第十七屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小中組A卷）

第1頁（共1頁）第十七屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小中組A卷）一、填空題（每小題10分，共80分）1．（10分）若將一個(gè)邊長為8厘米的正方形蓋在一個(gè)三角形上，則兩個(gè)圖形重疊部分的面積占三角形面積的一半，占正方形面積的四分之三．那么這個(gè)三角形的面積是平方厘米．2．（10分）如圖是兩個(gè)兩位數(shù)的減法豎式，其中A，B，C，D代表不同的數(shù)字．當(dāng)被減數(shù)取最大值時(shí)，A×B+（C+E）×（D+F）＝．3．（10分）某水池有A，B兩個(gè)水龍頭．如果A，B同時(shí)打開需要30分鐘可將水池注滿．現(xiàn)在A和B同時(shí)打開10分鐘，即將A關(guān)閉，由B繼續(xù)注水40分鐘，也可將水池注滿．如果單獨(dú)打開B龍頭注水，需要分鐘才可將水池注滿．4．（10分）將六個(gè)數(shù)1，3，5，7，9，11分別填入如圖中的圓圈內(nèi)（每個(gè)圓圈內(nèi)僅填一個(gè)數(shù)），使每邊上三個(gè)數(shù)的和都等于17，則三角形點(diǎn)三個(gè)頂點(diǎn)處的圓圈內(nèi)所填三數(shù)之和為．5．（10分）四年級一班用班費(fèi)購買單價(jià)分別為3元、2元、1元的甲、乙、丙三種文具．已知購買乙種文具的件數(shù)比購買甲種文具的件數(shù)少2件，且購買甲種文具的費(fèi)用不超過總費(fèi)用的一半．若購買的三種文具恰好共用了66元，那么甲種文具最多購買了件．6．（10分）如圖所示，一只螞蟻從正方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿正方棱爬到頂點(diǎn)B，要求行走的路線最短，那么螞蟻有種不同的走法．7．（10分）一個(gè)車隊(duì)以4米/秒的速度緩慢通過一座長298米的大橋，共用115秒，已知每輛車長6米，相臨兩車間隔20米，則這個(gè)車隊(duì)一共有輛車．8．（10分）有一個(gè)長方形，如果它的長和寬同時(shí)增加6厘米，則面積增加了114平方厘米，則這個(gè)長方形的周長等于厘米．二、簡答題（每題15分，共60分，要求寫出簡要過程）9．（15分）撲克牌的點(diǎn)數(shù)如圖所示，最大時(shí)13，最小是1．現(xiàn)小明手里有3張點(diǎn)數(shù)不同的撲克牌，第一張和第二張撲克牌點(diǎn)數(shù)和是25，第二張和第三張撲克牌點(diǎn)數(shù)和是13，問：第三張撲克牌的點(diǎn)數(shù)是多少？10．（15分）如圖是一個(gè)凈化水裝置，水流方向從A先流向B，再流到C．原來容器A﹣B之間有10個(gè)流量相同的管道，B﹣C之間也有10個(gè)流量相同的管道．現(xiàn)調(diào)換了A﹣B與B﹣C之間的一個(gè)管道后，流量每小時(shí)增加了40立方米．問：通過調(diào)整管道布局，從A到C的流量最大可增加多少立方米？11．（15分）如圖中的一個(gè)長方形紙板每個(gè)角都被切掉了一個(gè)小長方形（含正方形），如果被切掉的小長方形的8對對邊的長度分別是一個(gè)1，四個(gè)2，兩個(gè)3和一個(gè)4，那么紙板剩下的部分的面積最大是多少？12．（15分）有20張卡片，每張上寫一個(gè)大于0的自然數(shù)，且任意9張上寫的自然數(shù)的和都不大于63．如果寫有大于7的自然數(shù)的卡片為“龍卡”，問：這20張卡片中“龍卡”最大有多少張？所有“龍卡”上寫的自然數(shù)的和的最大值是多少？

