初中數(shù)學(xué)經(jīng)典難題(含答案)-2

天天教育內(nèi)部講義經(jīng)典難題〔一〕1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求證：CD＝GF．〔初二〕CEGA解析.如下列圖作GH⊥AB,連接EO。由于GOFE四點(diǎn)共圓，所以∠BDOFGFH＝∠OEG,EOGOCO,又CO=EO，所以CD=GF得證。GFGHCD即△GHF∽△OGE,可得==1、2、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，∠PAD＝∠PDA＝150．求證：△PBC是正三角形．〔初二〕ADPBC解析.如下列圖做△DGC使與△ADP全等，可得△PDG為等邊△，從而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150所以∠DCP=300，從而得出△PBC是正三角形天天教育內(nèi)部講義2、3、如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB、1CC1、DD1的中點(diǎn)．A2B2C2D2是正方形．〔初二〕AD求證：四邊形D2A2A1D1B1C1B2C2BC解析.如下列圖連接BC1和AB12F與A2E并延長(zhǎng)相交于Q點(diǎn)，并延長(zhǎng)交AQ于G點(diǎn)，連接EB2并延長(zhǎng)交CQ于H點(diǎn)，連接FB222由A2E=12A1B1=12B1C=FB2，EB=1212C1，又∠GFQ+∠Q=900和AB=BC=F12∠GEB+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，2可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=90和∠GFQ=∠EB2A2,0從而可得∠A2B2C2=900，同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。天天教育內(nèi)部講義3、4、已知：如圖，在四邊形求證：∠DEN＝∠F．ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線交MN于E、F．FENCDABM解析.如下列圖連接AC并取其中點(diǎn)Q，連接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，從而得出∠DEN＝∠F。4、天天教育內(nèi)部講義經(jīng)典難題〔二〕1、已知：△ABC中，H為垂心〔各邊高線的交點(diǎn)〕，O為外心，且OM⊥BC于M．〔1〕求證：AH＝2OM；A〔2〕假設(shè)∠BAC＝600，求證：AH＝AO．〔初二〕O·HEBCMD解析.(1)延長(zhǎng)AD到F連BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,從而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)連接OB，OC,既得∠BOC=1200，從而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得證。1、天天教育內(nèi)部講義2、設(shè)MN是圓O外一直線，過O作OA⊥MN于A，自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q．求證：AP＝AQ．〔初二〕GEO·CBDMNPAQ2、3、如果上題把直線設(shè)MN是圓O的弦，過MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE，設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q．求證：AP＝AQ．〔初二〕MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：ECPA·QMN·OBD解析.作OF⊥CD，OG⊥BE，連接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。ADABACCDAEBE2FD2BGFD，BG由于由此可得△ADF≌△ABG，從而可得∠AFC=∠AGE。又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得∠∠AOP=∠AOQ，從而可得AP=AQ。AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，天天教育內(nèi)部講義3、4、如圖，分別以△ABC的AC和BC為一邊，在△ABC的外側(cè)作正方形CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．ACDE和正方形D求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于AB的一半．〔初二〕GCEPFABQEGFH。2.過E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG，CI，F(xiàn)H?？傻肞Q=解析由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。從而可得PQ=AIBI2AB，從而得證。2=天天教育內(nèi)部講義4、經(jīng)典難題〔三〕1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．求證：CE＝CF．〔初二〕DA.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)解析△ADE，到△ABG，連接CG.FE由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350從而可得B，G，D在一條直線上，可得△AGB≌△CGB。推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC為等邊三角形?！螦GB=300，既得∠EAC=30，從而可得∠AEC=75。00BC又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可證：CE=CF。1、天天教育內(nèi)部講義2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長(zhǎng)線于F．