0 數(shù)學(xué)物理方程概述

PAGEPAGE6數(shù)學(xué)物理方程概述什么是數(shù)學(xué)物理方程或數(shù)學(xué)物理方程是研究什么的.關(guān)于方程含有未知數(shù)的等式叫做方程,方程有多種多樣,例如函數(shù)方程:含有未知函數(shù)的等式,叫做函數(shù)方程.常微分方程:含有未知(一元)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的等式,叫做常微分方程.偏微分方程:含有未知多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的等式叫做偏微分方程,例如等.什么是數(shù)學(xué)物理方程:數(shù)學(xué)物理方程主要指物理學(xué)及其自然科學(xué),技術(shù)科學(xué)中所產(chǎn)生的偏微分方程(有時(shí)也包括積分方程,微分積分方程等),它們反映了有關(guān)的未知變量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān)系.數(shù)學(xué)物理方程的研究對(duì)象:連續(xù)介質(zhì)力學(xué),電磁學(xué),量子力學(xué)等等方面的基本方程都屬于數(shù)學(xué)物理方程的范圍,電動(dòng)力學(xué),流體力學(xué),磁流體力學(xué),反應(yīng)流體力學(xué),彈性力學(xué),熱彈性力學(xué),粘彈性力學(xué),氣體分子運(yùn)動(dòng)論,狹義相對(duì)論,量子力學(xué)等物理,力學(xué)學(xué)科中其基本方程均是偏微分方程.數(shù)學(xué)物理方程的研究歷史:微積分產(chǎn)生以后,人們就開(kāi)始把力學(xué)中的一些問(wèn)題,歸結(jié)為偏微分方程進(jìn)行研究.早在18世紀(jì)初,人們已經(jīng)將弦線振動(dòng)的問(wèn)題歸結(jié)為弦振動(dòng)方程,并探討了它的解法.19世紀(jì),傅立葉做出了關(guān)于熱的解析理論的工作.傅立葉的主要成就理解為這樣兩個(gè)方面:第一,把物理問(wèn)題的公式化為表示當(dāng)作線性偏微分方程的邊值問(wèn)題來(lái)處理,這種處理使理論力學(xué)擴(kuò)展到牛頓<<原理>>所規(guī)定的范圍以外的領(lǐng)域;第二,他為這些方程的解所發(fā)明的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具,這些工具產(chǎn)生了一系列派生物,并且提出了數(shù)學(xué)分析中那些激發(fā)了19世紀(jì)及以后的許多第一流工作的問(wèn)題.隨后,人們又陸續(xù)了解了流體的運(yùn)動(dòng),彈性體的平衡的振動(dòng),熱傳導(dǎo)電磁相互作用,原子核和電子的相互作用,化學(xué)反應(yīng)過(guò)程等等自然現(xiàn)象的基本規(guī)律,把它們寫成偏微分方程的形式,并且求出了典型問(wèn)題的解答,從而能通過(guò)實(shí)踐,驗(yàn)證這些基本規(guī)律的正確性,顯示了數(shù)學(xué)物理方程對(duì)于認(rèn)識(shí)自然界基本規(guī)律的重要性.方法和作用:有了基本規(guī)律,人們還要利用這些基本規(guī)律來(lái)研究復(fù)雜的自然現(xiàn)象和解決復(fù)雜的工程技術(shù)問(wèn)題,這就要求出數(shù)學(xué)物理方程中的許多待定問(wèn)題的解答.隨著電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及計(jì)算技術(shù)的發(fā)展,即使是相當(dāng)復(fù)雜的問(wèn)題,也有可能計(jì)算出解的足夠精確的數(shù)值來(lái),這對(duì)于預(yù)測(cè)自然現(xiàn)象的變化(如氣象預(yù)報(bào))和進(jìn)行各種工程設(shè)計(jì)(如機(jī)械強(qiáng)度的計(jì)算)都有著很重要的作用.數(shù)學(xué)理論的產(chǎn)生—偏微分方程在研究數(shù)學(xué)物理方程的同時(shí),人們對(duì)偏微分方程的性質(zhì)也了解得越來(lái)越多,越來(lái)越深入,形成了數(shù)學(xué)中的一門重要的分支偏微分方程理論,它既有悠久的歷史,又不斷地更新著它的對(duì)象,內(nèi)容和方法.它直接聯(lián)系著眾多自然或產(chǎn)生需要解決的新課題和新方法.它所面臨的數(shù)學(xué)問(wèn)題多樣而復(fù)雜,不斷地促進(jìn)著許多相關(guān)數(shù)學(xué)分支(如泛函分析,復(fù)變函數(shù),微分幾何,計(jì)算數(shù)學(xué)等)的發(fā)展,并從它們之中引進(jìn)許多有力的解決問(wèn)題的工具.因此,數(shù)學(xué)物理方程又是純粹數(shù)學(xué)的許多分支和自然科學(xué)各部門及工程技術(shù)等領(lǐng)域之間的一個(gè)重要的橋梁.數(shù)學(xué)物理方程解決問(wèn)題的途徑:針對(duì)實(shí)際現(xiàn)象問(wèn)題,它是以建立模型,求解問(wèn)題,理論分析和解釋現(xiàn)象為內(nèi)容的課程,通過(guò)對(duì)典型問(wèn)題的深入探討,揭示偏微分方程的一些帶有普遍性的思想方法,求給出解過(guò)程和理論結(jié)論.實(shí)際問(wèn)題現(xiàn)象建立模型列出方程問(wèn)題的各種簡(jiǎn)化:方程問(wèn)題的各種研究--總結(jié)出一些定性定量的規(guī)律,解釋現(xiàn)象--通過(guò)數(shù)值計(jì)算分析和數(shù)值模擬--預(yù)測(cè),把握,控制出結(jié)果.本門課程中將介紹數(shù)學(xué)物理方程中一些最基本的內(nèi)容.如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個(gè)自變量，這個(gè)方程叫做常微分方程，也簡(jiǎn)稱微分方程；如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，或者說(shuō)如果未知函數(shù)和幾個(gè)變量有關(guān)，而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對(duì)幾個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，那么這種微分方程就是偏微分方程。