第十七屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（小中組A卷）參考答案與試題解析一、填空題（每小題10分，共80分）1．（10分）若將一個(gè)邊長為8厘米的正方形蓋在一個(gè)三角形上，則兩個(gè)圖形重疊部分的面積占三角形面積的一半，占正方形面積的四分之三．那么這個(gè)三角形的面積是96平方厘米．【分析】根據(jù)正方形的面積公式S＝a×a求出正方形的面積，再根據(jù)“占正方形面積的三分之二，”求出兩個(gè)圖形重疊部分的面積，進(jìn)而求出三角形面積．【解答】解：8×8×÷，＝48×2，＝96（平方厘米），答：這個(gè)三角形的面積是96平方厘米；故答案為：96．2．（10分）如圖是兩個(gè)兩位數(shù)的減法豎式，其中A，B，C，D代表不同的數(shù)字．當(dāng)被減數(shù)取最大值時(shí)，A×B+（C+E）×（D+F）＝144．【分析】根據(jù)題干分析可得，A，B，C，D代表不同的數(shù)字．當(dāng)被減數(shù)取最大值可以是98，則此題屬于不借位減法，則F+D＝B＝8，C+E＝A＝9，據(jù)此即可解答問題．【解答】解：A，B，C，D代表不同的數(shù)字．當(dāng)被減數(shù)取最大值可以是98，所以C、D都是小于8的數(shù)，則F+D＝B＝8，C+E＝A＝9，所以A×B+（C+E）×（D+F）＝9×8+9×8＝72+72＝144，故答案為：144．3．（10分）某水池有A，B兩個(gè)水龍頭．如果A，B同時(shí)打開需要30分鐘可將水池注滿．現(xiàn)在A和B同時(shí)打開10分鐘，即將A關(guān)閉，由B繼續(xù)注水40分鐘，也可將水池注滿．如果單獨(dú)打開B龍頭注水，需要60分鐘才可將水池注滿．【分析】我們把水池的容量看作單位“1”，先求出B水管的工作效率，然后用單位“1”除以B的工作效率就是單獨(dú)打開B龍頭注水，需要的時(shí)間．【解答】解：1÷[（1﹣）÷40]，＝1÷，＝60（分鐘）；答：單獨(dú)打開B龍頭注水，需要60分鐘才可將水池注滿．故答案為：60．4．（10分）將六個(gè)數(shù)1，3，5，7，9，11分別填入如圖中的圓圈內(nèi)（每個(gè)圓圈內(nèi)僅填一個(gè)數(shù)），使每邊上三個(gè)數(shù)的和都等于17，則三角形點(diǎn)三個(gè)頂點(diǎn)處的圓圈內(nèi)所填三數(shù)之和為15．【分析】根據(jù)題意，設(shè)三角形點(diǎn)三個(gè)頂點(diǎn)處的圓圈內(nèi)所填三數(shù)分別是A、B、C；每個(gè)邊上的數(shù)加起來就是1+3+5+7+9+11+A+B+C＝17×3，然后再進(jìn)一步解答即可．【解答】解：設(shè)三角形點(diǎn)三個(gè)頂點(diǎn)處的圓圈內(nèi)所填三數(shù)分別是A、B、C；由題意可得：1+3+5+7+9+11+A+B+C＝17×3，36+A+B+C＝51，A+B+C＝15．1+3+11＝15，3+5+7＝15，1+5+9＝15；又因?yàn)椋?+9+7＝17，9+3+5＝17，1+11+5＝17；所以，三角形點(diǎn)三個(gè)頂點(diǎn)處的圓圈內(nèi)所填三數(shù)分別是1、9、5；那么，1與9中間的數(shù)是7，9與5之間的數(shù)是3，1與5中間的數(shù)是11；由以上可得：所以，三角形點(diǎn)三個(gè)頂點(diǎn)處的圓圈內(nèi)所填三數(shù)之和為15．