《高等數(shù)學(xué)（上冊）》（陽平華）645-4教案 第一章 第3課 無窮小量與無窮大量、極限的運(yùn)算法則

第課第課無窮小量與無窮大量、極限的運(yùn)算法則3無窮小量與無窮大量、極限的運(yùn)算法則無窮小量與無窮大量、極限的運(yùn)算法則第課3PAGE8 PAGE8PAGE9 PAGE9無窮小量與無窮大量、極限的運(yùn)算法則無窮小量與無窮大量、極限的運(yùn)算法則第課3

課題無窮小量與無窮大量、極限的運(yùn)算法則課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）掌握無窮小量、無窮大量的概念。（2）理解無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系、無窮大與無窮小的關(guān)系。（3）能夠判斷無窮小量和無窮大量。（4）能夠運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則求極限。（5）理解復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則。思政育人目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)無窮小量與無窮大量、極限的運(yùn)算法則，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；樹立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：無窮小量、無窮大量的概念、極限的四則運(yùn)算法則教學(xué)難點(diǎn)：無窮小量和無窮大量的判斷、運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則求極限教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第1節(jié)課：第2節(jié)課：知識(shí)講解（25min）（5min）→課堂小結(jié)（5min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識(shí)講解

（30min）【教師】講解無窮小量的相關(guān)知識(shí)，并通過例題講解介紹其應(yīng)用1．無窮小量的概念定義1在自變量的某一變化過程中，以0為極限的函數(shù)稱為無窮小量，簡稱無窮小，常用，，等表示．例如，當(dāng)時(shí)，是無窮小量；當(dāng)時(shí)，是無窮小量；當(dāng)時(shí)，是無窮小量．例1下列變量在自變量怎樣的變化過程中為無窮小量：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，為無窮小量．（2）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，為無窮小量．（3）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，為無窮小量．（4）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，為無窮小量．2．無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系定理1在自變量的同一變化過程中，函數(shù)以常數(shù)A為極限的充要條件是可以表示為常數(shù)A與一個(gè)無窮小量之和，即．3．無窮小量的性質(zhì)性質(zhì)1有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量．性質(zhì)2有限個(gè)無窮小量的乘積仍是無窮小量．性質(zhì)3有界變量與無窮小量的乘積仍是無窮小量．推論常數(shù)與無窮小量的乘積仍是無窮小量．例2求．解因?yàn)?，?dāng)時(shí)，是無窮小量．根據(jù)無窮小量的性質(zhì)3，當(dāng)時(shí)，是無窮小量，即．【學(xué)生】掌握無窮小量的概念和性質(zhì)，理解無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系【教師】講解無窮大量的相關(guān)知識(shí)，并通過例題講解介紹其應(yīng)用1．無窮大量的概念定義2在自變量的某個(gè)變化過程中，絕對(duì)值無限增大的函數(shù)稱為無窮大量，簡稱無窮大，記作．例如，當(dāng)時(shí)，無限增大，所以當(dāng)時(shí)，是無窮大，即．2．無窮大與無窮小的關(guān)系定理2在同一變化過程中，無窮大量的倒數(shù)必是無窮小量；非零無窮小量的倒數(shù)必是無窮大量．例如，當(dāng)時(shí)，是無窮大量，則是無窮小量；當(dāng)時(shí)，是無窮小量，則是無窮大量．例3下列變量在自變量怎樣的變化過程中為無窮大量：（1）； （2）．解（1）因?yàn)闀r(shí)，，即；時(shí)，，即，所以及時(shí)，都是無窮大量．（2）因?yàn)闀r(shí)，，即，所以時(shí)，是無窮大量．【學(xué)生】掌握無窮大量的概念，理解無窮大與無窮小的關(guān)系學(xué)習(xí)無窮小量的概念、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系、無窮小量的性質(zhì)，無窮大量的概念、無窮大與無窮小的關(guān)系。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化問題討論