偏微分方程產(chǎn)生于十八世紀(jì)，在十九世紀(jì)得到迅速的發(fā)展。偏微分方程的產(chǎn)生和發(fā)展是與物理學(xué)的發(fā)展密不可分的。

隨著物理學(xué)所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的擴(kuò)展，偏微分方程的應(yīng)用范圍更廣泛。從數(shù)學(xué)自身的角度看，偏微分方程的求解促使數(shù)學(xué)需要在函數(shù)論、變分法、級(jí)數(shù)展開(kāi)、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等各方面發(fā)展，偏微分方程變成了數(shù)學(xué)的中心。

在科學(xué)技術(shù)日新月異的發(fā)展過(guò)程中，人們研究的許多問(wèn)題用一個(gè)自變量的函數(shù)來(lái)描述已經(jīng)顯得不夠了，不少問(wèn)題有多個(gè)變量的函數(shù)來(lái)描述。比如，從物理角度來(lái)說(shuō)，物理量有不同的性質(zhì)，溫度、密度等是用數(shù)值來(lái)描述的叫做純量；速度、電場(chǎng)的引力等，不僅在數(shù)值上有不同，而且還具有方向，這些量叫做向量；物體在一點(diǎn)上的張力狀態(tài)的描述出的量叫做張量，等等。這些量不僅和時(shí)間有關(guān)系，而且和空間坐標(biāo)也有聯(lián)系，這就要用多個(gè)變量的函數(shù)來(lái)表示。

應(yīng)該指出，對(duì)于所有可能的物理現(xiàn)象用某些多個(gè)變量的函數(shù)表示，只能是理想化的，如介質(zhì)的密度，實(shí)際上“在一點(diǎn)”的密度是不存在的。而我們把在一點(diǎn)的密度看作是物質(zhì)的質(zhì)量和體積的比當(dāng)體積無(wú)限縮小的時(shí)候的極限，這就是理想化的。介質(zhì)的溫度也是這樣。這樣就產(chǎn)生了研究某些物理現(xiàn)象的理想了的多個(gè)變量的函數(shù)方程，這種方程就是偏微分方程。

