第十五屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)小學(xué)組邀請賽決賽試卷A

第1頁（共1頁）第十五屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷A（小學(xué)組）一、填空題（每小題10分，共80分）1．（10分）10個盒子中放乒乓球，每個盒子中球的個數(shù)不能少于11，不能是13，也不能是5的倍數(shù)，且彼此都不相同，至少要個乒乓球．2．（10分）有五種價格分別為2元、5元、8元、11元、14元的禮品以及五種價格分別為1元、3元、5元、7元、9元的包裝盒．一個禮品配一個包裝盒，共有種不同價格．3．（10分）汽車A從甲站出發(fā)開往乙站，同時汽車B、C從乙站出發(fā)與A相向而行開往甲站，途中A與B相遇20分鐘后再與C相遇．已知A、B、C的速度分別是每小時90km，80km，60km，那么甲乙兩站的路程是km．4．（10分）將，，，，，和這6個分?jǐn)?shù)的平均值從小到大排列，則這個平均值排在第位．5．（10分）將一個數(shù)的各位數(shù)字相加得到新的一個數(shù)稱為一次操作，經(jīng)連續(xù)若干次這樣的操作后可以變?yōu)?的數(shù)稱為“好數(shù)”，那么不超過2012的“好數(shù)”的個數(shù)為，這些“好數(shù)”的最大公約數(shù)是．6．（10分）如圖所示的立體圖形由9個棱長為1的立方塊搭成，這個立體圖形的表面積為．7．（10分）數(shù)字卡片“3”，“4”，“5”各10張，任意選出8張使它們的數(shù)字和是33，則最多有張是卡片“3”．8．（10分）若將算式的值化為小數(shù)，則小數(shù)點后第1個數(shù)字是．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9．（10分）如圖中有5個由4個1×1的小正方格組成的不同形狀的硬紙板．問能用這5個硬紙板拼成右圖中4×5的長方形嗎？如果能，請畫出一種拼法；如果不能，請簡述理由．10．（10分）長度為L的一條木棍，分別用紅、藍(lán)、黑線將它等分為8，12和18段，在各劃分線處將木棍鋸開，問一共可以得到多少段？其中最短的一段的長是多少？11．（10分）足球隊A，B，C，D，E進(jìn)行單循環(huán)賽（每兩隊賽一場），每場比賽勝隊得3分，負(fù)隊得0分，平局兩隊各得1分．若A，B，C，D隊總分分別是1，4，7，8，請問：E隊至多得幾分？至少得幾分？12．（10分）華羅庚爺爺出生于1910年11月12日．將這些數(shù)字排成一個整數(shù)，并且分解成19101112＝1163×16424，請問這兩個數(shù)1163和16424中有質(zhì)數(shù)嗎？并說明理由．三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）13．（15分）如圖中，六邊形ABCDEF的面積是2010平方厘米．已知△ABC，△BCD，△CDE，△DEF，△EFA，△FAB的面積都等于335平方厘米，6個陰影三角形面積之和為670平方厘米．求六邊形A1B1C1D1E1F1的面積．14．（15分）已知兩位自然數(shù)“虎威”能被它的數(shù)字之積整除，求出“虎威”代表的兩位數(shù)．

第十五屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷A（小學(xué)組）參考答案與試題解析一、填空題（每小題10分，共80分）1．（10分）10個盒子中放乒乓球，每個盒子中球的個數(shù)不能少于11，不能是13，也不能是5的倍數(shù)，且彼此都不相同，至少要173個乒乓球．【分析】不少于11，則盒中至少11個乒乓球，不能是13，也不能是5的倍數(shù)，則這10個盒子中的乒乓球，按最少的方法放，個數(shù)分別為11、12、14、16、17、18、19、21、22、23；所以至少需要多少個，把這十個數(shù)相加即可．【解答】解：11+12+14+16+17+18+19+21+22+23＝173（個）；答：至少要173個乒乓球；故答案為：173．2．（10分）有五種價格分別為2元、5元、8元、11元、14元的禮品以及五種價格分別為1元、3元、5元、7元、9元的包裝盒．一個禮品配一個包裝盒，共有19種不同價格．【分析】根據(jù)已知的價格用“列表方法”解答即可．【解答】解：共有25﹣6＝19（種）包裝盒價格禮品盒價格1357923579115681012148911131517111214161820141517192123故答案為：19．3．（10分）汽車A從甲站出發(fā)開往乙站，同時汽車B、C從乙站出發(fā)與A相向而行開往甲站，途中A與B相遇20分鐘后再與C相遇．