故答案為：15．5．（10分）四年級一班用班費(fèi)購買單價(jià)分別為3元、2元、1元的甲、乙、丙三種文具．已知購買乙種文具的件數(shù)比購買甲種文具的件數(shù)少2件，且購買甲種文具的費(fèi)用不超過總費(fèi)用的一半．若購買的三種文具恰好共用了66元，那么甲種文具最多購買了11件．【分析】設(shè)購買甲文具為x元，則乙為（x﹣2）元，由于甲、乙、丙三種文具恰好用了66元錢，則買甲、乙兩種文具的錢≤66，再根據(jù)購買甲文具的費(fèi)用不超過總費(fèi)用的一半，列不等式解答．【解答】9解：設(shè)買甲種文具數(shù)量為x，丙種文具數(shù)量為y，則乙種文具數(shù)量為（x﹣2），則3x+2（x﹣2）+y＝66，即y＝70﹣5x，又3x≤，解得x≤11，所以甲文具最多購買11件，答：甲種文具最多購買了11件．故答案為：11．6．（10分）如圖所示，一只螞蟻從正方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿正方棱爬到頂點(diǎn)B，要求行走的路線最短，那么螞蟻有6種不同的走法．【分析】本題可以這樣想：因?yàn)锳點(diǎn)是相鄰的三個(gè)正方形的面的交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)面各有一條最短路線，這樣有3種選擇，接下來再從其中一個(gè)面到B個(gè)面又有相鄰的兩個(gè)面可供選擇，所以根據(jù)乘法原理，可得共有：3×2＝6種不同的走法；據(jù)此解答．【解答】解：根據(jù)分析可得，共有：3×2＝6（種），答：螞蟻有6種不同的走法．故答案為：6．7．（10分）一個(gè)車隊(duì)以4米/秒的速度緩慢通過一座長298米的大橋，共用115秒，已知每輛車長6米，相臨兩車間隔20米，則這個(gè)車隊(duì)一共有7輛車．【分析】車隊(duì)過橋所經(jīng)過的路程是車隊(duì)長加橋長，車隊(duì)長：115×4﹣298＝162（米），車的間隔數(shù)是：（162﹣6）÷（20+6）＝6個(gè)，則這個(gè)車隊(duì)一共有：6+1＝7輛車；據(jù)此解答．【解答】解：根據(jù)分析可得，車隊(duì)長：115×4﹣298＝162（米），車的間隔數(shù)是：（162﹣6）÷（20+6）＝6（個(gè)），車一共有：6+1＝7（輛）；答：這個(gè)車隊(duì)一共有7輛．故答案為：7．8．（10分）有一個(gè)長方形，如果它的長和寬同時(shí)增加6厘米，則面積增加了114平方厘米，則這個(gè)長方形的周長等于26厘米．【分析】如下圖：由于原來長方形的長×6+原來長方形的寬×6+6×6＝114平方厘米，根據(jù)乘法分配律可求原來長方形的長+寬，從而求得原來長方形的周長．【解答】解：（114﹣6×6）÷6×2，＝（114﹣36）÷6×2，＝78÷6×2，＝13×2，＝26（厘米），答：這個(gè)長方形的周長是26厘米．故答案為：26．二、簡答題（每題15分，共60分，要求寫出簡要過程）9．（15分）撲克牌的點(diǎn)數(shù)如圖所示，最大時(shí)13，最小是1．現(xiàn)小明手里有3張點(diǎn)數(shù)不同的撲克牌，第一張和第二張撲克牌點(diǎn)數(shù)和是25，第二張和第三張撲克牌點(diǎn)數(shù)和是13，問：第三張撲克牌的點(diǎn)數(shù)是多少？