微積分方程這門學(xué)科產(chǎn)生于十八世紀(jì)，歐拉在他的著作中最早提出了弦振動(dòng)的二階方程，隨后不久，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾也在他的著作《論動(dòng)力學(xué)》中提出了特殊的偏微分方程。這些著作當(dāng)時(shí)沒(méi)有引起多大注意。1746年，達(dá)朗貝爾在他的論文《張緊的弦振動(dòng)時(shí)形成的曲線的研究》中，提議證明無(wú)窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動(dòng)的模式。這樣就由對(duì)弦振動(dòng)的研究開(kāi)創(chuàng)了偏微分方程這門學(xué)科。

和歐拉同時(shí)代的瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾·貝努利也研究了數(shù)學(xué)物理方面的問(wèn)題，提出了解彈性系振動(dòng)問(wèn)題的一般方法，對(duì)偏微分方程的發(fā)展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏微分方程，豐富了這門學(xué)科的內(nèi)容。

偏微分方程得到迅速發(fā)展是在十九世紀(jì)，那時(shí)候，數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的研究繁榮起來(lái)了，許多數(shù)學(xué)家都對(duì)數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的解決做出了貢獻(xiàn)。這里應(yīng)該提一提法國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉，他年輕的時(shí)候就是一個(gè)出色的數(shù)學(xué)學(xué)者。在從事熱流動(dòng)的研究中，寫出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對(duì)偏微分方程的發(fā)展的影響是很大的。

偏微分方程的內(nèi)容

偏微分方程是什么樣的？它包括哪些內(nèi)容？這里我們可從一個(gè)例子的研究加以介紹。

弦振動(dòng)是一種機(jī)械運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本定律是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的F=ma，但是弦并不是質(zhì)點(diǎn)，所以質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的定律并不適用在弦振動(dòng)的研究上。然而，如果我們把弦細(xì)細(xì)地分成若干個(gè)極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，這樣我們就可以應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的基本定律了。

弦是指又細(xì)又長(zhǎng)的彈性物質(zhì)，比如弦樂(lè)器所用的弦就是細(xì)長(zhǎng)的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時(shí)候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬(wàn)倍。當(dāng)演奏的人用薄片撥動(dòng)或者用弓在弦上拉動(dòng)，雖然只因其所接觸的一段弦振動(dòng)，但是由于張力的作用，傳播到使整個(gè)弦振動(dòng)起來(lái)。

用微分的方法分析可得到弦上一點(diǎn)的位移是這一點(diǎn)所在的位置和時(shí)間為自變量的偏微分方程。偏方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動(dòng)方程，它屬于數(shù)學(xué)物理方程中的波動(dòng)方程，也就是雙曲型偏微分方程。

偏微分方程的解一般有無(wú)窮多個(gè)，但是解決具體的物理問(wèn)題的時(shí)候，必須從中選取所需要的解，因此，還必須知道附加條件。因?yàn)槠⒎址匠淌峭活惉F(xiàn)象的共同規(guī)律的表示式，僅僅知道這種共同規(guī)律還不足以掌握和了解具體問(wèn)題的特殊性，所以就物理現(xiàn)象來(lái)說(shuō)，各個(gè)具體問(wèn)題的特殊性就在于研究對(duì)象所處的特定條件，就是初始條件和邊界條件。

拿上面所舉的弦振動(dòng)的例子來(lái)說(shuō)，對(duì)于同樣的弦的弦樂(lè)器，如果一種是以薄片撥動(dòng)弦，另一種是以弓在弦上拉動(dòng)，那么它們發(fā)出的聲音是不同的。原因就是由于“撥動(dòng)”或“拉動(dòng)”的那個(gè)“初始”時(shí)刻的振動(dòng)情況不同，因此產(chǎn)生后來(lái)的振動(dòng)情況也就不同。

