專題訓(xùn)練-二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)含答案

專題二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系一、考點(diǎn)掃描二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系如下：1、決定拋物線的開口方向：當(dāng)＞0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)＜0時(shí)，拋物線開口向下。2、決定拋物線的開口大?。涸酱螅瑒t開口越??；越小，則開口越大。3、、的符號決定拋物線的對稱軸：當(dāng)、同號時(shí)，對稱軸在軸的左側(cè)；當(dāng)、異號時(shí)，對稱軸在軸的右側(cè)。特別地，若拋物線的對稱軸是直線x＝1，則＝1，即b＝－2a；若拋物線的對稱軸是直線x＝－1，則＝－1，即b＝2a．4、是拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)：當(dāng)時(shí)，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；當(dāng)＞0時(shí)，拋物線與軸交于正半軸；當(dāng)＜0時(shí)，拋物線與軸交于負(fù)半軸。5、決定圖象與軸是否相交：當(dāng)＞0時(shí)，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)＜0時(shí)，拋物線與軸沒有交點(diǎn)。6、根據(jù)拋物線與x軸的位置關(guān)系可以確定b2－4ac的符號．因?yàn)楫?dāng)y＝0時(shí)ax2＋bx＋c＝0，所以拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)b2－4ac＞0；拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)b2－4ac＝0；拋物線與x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0沒有實(shí)數(shù)根，此時(shí)b2－4ac＜0．7、根據(jù)直線x＝1與拋物線交點(diǎn)的位置可以確定a＋b＋c的符號。交點(diǎn)在x軸上，a＋b＋c＝0；交點(diǎn)在第一象限a＋b＋c＞0；交點(diǎn)在第四象限a＋b＋c＜0．同樣根據(jù)直線x＝－1與拋物線交點(diǎn)的位置可以確定a－b＋c的符號（自己探索）．反過來，可以由系數(shù)a、b、c的符號可確定拋物線y＝ax2＋bx＋c的大致形狀．應(yīng)用上述關(guān)系，便能簡潔明快地根據(jù)、、的符號判斷拋物線的位置，或者根據(jù)拋物線的位置確定、、的符號。典題精析：xyO圖1例1（浙江省金華市中考題）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖1所示，則下列結(jié)論：①a＞0；②c＞0；③b2－4ac＞xyO圖1（A）0個(gè)（B）1個(gè)（C）2個(gè)（D）3個(gè)析解：由拋物線開口向下，得a＜0；由拋物線y軸的交點(diǎn)在正半軸上，得c＞0；由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，得b2－4ac＞0．正確的結(jié)論有2個(gè)，故應(yīng)選C．例2（浙江省中考題）如圖2，二次函數(shù)的圖象開口向上，圖象經(jīng)過點(diǎn)（－1，2）和（1，0），且與y軸交于負(fù)半軸。（1）給出四個(gè)結(jié)論：①，②，③，④。其中正確結(jié)論的序號是_______。（2）給出四個(gè)結(jié)論：①，②，③，④。其中正確結(jié)論的序號是_________。（只需選答一題）圖7析解：（1）由拋物線開口向上，可知＞0，由對稱軸在軸的右側(cè)可知、異號，所以＜0，由拋物線與軸交于負(fù)半軸，可知＜0，由當(dāng)時(shí)，＝0，知＝0，所以①④正確；圖7（2）由（1）知＞0，＜0，＜0，所以＞0，由對稱軸＜，可知＞0，當(dāng)時(shí)，＝0，當(dāng)時(shí)，＝2，兩式相加得，所以，由③和＜0可知＞1，所以②③④正確。二、考點(diǎn)訓(xùn)練1、（天津市）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤，（的實(shí)數(shù)）其中正確的結(jié)論有（）BA.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)2、（南充）如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點(diǎn)A（－3，0），對稱軸為x＝－1．給出四個(gè)結(jié)論：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正確結(jié)論是（）．B

（A）②④ （B）①④ （C）②③ （D）①③3、（廣州市）二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）BA．0B．1C．2D．34、（云南雙柏縣）在同一坐標(biāo)系中一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象可能為（）AOOxyOxyOxyOxyABCD5、（四川資陽）已知二次函數(shù)(a≠0)的圖象開口向上，并經(jīng)過點(diǎn)(-1，2)，(1，0).下列結(jié)論正確的是()DA.當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大B.當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小C.存在一個(gè)負(fù)數(shù)x0，使得當(dāng)x<x0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減?。划?dāng)x>x0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大D.存在一個(gè)正數(shù)x0，使得當(dāng)x<x0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小；當(dāng)x>x0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大6、（山東日照）已知二次函數(shù)y=x2-x+a(a＞0)，當(dāng)自變量x取m時(shí)，其相應(yīng)的函數(shù)值小于0，那么下列結(jié)論中正確的是（）B(A)m-1的函數(shù)值小于0