求證：AE＝AF．〔初二〕ADFB解析.連接BD作CH⊥DE，可得四邊形由AC=CE=2GC=2CH，CGDH是正方形。CE可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，從而可知道∠F=150，從而得出AE=AF。2、天天教育內(nèi)部講義3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求證：PA＝PF．〔初二〕ADABPCE.作FG⊥CD，F(xiàn)E⊥BE，可以得出GFEC為正方形。解析令A(yù)B=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。XZtan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ，YYXZ即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得證。3、4、如圖，PC切圓O于C，AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D．求證：AB＝DC，BC＝AD．〔初三〕ABODPEFC4、天天教育內(nèi)部講義經(jīng)典難題〔四〕1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，求：∠APB的度數(shù)．〔初二〕PA＝3，PB＝4，PC＝5．APBC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABP600，連接PQ，則△PBQ是正三角形?！鱌QC是直角三角形。所以∠APB=1500。解析：可得1、AD2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且∠PBA＝∠PDA．求證：∠PAB＝∠PCB．〔初二〕PBC解析.作過P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)E，使AE∥DC，BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：AEBP共圓〔一邊所對(duì)兩角相等〕?？傻谩螧AP=∠BEP=∠BCP，得證。2、天天教育內(nèi)部講義3、Ptolemy〔托勒密〕定理：設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．〔初三〕ADBC.在BD取一點(diǎn)E，使解析∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：BEAD，即AD?BC=BE?AC，①=BCAC又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得ABDE，即ACDCAB?CD=DE?AC，②=由①+②可得:AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)=AC·BD，得證。3、4、平行四邊形AE與CF相交于P，且AE＝CF．求證：∠DPA＝∠DPC．〔初二〕ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，ADFPBCEADE=SABCD=SDFC，可得：解析.過D作AQ⊥AE，AG⊥CF，由S2AEPQAEPQ，由AE=FC。=22可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC〔角平分線逆定理〕。天天教育內(nèi)部講義4、證明：過D作DQ⊥AE，DG⊥CF,并連接DF和DE，如右圖所示1則S△ADE=SABCD△DFC=S2∴1AE﹒DQ=1DG﹒FC22又∵AE=FC,∴DQ=DG,∴PD為∠APC的角平分線，∴∠DPA=∠DPC經(jīng)典難題〔五〕1、設(shè)P是邊長(zhǎng)為1的正△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，l＝PA＋PB＋PC，求證：3≤L＜2．APBC.〔1〕順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△BPC600，可得△PBE為等邊三角形。解析既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，即如下列圖：可得最小L=；天天教育內(nèi)部講義〔2〕過P點(diǎn)作BC的平行線交AB,AC與點(diǎn)D，F(xiàn)。由于∠APD>∠ATP=∠ADP，推出AD>AP①又BP+DP>BP②和PF+FC>PC③又DF=AF④由①②③④可得：最大由〔1〕和〔2〕既得：L<2；≤L＜2。1、2、已知：P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PA＋PB＋PC的最小值．AD解析.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△BPC600，可得△PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，P即如下列圖：可得最小PA+PB+PC=AF。CB天天教育內(nèi)部講義既得AF=143423(1)2=23=22(31)222(31)2===62。22.3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的邊長(zhǎng)．ADPC解析.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABP900，可得如下列圖：B天天教育內(nèi)部講義既得正方形邊長(zhǎng)L=(22)22(2)2a=522a。24、如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分別是∠EBA＝200，求∠BED的度數(shù)．、ABAC上的點(diǎn)，∠DCA＝300，A.在AB上找一點(diǎn)F，使∠BCF=600，解析連接EF，DG，既得△BGC為等邊三角形，可得∠DCF=100,∠FCE=200,推出△ABE≌△ACF，得到BE=CF，F(xiàn)G=GE。ED推出：△FGE為等邊三角形，可得∠AFE=800，既得：∠DFG=400①又BD=BC=BG，既得∠BGD=800，既得∠DGF=400推得：DF=DG,得到：△DFE≌△DGE，②BC從而推得：∠