導(dǎo)數(shù)壓軸題題型歸納

導(dǎo)數(shù)壓軸題題型歸納1.高考命題回顧例1已知函數(shù)f(x)＝ex－ln(x＋m)．（2013全國新課標(biāo)Ⅱ卷）(1)設(shè)x＝0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)m≤2時，證明f(x)>0.例2已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y＝4x+2（2013全國新課標(biāo)Ⅰ卷）（Ⅰ）求a，b，c，d的值（Ⅱ）若x≥－2時,，求k的取值范圍。例3已知函數(shù)滿足（2012全國新課標(biāo)）(1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間；(2)若，求的最大值。例4已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為。（2011全國新課標(biāo)）（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果當(dāng)，且時，，求的取值范圍。例5設(shè)函數(shù)（2010全國新課標(biāo)）(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)時，求的取值范圍例6已知函數(shù)f(x)＝(x3+3x2+ax+b)e－x.（2009寧夏、海南）(1)若a＝b＝－3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)單調(diào)增加,在(α,2),(β,+∞)單調(diào)減少,證明β－α＞6.2.在解題中常用的有關(guān)結(jié)論※(1)曲線在處的切線的斜率等于，且切線方程為。(2)若可導(dǎo)函數(shù)在處取得極值，則。反之，不成立。(3)對于可導(dǎo)函數(shù)，不等式的解集決定函數(shù)的遞增（減）區(qū)間。(4)函數(shù)在區(qū)間I上遞增（減）的充要條件是：恒成立（不恒為0）.(5)函數(shù)（非常量函數(shù)）在區(qū)間I上不單調(diào)等價(jià)于在區(qū)間I上有極值，則可等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間I上有實(shí)根且為非二重根。（若為二次函數(shù)且I=R，則有）。(6)在區(qū)間I上無極值等價(jià)于在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，則;若，恒成立，則(8)若，使得，則；若，使得，則.(9)設(shè)與的定義域的交集為D，若D恒成立，則有.(10)若對、，恒成立，則.若對，，使得,則.若對，，使得，則.（11）已知在區(qū)間上的值域?yàn)锳,，在區(qū)間上值域?yàn)锽，若對,，使得=成立，則。(12)若三次函數(shù)f(x)有三個零點(diǎn)，則方程有兩個不等實(shí)根，且極大值大于0，極小值小于0.(13)證題中常用的不等式:①②1xx1xx+③④⑤⑥3.題型歸納①導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、極值、最值的直接應(yīng)用""導(dǎo)數(shù)切線、定義、單調(diào)性、極值、最值、的直接應(yīng)用例7（構(gòu)造函數(shù)，最值定位）設(shè)函數(shù)(其中).(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)當(dāng)時,求函數(shù)在上的最大值.例8（分類討論，區(qū)間劃分）已知函數(shù),為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)為A,曲線y=f(x)在A點(diǎn)處的切線方程是,求的值;(2)若函數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.例9（切線）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）當(dāng)時，曲線在點(diǎn)處的切線為，與軸交于點(diǎn)求證：.例10（極值比較）已知函數(shù)其中⑴當(dāng)時，求曲線處的切線的斜率；⑵當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.例11（零點(diǎn)存在性定理應(yīng)用）已知函數(shù)⑴若函數(shù)φ(x)=f(x)－，求函數(shù)φ(x)的單調(diào)區(qū)間；⑵設(shè)直線l為函數(shù)f(x)的圖象上一點(diǎn)A(x0，f(x0))處的切線，證明：在區(qū)間(1,+∞)上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y=g(x)相切．例12（最值問題，兩邊分求）已知函數(shù).⑴當(dāng)時，討論的單調(diào)性；⑵設(shè)當(dāng)時，若對任意，存在，使，求實(shí)數(shù)取值范圍.例13（二階導(dǎo)轉(zhuǎn)換）已知函數(shù) ⑴若，求的極大值； ⑵若在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求滿足此條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍.例14（綜合技巧）設(shè)函數(shù)⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；⑵若有兩個極值點(diǎn)，記過點(diǎn)的直線斜率為,問：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.②交點(diǎn)與根的分布""交點(diǎn)與根的分布例15（切線交點(diǎn)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．⑴求函數(shù)的解析式；⑵若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值都有，求實(shí)數(shù)的最小值；⑶若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例16（根的個數(shù)）已知函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù).（I）求的最大值；（II）若上恒成立，求t的取值范圍；（Ⅲ）討論關(guān)于x的方程的根的個數(shù)．例17（綜合應(yīng)用）已知函數(shù)⑴求f(x)在[0,1]上的極值；⑵若對任意成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；⑶若關(guān)于x的方程在[0，1]上恰有兩個不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.③不等式證明""不等式證明例18(變形構(gòu)造法)已知函數(shù)，a為正常數(shù)．⑴若，且a，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；⑵在⑴中當(dāng)時，函數(shù)的圖象上任意不同的兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，記直線的斜率為，試證明：．⑶若，且對任意的，，都有，求a的取值范圍．例19(高次處理證明不等式、取對數(shù)技巧)已知函數(shù).（1）若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，若，求證例20（絕對值處理）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在處取得極大值．（I）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（II）若方程恰好有兩個不同的根，求的解析式；（III）對于（II）中的函數(shù)，對任意，求證：．例21（等價(jià)變形）已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個數(shù)；（Ⅱ）若函數(shù)在處取得極值，對,恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)且時，試比較的大?。?2（前后問聯(lián)系法證明不等式）已知，直線與函數(shù)的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1。（I）求直線的方程及m的值；（II）若，求函數(shù)的最大值。（III）當(dāng)時，求證：例23(整體把握，貫穿全題)已知函數(shù)．（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，求在上的最大值；（3）試證明：對任意，不等式都成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．