統(tǒng)計學原理：第4章 動態(tài)數(shù)列

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第四章動態(tài)數(shù)列1、了解時間數(shù)列的概念與編制原則，時間數(shù)列的種類及其特點；2、掌握發(fā)展水平，增減水平，平均發(fā)展水平指標的含義與計算公式；3、掌握發(fā)展速度，增長速度，平均速度指標的計算方法及其應用；4、理解時間數(shù)列的影響因素，著重長期趨勢分析，包括移動平均法，指數(shù)平滑法，數(shù)學模型法的原理與具體計算，5、理解季節(jié)指數(shù)的兩種基本測定方法。教學內(nèi)容與要求

基本要素

現(xiàn)象所屬時間一定時間下的指標值

將某一統(tǒng)計指標在不同時間上的數(shù)值按時間先后順序排列形成的序列。某企業(yè)2001---2006年發(fā)展情況年份200120022003200420052006總產(chǎn)值（萬元）101215182026年末職工人數(shù)（人）140150146142150155高級職稱比重（%）1.62.52.42.82.93.1職工月人均工資（元/人）5896787958628841056一、動態(tài)數(shù)列的概念4.1動態(tài)數(shù)列的編制定義

1.計算各種水平和速度指標，考察現(xiàn)象發(fā)展變化的方向、快慢，作動態(tài)比較

2.建立數(shù)學模型，描述現(xiàn)象發(fā)展的趨勢，進行預測

3.對時間序列進行回歸分析，提示現(xiàn)象相關(guān)特征及動態(tài)演變作用二、動態(tài)數(shù)列的種類1、時期數(shù)列：說明現(xiàn)象在各個時期內(nèi)的總量。（可相加、大小與時期長短有關(guān)、連續(xù)登記）

2、時點數(shù)列：說明現(xiàn)象在某一時點上的數(shù)量水平。（不可相加、大小與時期長短無關(guān)、一次登記）（一）絕對數(shù)動態(tài)數(shù)列：將一系列同類的總量指標按時間先后順序排列?？杀刃灾笜藭r間統(tǒng)一總體范圍統(tǒng)一經(jīng)濟內(nèi)容統(tǒng)一計算方法統(tǒng)一計價與單位統(tǒng)一三、動態(tài)數(shù)列的編制原則（二）相對數(shù)動態(tài)數(shù)列：反映現(xiàn)象對比關(guān)系的發(fā)展變化情況。如比例關(guān)系、結(jié)構(gòu)、速度的發(fā)展變化過程。各指標值不能相加。（三）平均數(shù)動態(tài)數(shù)列：反映現(xiàn)象一般水平的發(fā)展趨勢。各指標值不能相加。1、發(fā)展水平：一、發(fā)展水平和平均發(fā)展水平4.2動態(tài)數(shù)列的水平分析指標◆現(xiàn)象在一定時期或時點上數(shù)量的多少（具體數(shù)值）總量指標—絕對水平：工業(yè)總產(chǎn)值，人口數(shù)等相對指標—相對水平：工業(yè)占總產(chǎn)值比重平均指標—平均水平：平均工資（1）分類0a最初水平中間各項水平最末水平有動態(tài)數(shù)列在對兩個時間的發(fā)展水平作動態(tài)對比時，作為對比基礎(chǔ)的水平稱為基期水平；作為研究時期的指標水平稱為報告期水平或計算期水平。（2）幾個概念：2、平均發(fā)展水平：◆將不同時期的發(fā)展水平加以平均而得到的平均數(shù)。是用一個數(shù)字代表某一階段的一般發(fā)展水平。發(fā)展水平從動態(tài)上說明其在某一段時間內(nèi)的一般發(fā)展水平，而一般平均數(shù)說明某一歷史條件下一般水平。平均發(fā)展水平是同一現(xiàn)象不同時間上數(shù)量差異的抽象化，而一般平均數(shù)是同一時間內(nèi)某一標志值差異抽象化。（1）與一般平均數(shù)的差異時期數(shù)列：時點數(shù)列：連續(xù)時點間隔時間時點數(shù)列計算是假定在某一時間間隔內(nèi)現(xiàn)象的增減變動比較均勻的前提下計算的近似值。（2）由絕對數(shù)動態(tài)數(shù)列計算序時平均數(shù)☆

連續(xù)時點

逐日登記變動登記

例：某單位今年5月份的職工人數(shù)變動記錄如下:日期1-1011-1819-2223-31人數(shù)（人）406408401414數(shù)值持續(xù)不變的天數(shù)，以天數(shù)為權(quán)重