天文學(xué)中也有類似情況，如果要通過(guò)計(jì)算預(yù)言天體的運(yùn)動(dòng)，必須要知道這些天體的質(zhì)量，同時(shí)除了牛頓定律的一般公式外，還必須知道我們所研究的天體系統(tǒng)的初始狀態(tài)，就是在某個(gè)起始時(shí)間，這些天體的分布以及它們的速度。在解決任何數(shù)學(xué)物理方程的時(shí)候，總會(huì)有類似的附加條件。

就弦振動(dòng)來(lái)說(shuō)，弦振動(dòng)方程只表示弦的內(nèi)點(diǎn)的力學(xué)規(guī)律，對(duì)弦的端點(diǎn)就不成立，所以在弦的兩端必須給出邊界條件，也就是考慮研究對(duì)象所處的邊界上的物理狀況。邊界條件也叫做邊值問(wèn)題。

當(dāng)然，客觀實(shí)際中也還是有“沒(méi)有初始條件的問(wèn)題”，如定場(chǎng)問(wèn)題（靜電場(chǎng)、穩(wěn)定濃度分布、穩(wěn)定溫度分布等），也有“沒(méi)有邊界條件的問(wèn)題”，如著重研究不靠近兩端的那段弦，就抽象的成為無(wú)邊界的弦了。

在數(shù)學(xué)上，初始條件和邊界條件叫做定解條件。偏微分方程本身是表達(dá)同一類物理現(xiàn)象的共性，是作為解決問(wèn)題的依據(jù)；定解條件卻反映出具體問(wèn)題的個(gè)性，它提出了問(wèn)題的具體情況。方程和定解條件合而為一體，就叫做定解問(wèn)題。

求偏微分方程的定解問(wèn)題可以先求出它的通解，然后再用定解條件確定出函數(shù)。但是一般來(lái)說(shuō)，在實(shí)際中通解是不容易求出的，用定解條件確定函數(shù)更是比較困難的。

偏微分方程的解法還可以用分離系數(shù)法，也叫做傅立葉級(jí)數(shù)；還可以用分離變數(shù)法，也叫做傅立葉變換或傅立葉積分。分離系數(shù)法可以求解有界空間中的定解問(wèn)題，分離變數(shù)法可以求解無(wú)界空間的定解問(wèn)題；也可以用拉普拉斯變換法去求解一維空間的數(shù)學(xué)物理方程的定解。對(duì)方程實(shí)行拉普拉斯變換可以轉(zhuǎn)化成常微分方程，而且初始條件也一并考慮到，解出常微分方程后進(jìn)行反演就可以了。

應(yīng)該指出，偏微分方程的定解雖然有以上各種解法，但是我們不能忽視由于某些原因有許多定解問(wèn)題是不能嚴(yán)格解出的，只可以用近似方法求出滿足實(shí)際需要的近似程度的近似解。

常用的方法有變分法和有限差分法。變分法是把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成變分問(wèn)題，再求變分問(wèn)題的近似解；有限差分法是把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程，然后用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算；還有一種更有意義的模擬法，它用另一個(gè)物理的問(wèn)題實(shí)驗(yàn)研究來(lái)代替所研究某個(gè)物理問(wèn)題的定解。雖然物理現(xiàn)象本質(zhì)不同，但是抽象地表示在數(shù)學(xué)上是同一個(gè)定解問(wèn)題，如研究某個(gè)不規(guī)則形狀的物體里的穩(wěn)定溫度分布問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上是拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題，由于求解比較困難，可作相應(yīng)的靜電場(chǎng)或穩(wěn)恒電流場(chǎng)實(shí)驗(yàn)研究，測(cè)定場(chǎng)中各處的電勢(shì)，從而也解決了所研究的穩(wěn)定溫度場(chǎng)中的溫度分布問(wèn)題。

隨著物理科學(xué)所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的擴(kuò)展，偏微分方程的應(yīng)用范圍更廣泛。從數(shù)學(xué)自身的角度看，偏微分方程的求解促使數(shù)學(xué)在函數(shù)論、變分法、級(jí)數(shù)展開(kāi)、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等各方面進(jìn)行發(fā)展。從這個(gè)角度說(shuō)，偏微分方程變成了數(shù)學(xué)的中心。