【分析】由于最大時(shí)13，最小是1，又第一張和第二張撲克牌點(diǎn)數(shù)和是25，25＝13+12，即第一張與第二張點(diǎn)數(shù)一定分別是12或13．又第二張和第三張撲克牌點(diǎn)數(shù)和是13，由于最小是1，則第二張一定是13﹣1＝12，則第三張是1．【解答】解：由于最大時(shí)13，最小是1，25＝13+12，即第一張與第二張點(diǎn)數(shù)一定分別是12或13．又第二張和第三張撲克牌點(diǎn)數(shù)和是13，所以第二張一定是13﹣1＝12，則第三張是1．10．（15分）如圖是一個(gè)凈化水裝置，水流方向從A先流向B，再流到C．原來容器A﹣B之間有10個(gè)流量相同的管道，B﹣C之間也有10個(gè)流量相同的管道．現(xiàn)調(diào)換了A﹣B與B﹣C之間的一個(gè)管道后，流量每小時(shí)增加了40立方米．問：通過調(diào)整管道布局，從A到C的流量最大可增加多少立方米？【分析】由于調(diào)換了A﹣B與B﹣C之間的一個(gè)管道后，流量每小時(shí)增加了40立方米可得：A﹣B和B﹣C之間的管道不一樣，應(yīng)該是其中的一組管道比另一組管道流量大，且調(diào)換一個(gè)管道流量每小時(shí)就增加40立方米，因?yàn)榱髁枯^大的一組共有10個(gè)管道，那么調(diào)換5組管道應(yīng)該是增加流量最大，據(jù)此依據(jù)最大增加流量＝調(diào)換管道數(shù)×一組管道增加流量即可解答．【解答】解：40×（10÷2），＝40×5，＝200（立方米），答：通過調(diào)整管道布局，從A到C的流量最大可增加200立方米．11．（15分）如圖中的一個(gè)長方形紙板每個(gè)角都被切掉了一個(gè)小長方形（含正方形），如果被切掉的小長方形的8對對邊的長度分別是一個(gè)1，四個(gè)2，兩個(gè)3和一個(gè)4，那么紙板剩下的部分的面積最大是多少？【分析】原來長方形紙板的面積是：12×11＝132，為定值，要使紙板剩下的部分的面積最大，則必須使切掉的四個(gè)小長方形的面積之和最小，顯然應(yīng)該用1和4配對，然后用兩個(gè)2和兩個(gè)3分別配對，最后是兩個(gè)2配對，被切掉的4個(gè)小長方形的面積分別是：4、6、6、4，這時(shí)切掉的四個(gè)小長方形的面積之和最小，于是即可求出紙板剩下的最大面積．【解答】解：據(jù)分析可知：切掉的四個(gè)小長方形的面積分別為：1×4＝4，2×2＝4，2×3＝6，2×3＝6，原來紙板的面積：12×11＝132，切掉的四個(gè)小長方形的面積之和：4+4+6+6＝20，紙板剩下的最大面積：132﹣20＝112；答：紙板剩下的部分的面積最大112．12．（15分）有20張卡片，每張上寫一個(gè)大于0的自然數(shù)，且任意9張上寫的自然數(shù)的和都不大于63．如果寫有大于7的自然數(shù)的卡片為“龍卡”，問：這20張卡片中“龍卡”最大有多少張？所有“龍卡”上寫的自然數(shù)的和的最大值是多少？【分析】由于“龍卡”上寫的數(shù)最小是8，8×8＝64＞63，所以8張，所以最多有7張；設(shè)7張“龍卡”上寫的自然數(shù)的和是S，如果再去兩張小于8的卡片，就組成9張，當(dāng)這兩張的和最小時(shí)，S的值最大，又因?yàn)槊繌埳蠈懸粋€(gè)大于0的自然數(shù)，最小是1，所以當(dāng)這兩張都是1時(shí)，它們的和最小，即是2，又因?yàn)槿我?張上寫的自然數(shù)的和都不大于63，即最大為63，所以S的值最大是：63﹣2＝61；據(jù)