計算該單位5月份平均職工人數(shù):☆間隔時點間隔不等：間隔相等例：1、某銀行存款資料如下：時間1月初2月初3月初4月初銀行存款余額（億元）45506882該銀行第一季度的平均存款余額為：例：某企業(yè)去年擁有固定資產(chǎn)資料如下:時間1月初5月末10月初年末固定資產(chǎn)(萬元）2210258035603848則該企業(yè)去年平均固定資產(chǎn)價值為：一般平均數(shù)：與相對數(shù)列方法一致序時平均數(shù)（總量）：算術(shù)平均法基本思想：分別計算形成分子數(shù)列和分母數(shù)列的動態(tài)數(shù)列的序時平均數(shù)，然后加以對比。（4）由平均數(shù)動態(tài)數(shù)列計算序時平均數(shù)（3）由相對數(shù)動態(tài)數(shù)列計算序時平均數(shù)[例]某商店某年第一季度商品流轉(zhuǎn)資料如下：計算第一季度月平均商品流轉(zhuǎn)次數(shù)。

月份1月2月3月商品流轉(zhuǎn)額（萬元）200243272平均商品儲存額（萬元）809085商品流轉(zhuǎn)次數(shù)（次）2.52.73.2

月份1月2月3月商品流轉(zhuǎn)額（萬元）200243272平均商品儲存額（萬元）809085商品流轉(zhuǎn)次數(shù)（次）2.52.73.2月平均流轉(zhuǎn)額=平均儲存額=月平均流轉(zhuǎn)次數(shù)=例：某工廠上半年總產(chǎn)值及工人人數(shù)資料如下：

時間1月2月3月4月5月6月總產(chǎn)值（萬元）8092.296.896.9120.1115.2月初人數(shù)（人）196198210206208212計算該廠上半年月人均產(chǎn)值。（7月初工人數(shù)209人）[解](1)上半年月平均產(chǎn)值：

(2)上半年平均工人數(shù)：（萬元）（人）(3)月人均產(chǎn)值：（萬元/人、月）二、增長量和平均增長量1、增長量：◆說明社會經(jīng)濟現(xiàn)象在一定時期內(nèi)所增長的絕對數(shù)量。增長量＝報告期水平－基期水平逐期增長量之和等于末期累計增長量年距增長量＝報告期發(fā)展水平–上年同期發(fā)展水平（1）逐期增長量（2）累計增長量（3）年距（同期）增長量2、平均增長量（逐期增長量的平均值）：◆說明社會經(jīng)濟現(xiàn)象在一定時期內(nèi)平均每期增長的數(shù)量，是逐期增長量動態(tài)數(shù)列的序時平均數(shù)，反映平均增長水平。n-1aaninni0),.....3,2,1(-==D=D?時間1月2月3月4月5月6月總產(chǎn)值（萬元）逐月增長量累計增長量80------92.212.212.296.84.616.896.90.116.9120.123.240.1115.2-4.935.2月初人數(shù)（人）逐月增長量累計增長量196------198222101214206-410208212212416總產(chǎn)值月平均增長量：工人數(shù)月平均增長量：一、發(fā)展速度和增長速度4.3動態(tài)數(shù)列的速度分析指標1、發(fā)展速度◆說明社會經(jīng)濟現(xiàn)象的發(fā)展變化程度。發(fā)展速度＝報告期水平/基期水平◆說明從固定期到報告期這一期間內(nèi)總發(fā)展程度。定基發(fā)展速度＝報告期水平/某一固定時期水平◆說明現(xiàn)象的逐期發(fā)展程度。環(huán)比發(fā)展速度＝報告期水平/前一期水平最末期定基發(fā)展速度=各期環(huán)比發(fā)展速度之積（1）定基發(fā)展速度（2）環(huán)比發(fā)展速度

2、增長速度◆是指現(xiàn)象從基期到報告期增長的相對程度。增長速度＝增長量/基期發(fā)展水平增長速度=發(fā)展速度-1定基增長速度：累計增長量與某一固定基期水平相比定基增長速度=定基發(fā)展速度-1環(huán)比增長速度：逐期增長量與前一期發(fā)展水平之比環(huán)比增長速度=環(huán)比發(fā)展速度-1增長速度和發(fā)展速度的關(guān)系時間1月2月3月4月5月6月總產(chǎn)值（萬元）定基發(fā)展速度％環(huán)比發(fā)展速度％80------92.2115.25115.2596.8121100.696.9121.1100.1120.1150.1123.9115.214495.92定基增長速度％環(huán)比增長速度％------15.2515.25210.621.10.150.123.944-4.08二、平均發(fā)展速度和平均增長速度1平均發(fā)展速度◆各期環(huán)比發(fā)展速度的序時平均數(shù)。計算方法有幾何平均法、方程法。2平均增長速度◆各期環(huán)比增長速度的序時平均數(shù)。表明現(xiàn)象在一定時期內(nèi)逐期平均增長變化的程度。平均增長速度＝平均發(fā)展速度－1