例24(化簡為繁，統(tǒng)一變量)設(shè),函數(shù).（Ⅰ）若，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若無零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若有兩個相異零點(diǎn),求證:.例25（導(dǎo)數(shù)與常見不等式綜合）已知函數(shù)，其中為正常數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)在上的最大值；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足：，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對任意的，；（Ⅲ）證明：．例26（利用前幾問結(jié)論證明立體不等式）已知函數(shù)f(x)=ex-ax(e為自然對數(shù)的底數(shù)).(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)f(x)>x+x2a(III)設(shè),證明：+++…+<例27已知函數(shù).若函數(shù)滿足下列條件:①;②對一切實(shí)數(shù),不等式恒成立.(Ⅰ)求函數(shù)的表達(dá)式;(Ⅱ)若對,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(Ⅲ)求證:.例28（數(shù)學(xué)歸納法）已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值.（１）求實(shí)數(shù)的值；（２）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，且，則存在，使得.試用這個結(jié)論證明：若，函數(shù)，則對任意，都有；（３）已知正數(shù)，滿足，求證：當(dāng)，時，對任意大于，且互不相等的實(shí)數(shù)，都有.④HYPERLINK\l"四、不等式恒成立求字母范圍"恒成立、存在性問題求參數(shù)范圍例29（傳統(tǒng)討論參數(shù)取值范圍）已知函數(shù)，(為自然對數(shù)的底數(shù))（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）對任意的恒成立，求的最小值；（3）若對任意給定的，使得成立，求的取值范圍。例30已知函數(shù)（1）求證：函數(shù)上是增函數(shù).（2）若上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（3）若函數(shù)上的值域是，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.例31已知函數(shù).(1)若為的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值;(2)若在上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)當(dāng)時,方程有實(shí)根,求實(shí)數(shù)的最大值.例32（分離變量）已知函數(shù)(a為實(shí)常數(shù)).(1)若，求證：函數(shù)在(1,+∞)上是增函數(shù)；(2)求函數(shù)在[1,e]上的最小值及相應(yīng)的值；(3)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.例33（多變量問題，分離變量）已知函數(shù)，.（１）若函數(shù)依次在處取到極值．①求的取值范圍；②若，求的值．（２）若存在實(shí)數(shù)，使對任意的，不等式恒成立．求正整數(shù)的最大值．例34（分離變量綜合應(yīng)用）設(shè)函數(shù).⑴若函數(shù)在處與直線相切：①求實(shí)數(shù)的值；②求函數(shù)在上的最大值；⑵當(dāng)時，若不等式≥對所有的都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例35（先猜后證技巧）已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的定義域（Ⅱ）確定函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.（Ⅲ）若x>0時恒成立，求正整數(shù)k的最大值.例36（創(chuàng)新題型）設(shè)函數(shù)f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).(Ⅰ)若x=0是F(x)的極值點(diǎn),求a的值；(Ⅱ)當(dāng)a=1時,設(shè)P(x1,f(x1)),Q(x2,g(x2))(x1>0,x2>0),且PQ//x軸,求P、Q兩點(diǎn)間的最短距離；(Ⅲ)若x≥0時,函數(shù)y=F(x)的圖象恒在y=F(－x)的圖象上方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．例37（創(chuàng)新題型）已知函數(shù)=，.(Ⅰ)求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，對任意給定的，在區(qū)間上都存在兩個不同的，使得成立.若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由；（Ⅲ）給出如下定義：對于函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn)，如果對于函數(shù)圖象上的點(diǎn)（其中總能使得成立，則稱函數(shù)具備性質(zhì)“”，試判斷函數(shù)是不是具備性質(zhì)“”，并說明理由.例38(圖像分析，綜合應(yīng)用)已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設(shè)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍；（Ⅲ）方程有三個不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的范圍．⑤導(dǎo)數(shù)與數(shù)列例39（創(chuàng)新型問題）設(shè)函數(shù)，，是的一個極大值點(diǎn)．⑴若，求的取值范圍；⑵當(dāng)是給定的實(shí)常數(shù)，設(shè)是的3個極值點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)，可找到，使得的某種排列（其中=）依次成等差數(shù)列?若存在，求所有的及相應(yīng)的；若不存在，說明理由．例40（數(shù)列求和，導(dǎo)數(shù)結(jié)合）給定函數(shù)(1)試求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;(2)已知各項(xiàng)均為負(fù)的數(shù)列滿足,求證:;(3)設(shè),為數(shù)列的前項(xiàng)和,求證:.⑥導(dǎo)數(shù)與曲線新題型例41（形數(shù)轉(zhuǎn)換）已知函數(shù),.(1)若,函數(shù)在其定義域是增函數(shù),求b的取值范圍;(2)在(1)的結(jié)論下,設(shè)函數(shù)的最小值;(3)設(shè)函數(shù)的圖象C1與函數(shù)的圖象C2交于點(diǎn)P、Q,過線段PQ的中點(diǎn)R作軸的垂線分別交C1、C2于點(diǎn)、,問是否存在點(diǎn)R,使C1在處的切線與C2在處的切線平行?若存在,求出R的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.例42（全綜合應(yīng)用）已知函數(shù).(1)是否存在點(diǎn),使得函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M對稱的點(diǎn)Q也在函數(shù)的圖像上?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;(2)定義,其中,求;(3)在(2)的條件下,令,若不等式對且恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.⑦導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)綜合例43（換元替代，消除三角）設(shè)函數(shù)（），其中．（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時，求函數(shù)的極大值和極小值；（Ⅲ）當(dāng)，時，若不等式對任意的恒成立,求的值。例44（新題型，第7次晚課練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性(2)設(shè),求的取值范圍.⑧創(chuàng)新問題積累例