解法：1、先變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型，看是哪種類型，如橢圓型，雙曲型。拋物型。

2、結(jié)為四大基本方程：位勢(shì)方程，波動(dòng)方程，熱傳導(dǎo)方程，傳輸方程，

3、其解法解決。數(shù)學(xué)物理方法

是以研究物理問(wèn)題為目標(biāo)的數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)方法。它探討物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，即尋求物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述，并對(duì)模型已確立的物理問(wèn)題研究其數(shù)學(xué)解法，然后根據(jù)解答來(lái)詮釋和預(yù)見(jiàn)物理現(xiàn)象，或者根據(jù)物理事實(shí)來(lái)修正原有模型。

物理問(wèn)題的研究一直和數(shù)學(xué)密切相關(guān)。作為近代物理學(xué)始點(diǎn)的牛頓力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)和剛體的運(yùn)動(dòng)用常微分方程來(lái)刻畫，求解這些方程就成為牛頓力學(xué)中的重要數(shù)學(xué)問(wèn)題。這種研究一直持續(xù)到今天。例如，天體力學(xué)中的三體問(wèn)題和各種經(jīng)典的動(dòng)力系統(tǒng)都是長(zhǎng)期研究的對(duì)象。

在十八世紀(jì)中，牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)開(kāi)始由變分原理所刻畫，這又促進(jìn)了變分法的發(fā)展，并且到后來(lái)，許多物理理論都以變分原理作為自己的基礎(chǔ)。

十八世紀(jì)以來(lái)，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、傳熱學(xué)和電磁場(chǎng)理論中，歸結(jié)出許多偏微分方程通稱數(shù)學(xué)物理方程(也包括有物理意義的積分方程、微分積分方程和常微分方程)。直到二十世紀(jì)初期，數(shù)學(xué)物理方程的研究才成為數(shù)學(xué)物理的主要內(nèi)容。

此后，聯(lián)系于等離子體物理、固體物理、非線性光學(xué)、空間技術(shù)核技術(shù)等方面的需要，又有許多新的偏微分方程問(wèn)題出現(xiàn)，例如孤立子波、間斷解、分歧解、反問(wèn)題等等。它們使數(shù)學(xué)物理方程的內(nèi)容進(jìn)一步豐富起來(lái)。復(fù)變函數(shù)、積分變換、特殊函數(shù)、變分法、調(diào)和分析、泛函分析以至于微分幾何、代數(shù)幾何都已是研究數(shù)學(xué)物理方程的有效工具。

從二十世紀(jì)開(kāi)始，由于物理學(xué)內(nèi)容的更新，數(shù)學(xué)物理也有了新的面貌。伴隨著對(duì)電磁理論和引力場(chǎng)的深入研究，人們的時(shí)空觀念發(fā)生了根本的變化，這使得閔科夫斯基空間和黎曼空間的幾何學(xué)成為愛(ài)因斯坦狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論所必需的數(shù)學(xué)理論。許多物理量以向量、張量和旋量作為表達(dá)形式在探討大范圍時(shí)空結(jié)構(gòu)時(shí)，還需要整體微分幾何。

量子力學(xué)和量子場(chǎng)論的產(chǎn)生，使數(shù)學(xué)物理添加了非常豐富的內(nèi)容。在量子力學(xué)中物質(zhì)的態(tài)用波函數(shù)刻畫，物理量成為算子，測(cè)量到的物理量是算子的譜。在量子場(chǎng)論中波函數(shù)又被二次量子化成為算子，在電磁相互作用、弱相互作用和強(qiáng)相互作用中描述粒子的產(chǎn)生和消滅。

因此，必須研究各種函數(shù)空間的算子譜、函數(shù)的譜分析和由算子所形成的代數(shù)。同時(shí)還要研究微擾展開(kāi)和重正化(處理發(fā)散困難)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。此外，用非微擾方法研究非線性場(chǎng)論也是一個(gè)令人注目的課題。

物理對(duì)象中揭示出的多種多樣的對(duì)稱性，使得群論顯