（1）幾何平均法計算平均發(fā)展速度

時間分段：掌握最初和最末水平掌握發(fā)展總水平

根據(jù)定基發(fā)展速度等于各環(huán)比發(fā)展速度的連乘積[例]

某商社營業(yè)額2008-2010年平均發(fā)展速度是1.06，2011-2012年的平均發(fā)展速度是1.05，2013年比2012年增長8％，計算2008—2013年該商社營業(yè)額的年平均發(fā)展速度與增長速度。

解：年平均發(fā)展速度：年平均增長速度：105.99%-1=5.99％[例]某煤礦2005年煤炭產(chǎn)量為25萬噸，（1）規(guī)定“十一五”期間每年平均增長4％，以后每年平均增長5%，到2015年煤炭產(chǎn)量是多少？（2）如果規(guī)定2015年煤炭產(chǎn)量是2000年的4倍，且

“十一五”期間每年平均增長5％，以后每年平均增長速度應為多少才能達到預定的產(chǎn)量？

（2）解：（1）%67.25=y[例]（2）1982年我國人口數(shù)為10.1億人，1990年我國人口數(shù)為11.3億人，這期間我國人口年平均增長速度是多少？如果按此速度發(fā)展，到2005年我國人口數(shù)將達到多少億？解：（1）[例]某工廠計劃工業(yè)總產(chǎn)值從2000年的400萬元發(fā)展到2020年的800萬元，計算:（1）工業(yè)總產(chǎn)值計劃平均每年遞增速度；（2）已知“十五”、“十一五”期間平均每年遞增5％，問以后應每年遞增多少才能達到預期水平？

（2）解：（1）

（2）方程式法（累計法）計算平均發(fā)展速度適用：當關(guān)注計劃各期累計水平時。例：某地區(qū)第十一個五年計劃期間基本建設(shè)投資額資料如下：按累計法計算平均速度。年份投資額（億元）2005107.24“十一五”合計734.92006117.612007134.312008157.432009155.172010170.38[解](1)計算：(2)查表：累計法查對表（間隔期：1–5年）平均每年增長（％）各年水平總和為基期的％1年2年3年4年5年…10.610.710.810.911.0……110.60110.70110.80110.90111.00……232.92233.24233.57233.89234.21……368.21368.90369.59370.28370.97……517.84519.07520.31521.54522.78……683.34685.32687.30689.29691.29…分析平均速度必須充分利用原始時間序列的其它信息進行補充平均速度的計算方法要根據(jù)研究目的和研究對象的性質(zhì)進行選擇幾何平均法適用于所有數(shù)列，方程式法只能用于時期數(shù)列幾何平均法計算平均速度應與實際各期的環(huán)比速度結(jié)合幾何平均法

側(cè)重考察現(xiàn)象在最后一期的發(fā)展水平,方程式法重于研究現(xiàn)象在整個時期的發(fā)展總量3、計算與應用平均速度應注意的問題一、對動態(tài)數(shù)列的影響因素4.4長期趨勢的測定與預測序列由于偶然性因素

的影響表現(xiàn)出的不規(guī)則變動。長期趨勢現(xiàn)象因某種本質(zhì)因素的作用在較長時期內(nèi)展現(xiàn)出的朝某個方向持續(xù)變化的趨勢季節(jié)變動由季節(jié)性因素

