充分條件與必要條件習題課 高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

1.4

充分條件與必要條件命題真假“若p,則q”是真命題“若p,則q”是假命題推出關(guān)系P

q9條件關(guān)系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件一、知識回顧1.

充分條件與必要條件一、知識回顧2.

充要條件(1)一般地，如果既有p

?q,

又有q→p,

就記作p

?q.

此時，我們說，p

是

q

的充分必要條件，簡稱充要條件.概括地說，如果p

?q,

那么p

與q

互為充要條件.(2)若p=q,

但q=p,

則稱p

是q

的充分不必要條件.(3)若q→p,

但p≠q,

則稱p

是

q

的必要不充分條件.(4)若p≠q,

且

q≠p,

則稱p

是

q

的既不充分也不必要條件.二、課堂練習1.下列"若p,

則q"

形式的命題中，哪些命題中的p

是q

的充分條件?(1)若平面內(nèi)點P

在線段AB

的垂直平分線上，則PA=PB;(2)若兩個三角形的兩邊及一邊所對的角分別相等，則這兩個三角形全等；(3)若兩個三角形相似，則這兩個三角形的面積比等于周長比的平方.【分析】根據(jù)所給命題，判斷出能否得到p→q,

從而得到p

是否是q

的充分條件，得到答.【答案】(1)線段垂直平分線的性質(zhì)，

p=q,p

是

q

的充分條件；(2)三角形的兩邊及一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全等，

p+q,p不是q

的充分條件；(3)相似三角形的性質(zhì)，

p=q,p

是

q

的充分條件.案二、

課堂練習2.

下列"若p,

則

q"形式的命題中，哪些命題中的q

是

p

的必要條件?(1)若直線l與⊙o

有且僅有一個交點，則l為

⊙o的一條切線；(

2

)

若x

是無理數(shù)，則x2

也是無理數(shù).【分析】根據(jù)所給命題，判斷出能否得到P→9,

從而得到q

是否是p

的必要條件，得到答案.【答案】(1)這是圓的切線定義，

p→q,

所

以q

是

p

的必要條件；(2)由于√2

是無理數(shù)，但(

√2)2=2不是無理數(shù)，

p≠q

,所以q

不是p

的必要條件.二、

課堂練習3.如圖，直線a

與b

被直線1所截，分別得到了∠,∠,∠3和∠4.請根據(jù)這些信息，寫出幾個“a//b”

的充分條件和必要條件.【分析】根據(jù)a//b

可以得到內(nèi)錯角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補，根據(jù)內(nèi)錯角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補，得到a//b【答案】因為內(nèi)錯角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補，得到a//b,所以

“a//b”

的充分條件：∠1=∠2,∠1=∠4,∠1+∠3=180°;因為a//b

可以得到內(nèi)錯角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補，所以“a//b”

的必要條件：∠=∠2,∠=∠4,∠+∠3=180°二、課堂練習4.下列各題中，哪些p

是q

的充要條件?(1)p:

三角形為等腰三角形，

q:

三角形存在兩角相等；(2)p:OO

內(nèi)兩條弦相等，

q:

⊙O

內(nèi)兩條弦所對的圓周角相等；(3)p:A∩B

為空集，

q:A

與B

之一為空集.【答案】在(1)中，三角形中等邊對等角，等角對等邊，所以P

?q,

所以p

是q的充要條件；在(2)中，

⊙O內(nèi)兩條弦相等，它們所對的圓周角相等或互補，因此，

p

q,

所以p

不是q

的充要條件；在(3)中，取A={1,2},B={3},顯然，

A∩B=

の,

但

A

與

B

均不為空集，因此，

Pp?,

所以p

不是q

的充要條件.二、

課堂練習5.

分別寫出"兩個三角形全等"和“兩個三角形相似”的幾個充要條件.【答案】"兩個三角形全等"的充要條件如下：①三邊對應相等；②兩邊及其夾角對應相等；③兩角及其夾邊對應相等；④兩角及一角的對

邊對應相等.

“兩個三角形相似”的充要條件如下：①三個內(nèi)角對應相等(或兩個內(nèi)角對應相等);②三邊對應成比例；③兩邊對應成比例且夾角相等.【分析】先由梯形ABCD為等腰梯形，證明AC=BD,

驗證必要性；再由AC=BD證明梯ABCD為等腰梯形，驗證充分性，即可得出結(jié)論成立?！敬鸢浮孔C明：(1)必要性.在等腰梯形ABCD

中，

AB=DC,

∠ABC=

∠DCB,又∵∵BC=CB,

∴△BAC≈

△CDB,

∴

AC=BD二、

課堂練習6.證明：如圖，梯形ABCD為等腰梯形的充要條件是AC=BD∴△ABC

∈△DCB.

∴AB=DC∴梯形ABCD

為等腰梯形

.由(1)(2)可得，梯形ABCD為等腰梯形的充要條件是AC=BD如圖，過點D

作

DE//AC,交

BC

的延長線于點E.∵AD//BE,DE//AC,

∴四

邊

形ACED

是平行四邊形.

∴

DE=AC∵AC=BD,

∴BD=DE,∴∠E=

∠

1.二、課堂練習(

2

)

充

分

性

.又

∵AC//DE,

∴∠2=

∠E,

∴∠

1=

∠2在△ABC

和△DCB

中

，三、復習鞏固7.

