C．4 D．8解析：選C∵直線ax＋by＝ab(a>0，b>0)過點(1,1)，∴a＋b＝ab，即eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，當且僅當a＝b＝2時上式等號成立．∴直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為4.2．已知直線l：x－my＋eq\r(3)m＝0上存在點M滿足與A(－1,0)，B(1,0)兩點連線的斜率kMA與kMB之積為3，則實數(shù)m的取值范圍是()A．[－eq\r(6)，eq\r(6)]B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(6),6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(6),6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)，＋∞))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))解析：選C設M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－1)＝3，即y2＝3x2－3.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－my＋\r(3)m＝0，,y2＝3x2－3，))得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m2)－3))x2＋eq\f(2\r(3),m)x＋6＝0(m≠0)，則Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),m)))2－24eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m2)－3))≥0，即m2≥eq\f(1,6)，解得m≤－eq\f(\r(6),6)或m≥eq\f(\r(6),6).∴實數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(6),6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)，＋∞)).eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])1．(2019·合肥模擬)直線l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\r(3)C．－eq\r(3) D．－eq\f(\r(3),3)解析：選A設直線l的斜率為k，則k＝－eq\f(sin30°,cos150°)＝eq\f(\r(3),3).2．傾斜角為120°，在x軸上的截距為－1的直線方程是()A.eq\r(3)x－y＋1＝0 B.eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0C.eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0 D.eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)＝0解析：選D由于傾斜角為120°，故斜率k＝－eq\r(3).又直線過點(－1,0)，所以直線方程為y＝－eq\r(3)(x＋1)，即eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)＝0.3．已知△ABC的三個頂點坐標為A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M為AB的中點，N為AC的中點，則中位線MN所在直線的方程為()A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0解析：選C由題知M(2,4)，N(3,2)，則中位線MN所在直線的方程為eq\f(y－4,2－4)＝eq\f(x－2,3－2)，整理得2x＋y－8＝0.4．方程y＝ax－eq\f(1,a)表示的直線可能是()解析：選C當a＞0時，直線的斜率k＝a＞0，在y軸上的截距b＝－eq\f(1,a)＜0，各選項都不符合此條件；當a＜0時，直線的斜率k＝a＜0，在y軸上的截距b＝－eq\f(1,a)＞0，只有選項C符合此條件．故選C.5．在等腰三角形MON中，MO＝MN，點O(0,0)，M(－1,3)，點N在x軸的負半軸上，則直線MN的方程為()A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0解析：選C因為MO＝MN，所以直線MN的斜率與直線MO的斜率互為相反數(shù)，所以kMN＝－kMO＝3，所以直線MN的方程為y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，選C.6．若直線mx＋ny＋3＝0在y軸上的截距為－3，且它的傾斜角是直線eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的傾斜角的2倍，則()A．m＝－eq\r(3)，n＝1 B．m＝－eq\r(3)，n＝－3C．m＝eq\r(3)，n＝－3 D．m＝eq\r(3)，n＝1解析：選D對于直線mx＋ny＋3＝0，令x＝0得y＝－eq\f(3,n)，即－eq\f(3,n)＝－3，n＝1.因為eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的斜率為60°，直線mx＋ny＋3＝0的傾斜角是直線eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的2倍，所以直線mx＋ny＋3＝0的傾斜角為120°，即－eq\f(m,n)＝－eq\r(3)，m＝eq\r(3).7．當0<k<eq\f(1,2)時，直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選B由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,k－1)，,y＝\f(2k－1,k－1).))又∵0<k<eq\f(1,2)，∴x＝eq\f(k,k－1)<0，y＝eq\f(2k－1,k－1)>0，故直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點在第二象限．8．若直線l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，則當△AOB的面積取最小值時直線l的方程為()A．x－2y＋4＝0 B．x－2y＋8＝0C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＋8＝0解析：選B由l的方程，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2＋4k,k)，0))，B(0,2＋4k)．依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2＋4k,k)＜0，,2＋4k＞0，))解得k＞0.因為S＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2＋4k,k)))·|2＋4k|＝eq\f(1,2)·eq\f(2＋4k2,k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16k＋\f(4,k)＋16))≥eq\f(1,2)(2×8＋16)＝16，當且僅當16k＝eq\f(4,k)，即k＝eq\f(1,2)時等號成立．此時l的方程為x－2y＋8＝0.9．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)為頂點的△ABC，其邊AB上的高所在的直線方程是________________．解析：由A，B兩點得kAB＝eq\f(1,2)，則邊AB上的高所在直線的斜率為－2，故所求直線方程是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0.答案：2x＋y－14＝010．已知直線l過點(1,0)，且傾斜角為直線l0：x－2y－2＝0的傾斜角的2倍，則直線l的方程為________________．解析：由題意可設直線l0，l的傾斜角分別為α，2α，因為直線l0：x－2y－2＝0的斜率為eq\f(1,2)，則tanα＝eq\f(1,2)，所以直線l的斜率k＝ta