（5min）【教師】組織學(xué)生討論以下問題1．給出無窮小量的定義．2．無窮小量的性質(zhì)與極限的性質(zhì)有什么聯(lián)系與區(qū)別？【學(xué)生】討論、發(fā)言通過課堂討論，活躍課堂氣氛，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解課堂測驗(yàn)（8min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象第二節(jié)課知識(shí)講解

（25min）【教師】講解極限的四則運(yùn)算法則，并通過例題講解介紹其應(yīng)用定理1若，，則：（1）；（2）；（3）．推論設(shè)存在，c為常數(shù)，n為正整數(shù)，則有：（1）；（2）．定理2設(shè)有數(shù)列和，若，，則（1）；（2）；（3）．例1求．解．結(jié)論一般地，多項(xiàng)式函數(shù)在處的極限就等于該函數(shù)在處的函數(shù)值，即例2求．解這里分母的極限不為零，故．結(jié)論一般地，當(dāng)有理分式函數(shù)中分母的極限不為零時(shí)，有理分式在處的極限也等于其在處的函數(shù)值．例3求．解因?yàn)榉帜傅臉O限，故不能直接用商的極限法則；而分子的極限，可考慮倒數(shù)的極限．．由無窮小量與無窮大量的倒數(shù)關(guān)系，得．結(jié)論一般地，在求分母的極限為零、分子的極限不為零的分式函數(shù)的極限時(shí)，可利用無窮小量與無窮大量的倒數(shù)關(guān)系來確定原式的極限．例4求．解因?yàn)榉帜傅臉O限，故不能直接用商的極限法則；而分子的極限，因此可先因式分解，消去公因式，再求極限．．結(jié)論一般地，在求分子、分母的極限均為零的有理分式函數(shù)的極限時(shí)，先對(duì)分子、分母因式分解，約去趨向于零的公因式，然后再求極限．例5求．解因?yàn)楫?dāng)時(shí)，分子、分母的極限均為零，但它與上題不同，需借助于根式有理化，從而約去趨向于零的公因式（稱為零因子）．．結(jié)論一般地，在求分子、分母的極限均為零的非有理分式函數(shù)的極限時(shí)，若分子或分母中含有根式，可先對(duì)根式有理化，約去零因子，然后再求極限．例6求．解當(dāng)時(shí)，分子、分母都是無窮大，即極限不存在，故也不能直接用商的極限法則，但可以將分子、分母同除以它的最高次冪使其分子分母中各項(xiàng)均有極限，再利用極限四則運(yùn)算法則計(jì)算．例7求．解將分子、分母同除以它的最高次冪，得．例8求．解由例7結(jié)果及無窮小量與無窮大量的倒數(shù)關(guān)系可得．結(jié)論一般地，當(dāng)時(shí)，有以下結(jié)果：例9求．解當(dāng)時(shí)，分子、分母都是無窮大，故不能直接用商的極限法則，但可以將分子、分母同除以，再利用極限四則運(yùn)算法則計(jì)算．．例10求．解本題可先根式有理化，然后利用例9方法求得．．例11求．解因?yàn)楹途淮嬖冢圆荒苤苯佑貌畹臉O限法則，可先通分化簡，再求極限．結(jié)論一般地，在求兩個(gè)有理分式差的極限時(shí)，若這兩個(gè)有理分式都是無窮大量，可先將它們通分化簡，再求極限.【學(xué)生】掌握極限的四則運(yùn)算法則【教師】講解復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理5設(shè)函數(shù)是由函數(shù)與復(fù)合而成的，在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域上有定義，若，，且當(dāng)時(shí)，，則．例12求．解函數(shù)是由與復(fù)合而成的．因?yàn)椋?，所以．【學(xué)生】理解復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則學(xué)習(xí)極限的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化問題討論

（5min）【教師】組織學(xué)生討論以下問題若存在，存在，是否一定有存在？若不存在，不存在，是否一定有不存在？【學(xué)生】討論、發(fā)言通過課堂討論，活躍課堂氣氛，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解課堂測驗(yàn)（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象課堂小結(jié)

（5min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了無窮小量、無窮大量、極限的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則的相關(guān)知識(shí)及其應(yīng)用。課后大家要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知。【學(xué)生