舉例說明：(1)p是

q

的充分不必要條件；(2)p是

q

的必要不充分條件；(3)p是

q

的充要條件.【答案】(1)“x>1

"是"x>0

”的充分不必要條件；(2)“x2=y2

”是“x=y

”的必要不充分條件；(3)“內(nèi)錯角相等”是"兩直線平行"的充要條件三、

復習鞏固8.在下列各題中，判斷p

是q

的什么條件(請用"充分不必要條件”"必要不充分條件""充要條件”"既不充分又不必要條件"回答):(1)p:三角形是等腰三角形，q:三角形是等邊三角形；(2)在一元二次方程中，

P:ax2+bx+c=0

有實數(shù)根，

q:b2-4ac≥0;(3)p:a

∈PnQ,q:a

∈P;

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形與等邊三角形的關(guān)系分析.(4)p:a

∈PUQ,q:a

∈P;(5)p:x>y,q:x2>y2

(3)根據(jù)集合的基本關(guān)系分析(4)根據(jù)集合的基本關(guān)系分析(5)舉例說明分析(2)根據(jù)二次方程的根分析三、

復習鞏固【答案】(1)因為等腰三角形是特殊的等邊三角形，故p

是q

的必要不充分條件.(2)一元二次方程ax2+bx+c=0

有實數(shù)根則判別式△=b2-4ac≥0.故p

是

q

的充要條件.(3)因為ae(PUg),

故a

∈P

且a

∈Q;

當a

∈P

時a

∈Q

不一定成立.

故p

是

q

的充分不必要條件.(4)因為a∈(PUg),

故a∈P

或a∈Q,所以a∈P

不一定成立；當a

∈p

時a

∈PUQ

一定成立.故p

是

q

的必要不充分條件.(5)當x=1,y=-2

時，滿足x>y

但x2>y2

不成立.當x=-2,y=1

時，滿足x2>y2

但x>y

不成立.三、

復習鞏固9.

判斷下列命題的真假：(1)點P

到圓心O

的距離大于圓的半徑是點P

在⊙O

外的充要條件；(2)兩個三角形的面積相等是這兩個三角形全等的充分不必要條件；(3)AUB=A

是BCA

的必要不充分條件；(4)x

或y

為有理數(shù)是xy

為有理數(shù)的既不充分又不必要條件.【答案】(1)根據(jù)點與圓的位置關(guān)系知點P

到圓心O

的距離大于圓的半徑是點P

在⊙O

外的充要條件.

故(1)為真命題.(2)兩個三角形面積相等也可能同底等高，全等三角形面積一定相等.故兩個三角形的

面積相等是這兩個三角形全等的必要不充分條件.

故(2)為假命題.(3)AUB=A

是B=A

的充要條件.

故(3)為假命題.(4)當x=1,y=√2時，滿足“x

或y

為有理數(shù)”但“xy

為有理數(shù)”不成立.當x=y=√2

時滿足“xy為有理數(shù)”但“x或y

為有理數(shù)”不成立.

故(4)為真命題.四、綜合運用10.已知A={x|x

滿足條件p},B={x|x

滿足條件q},(1)如果A≤B,

那么p

是

q

的什么條件?(2)如果BCA,

那么p

是

q

的什么條件?(3)如果A=B,

那么p

是

q

的什么條件?【答案】(1)如果A≤B,

則滿足條件p

也滿足條件q.故p

是

q

的充分條件.(2)如果BEA,

則滿足條件

q

也滿足條件p.故p

是

q

的必要條件.(3)如果A=B,

則滿足條件p

滿足條件q,且滿足條件q

也滿足條件p.

故p

是q

的充要條件.四、綜合運用11.設a,b,c∈R證明：a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要條件是a=b=c證明：(1)充分性：如果a=b=c,那么(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,∴a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,

∴a2+b2+c2=ab+ac+bc(2)必要性：如果a2+b2+c2=ab+ac+bc,那么a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,

∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,

∴a=b=c.由(1)(2)知，a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要條件是a=b=c五、

拓廣探索12.設a,b,c

分別是△ABC的三條邊，且a≤b≤c.

我們知道，如果△ABC為直角三角形，那么a2+b2=c2

(勾股定理).反過來，如果a2+b2=c2,

那么△ABC

為直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知，△ABC

為直角三角形的充要條件是a2+b2=c2.

請利用邊長a,b,c

分別給出△ABC

為銳角三角形和鈍角三角形的一個充要條件，并證明.【分析】根據(jù)勾股定理易得△ABC為銳角三角形的充要條件是a2+b2>c2

△ABC

為鈍角三角形的充要條件是a2+b2<c2

.

再分別證明充分與必要性即可.=AC2+CB2-2CB

·CD<AC2+CB2,

即c2<a2+b2充分性：在△ABC中，a2+b2>c2,

∴∠C

不是直角.假設∠C

為鈍角，如圖(2).作AD⊥BC,

交

BC

延長線于點D.則AB2=AD2+BD2=AC2-CD2+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC

·CD=AC2+BC2+2BC

·CD>AC2+BC2即c2>b2+a2,與“a2+b2>c2”

矛盾.故∠C

為銳角，即△ABC

為銳角三角形.五

、拓廣探索解：(1)設a,b,c分別是△ABC

的三條邊，且a≤b≤c,

△ABC

為銳角三角形的充嚴條件是a2+b2>c2證明如下：必要性：在△ABC中，∠C

是銳角，作AD

⊥BC,D

為垂足，如圖(1).