(B)m-1的函數(shù)值大于0

(C)m-1的函數(shù)值等于0

(D)m-1的函數(shù)值與0的大小關(guān)系不確定圖8圖81、（湖北孝感）二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象如圖8所示，且P=|a－b＋c|＋|2a＋b|，Q=|a＋b＋c|＋|2a－則P、Q的大小關(guān)系為.P<QOyx圖92、（四川成都）如圖9所示的拋物線是二次函數(shù)的圖象，那么的值是Oyx圖9xyO第4題（第3題）3、（江西?。┮阎魏瘮?shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于的一元二次方程的解為．xyO第4題（第3題），；4、（廣西南寧）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)在第象限．三拋物線對稱性的應(yīng)用1、二次函數(shù)與軸的兩交點(diǎn)為（-2，0），（1，0），則對稱軸為2、已知拋物線y=ax2+bx+c的部分圖象如圖，則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是3、已知拋物線的部分圖象（如圖所示），圖象再次與軸相交時(shí)的坐標(biāo)是4、蘭州市“安居工程”新建成的一批樓房都是8層高，房子的價(jià)格y（元/平方米）隨樓層數(shù)x（樓）的變化而變化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知點(diǎn)（x，y）都在一個(gè)二次函數(shù)的圖像上（如圖所示），則6樓房子的價(jià)格為元/平方米．5、二次函數(shù)的對稱軸為6、二次函數(shù)的對稱軸為7、初三數(shù)學(xué)課本上，用“描點(diǎn)法”畫2次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時(shí)，列了如下表格：X……-2-1012……y……--4-2-2-……根據(jù)表格上的信息回答：對稱軸為頂點(diǎn)坐標(biāo)為開口方向二次函數(shù)y=ax2+bx+c在x=3時(shí)，y=，x=4時(shí)，y=.綜合練習(xí)：一、填空：1、（蕪湖課改）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象過正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，則的值是．答案：2、（濱州非課改）已知拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，且線段，則的值為．答案：3、（濱州非課改）已知二次函數(shù)不經(jīng)過第一象限，且與軸相交于不同的兩點(diǎn)，請寫出一個(gè)滿足上述條件的二次函數(shù)解析式．答案：答案不唯一二、解答題：4、（荊州課改）已知關(guān)于的函數(shù)：中滿足．（1）求證：此函數(shù)圖象與軸總有交點(diǎn)．（2）當(dāng)關(guān)于的方程有增根時(shí)，求上述函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．答案：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)為，圖象與軸有交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)拋物線與軸有交點(diǎn)．因此，時(shí)，關(guān)于的函數(shù)的圖象與軸總有交點(diǎn)．（2）關(guān)于的方程去分母得：，．由于原分式方程有增根，其根必為．這時(shí)（6分）這時(shí)函數(shù)為．它與軸的交點(diǎn)是和6、（安徽課改）拋物線與軸交于點(diǎn)．（1）求出的值并畫出這條拋物線；（2）求它與軸的交點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）取什么值時(shí)，拋物線在軸上方？（4）取什么值時(shí)，的值隨值的增大而減小？【解】答案：解：（1）由拋物線與軸交于，得：．拋物線為．圖象略．（2）由，得．拋物線與軸的交點(diǎn)為．，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（3）由圖象可知：當(dāng)時(shí)，拋物線在軸上方．（4）由圖象可知：當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減?。?、（棗莊非課改）已知關(guān)于的二次函數(shù)與，這兩個(gè)二次函數(shù)的圖象中的一條與軸交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)．（1）試判斷哪個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)；（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為，試求點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，對于經(jīng)過，兩點(diǎn)的二次函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，的值隨值的增大而減??？答案：解：（1）對于關(guān)于的二次函數(shù)，由于，所以此函數(shù)的圖象與軸沒有交點(diǎn)．對于關(guān)于的二次函數(shù)，由于，所以此函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．故圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)的二次函數(shù)為．（2）將代入，得．整理，得．解之，得，或．當(dāng)時(shí)，．令，得．解這個(gè)方程，得，．此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．當(dāng)時(shí)，．令，得．解這個(gè)方程，得，．此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．（3）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)為，此函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨的增大而減?。?dāng)時(shí)，二次函數(shù)為，此函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨的增大而減?。?、（北京非課改）已知：關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和，關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和，且．當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．解：答案：解：關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和，解得且．①關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和，．．即，．，．解得．由根與系數(shù)的關(guān)系得，．，．整理，得．由二次函數(shù)的圖象可得當(dāng)時(shí)，．②由①，②得的取值范圍是且．9、(煙臺(tái)非課改)已知拋物線過點(diǎn)，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，此拋物線與軸分別交于，兩點(diǎn)，且．（1）求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若是軸上一點(diǎn)，且為等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．答案：解：（1）設(shè)所求拋物線為．即．點(diǎn)在拋物線上，．=1\*GB3①是方程的兩實(shí)根，．又，．=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②得．所求拋物線解析式為，即．頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）由（1）知．又，故為等腰直角三角形，如圖．由等腰知，為腰或?yàn)榈祝?1\*GB3①當(dāng)為腰時(shí)，又在軸上，則只能有，顯然點(diǎn)為或（這時(shí)共線，舍去）．點(diǎn)只能取．=2\*GB3②當(dāng)為底時(shí)，設(shè)拋物線對稱軸與軸交于點(diǎn)，因?yàn)榈妊苯侨切?，則線段的垂直平分線過點(diǎn)，設(shè)交軸于點(diǎn)．故．．點(diǎn)坐標(biāo)為．綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．10、(鎮(zhèn)江課改)在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，點(diǎn)在這個(gè)二次函數(shù)圖象的對稱軸上．若四邊形是一個(gè)邊長為2且有一