的影響，序列隨季節(jié)更替呈現(xiàn)的周期性波動。循環(huán)變動由系統(tǒng)內(nèi)部因素

引起的使序列呈現(xiàn)較長周期的榮衰更替的往復運動隨機變動僅適用于時期數(shù)列擴大的時距應考慮數(shù)列本身的特點擴大的時距應相同[例]見教材P155二、長期趨勢測定與預測的意義把握現(xiàn)象的趨勢變化從數(shù)量方面研究現(xiàn)象的發(fā)展規(guī)律，為預測作準備消除長期趨勢影響，更好的顯示和預測季節(jié)變動意義三、間隔（時距）擴大法：把時間數(shù)列中若干時期的數(shù)值合并成較長時期的數(shù)值，消除較小時期內(nèi)偶然因素的影響。采用逐項遞推移動方法，求一系列移動的序時平均數(shù)，形成新的序時平均動態(tài)數(shù)列，來代替原來的動態(tài)數(shù)列。在新的數(shù)列中，短期的偶然因素被消弱，反映出明顯的長期趨勢?！?7302522242620221815產(chǎn)量(件)10987654321日期----25.625.423.422.82220.2----5項移動平均------2625.324.3232321.518.8---4項移動平均----25.724.823.72322.320.1----4項移正平均四、移動平均法特點:

簡單移動平均法適用于線性且較為平穩(wěn)的趨勢測定，采用奇數(shù)項移動較為簡單。

移動平均項數(shù)N越大，修勻作用越強，對趨勢變化的反應越弱；包含周期變動的序列，移動平均項數(shù)N應等于周期長度或其倍數(shù)，可消除周期波動的影響；

移動平均處理后會損失數(shù)據(jù)；數(shù)學模型法就是根據(jù)時間數(shù)列發(fā)展形態(tài)的特點，選擇一種合適的數(shù)學方程式，進而以自變量x代表時間，y代表實際觀測值，然后依據(jù)此方程式來分析長期趨勢的方法?；舅枷耄豪脭?shù)學模型，對原有動態(tài)數(shù)列配合一條適當?shù)内厔菥€進行修勻。趨勢線應滿足為最小值。五、最小平方法（時序模型法）1、直線方程：（逐期增長量基本相同）令

yc＝a＋bttbyattnyttynb-=-×-×=?????22)(因為?（y－yc）2為最小值時，

?（y－yc）＝0所以?（y－yc）2＝?（y－a－bt）2令Q=?（y－a－bt）2,若使Q為最小值，則使a、b的偏導數(shù)為0，整理得：?y＝na＋b?t

?ty＝a?t＋b?t2

為簡化計算，可對t進行修正，使?t＝0，即此時，?y＝na

?ty＝b?t2

n為偶數(shù)：…-3、-2、-1、0、1、2、3…..n為奇數(shù)：…-7、-5、-3、-1、1、3、5、7….

年份時間代碼(t)銷售量y（噸)2007118820082346200935182010468520115856合計152593t2t·y1188469291554162740254280559454tyt×+=5.1671.161.102165.1671.166=+=y1.10216

×1671.166=+=y

年份時間代碼(t)銷售量y（噸)2007-21882008-1346200905182010168520112856合計02593t2t·y4-3761-34600168541712101675簡捷法計算：tyt×+=5.1676.5181.102135.1676.5186=×+=y總結(jié)：用數(shù)學模型法測定長期趨勢，關(guān)鍵在于兩個方面：1是要科學的選擇模型。首先要判斷趨勢的形態(tài)。方法有兩種：散點圖法指標法：即通過計算時間數(shù)列的動態(tài)分析指標來確定時間數(shù)列的類型，①若時間數(shù)列的環(huán)比增長量大體相等，則其趨勢線近似于一條直線；②若時間數(shù)列的二次增長量大體相等（即逐期增長量大體上呈等量遞增或遞減態(tài)勢），則其趨勢線近似于一條拋物線；③若時間數(shù)列的各期環(huán)比發(fā)展速度大體相等，則其趨勢線近似于一條指數(shù)曲線。取對數(shù)轉(zhuǎn)化為直線。2是確定模型中的參數(shù)。求解模型，實際上就是確定模型中的待定系數(shù)，即參數(shù)。從數(shù)學方法的角度看，最理想的方法就是“最小二乘法”。①根據(jù)各年月(季)的時間數(shù)列資料計算同月(季)的平均數(shù)②計算所有年份的總月(季)平均數(shù)③計算季節(jié)比率S.I.4.5季節(jié)變動的測定與預測一、按月(季)平均法某廠最近5年來圍巾銷售量資料如下：計算各季的季節(jié)比率。

單位：箱

季度年份一二三四合計第一年1808530224519第二年1968834248566第三年21510642262625第四年24012550288703第五年27415664312806某廠最近5年來圍巾銷售量資料如下：計算各季的季節(jié)比率。

單位：箱

季度年份一二三四合計第一年1808530224519第二年1968834248566第三年21510642262625第四年24012550288703第五年27415664312806合計110556022013343219季平均數(shù)22111244266.8160.95季節(jié)比率(%)13