已知A、B、C的速度分別是每小時90km，80km，60km，那么甲乙兩站的路程是425km．【分析】根據(jù)題意，途中A與B相遇20分鐘后再與C相遇，由此可以求出A與C20分鐘（小時）共行：（90+60）×＝50千米，這50千米即是A與B相遇過程中，在相同時間內(nèi)，B比C多行的路程，顯然A與B相遇時間等于50÷（80﹣60）＝2.5小時，然后根據(jù)速度和×相遇時間＝兩地之間的路程，列式解答．【解答】解：20分鐘＝小時，A與C20分鐘相遇，共行（90+60）×＝50（千米），這50千米即是A與B相遇過程中，在相同時間內(nèi)，B比C多行的路程，顯然A與B相遇時間等于50÷（80﹣60）＝2.5（小時）．所以，A與B相遇甲乙兩站的路程為（90+80）×2.5＝425（千米）．答：甲乙兩站的路程是425千米．故答案為：425．4．（10分）將，，，，，和這6個分?jǐn)?shù)的平均值從小到大排列，則這個平均值排在第5位．【分析】先求出這6個分?jǐn)?shù)的平均值，然后通過排列，得出結(jié)果．【解答】解：（+++++）÷6＝[（++）+（++）]÷6＝[1+]÷6≈1.593÷6＝0.2655；＜＜＜＜0.2655＜＜．所以這個平均數(shù)從小到大排列在第5位．故答案為：55．（10分）將一個數(shù)的各位數(shù)字相加得到新的一個數(shù)稱為一次操作，經(jīng)連續(xù)若干次這樣的操作后可以變?yōu)?的數(shù)稱為“好數(shù)”，那么不超過2012的“好數(shù)”的個數(shù)為223，這些“好數(shù)”的最大公約數(shù)是3．【分析】題意中的好數(shù)實際是指小于或等于2012中除以9余6的數(shù)有多少個，即數(shù)列6、15、24、33、42、51….1005、2004，求出（2014﹣6）里面有幾個9，再加上1，就是所有的好數(shù)；6和15的最大公約數(shù)就是這組數(shù)列的最大公約數(shù)．【解答】解：（2014﹣6）÷9+1＝1998÷9+1＝222+1＝223（個）；6和15的最大公約數(shù)3，所以所有好數(shù)的最大公約數(shù)為3．答：不超過2012的“好數(shù)”的個數(shù)為223，這些“好數(shù)”的最大公約數(shù)是3．故答案為：223，3．6．（10分）如圖所示的立體圖形由9個棱長為1的立方塊搭成，這個立體圖形的表面積為32．【分析】該立體圖形的表面積＝上面的表面積+下面的表面積+正面的表面積+后面的表面積+兩個側(cè)面的表面積．【解答】解：從上面和下面看到的面積為2×5×（1×1）＝10，從正面和后面看面積為2×5×（1×1）＝10，從兩個側(cè)后面看面積為2×6×（1×1）＝12，故這個幾何體的表面積為10+10+12＝32．故答案為：32．7．（10分）數(shù)字卡片“3”，“4”，“5”各10張，任意選出8張使它們的數(shù)字和是33，則最多有3張是卡片“3”．【分析】此題要求最多有幾張是卡片“3”，可用假設(shè)法分情況探討，分以下幾種情況：①8張卡片全是3，②7張卡片是3，③6張卡片是3，…，直到符合要求為止．【解答】解：若8張卡片全是3，則8×3＝24＜33，不符合要求，若有7張卡片是3，則7×3＝21，剩下1張為33﹣21＝12，不可能，若有6張卡片是3，則6×3＝18，剩下的2張和為33﹣18＝15，15÷2＞5，不可能，若有5張卡片是3，則5×3＝15，剩下的3張和為33﹣15＝18，18÷3＝6＞5，不可能，若有4張卡片是3，則4×3＝12，剩下的4張和為33﹣12＝21，21÷4＞5，不可能，若有3張卡片是3，則3×3＝9，剩下的5張和為33﹣9＝24＝5+5+5+5+4，即取4張5，1張4，綜上，最多有3張卡片是3．故答案為：3．8．（10分）若將算式的值化為小數(shù)，則小數(shù)點后第1個數(shù)字是4．【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)數(shù)列運算符號的加減周期性，將分?jǐn)?shù)數(shù)列分組求近似值，進(jìn)行估算．【解答】解：≈0.41≈0.01548≈0.00≈0.00133≈0.00063…推理后面每兩個分?jǐn)?shù)之差更接近0，而且是有限個求和，所以小數(shù)點后第一位為4．故答案為：4．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）9．（10分）如圖中有5個由4個1×1的小正方格組成的不同形狀的硬紙板．問能用這5個硬紙板拼成右圖中4×5的長方形嗎？如果能，請畫出一種拼法；如果不能，請簡述理由．【分析】先將4×5的長方形黑白間隔染色，然后再將5個由4個1×1的小正方格黑白間隔染色，然后結(jié)合奇偶性判斷即可．【解答】解：將五塊紙板編號，如圖2，除紙板④之外，其余4張硬紙板每一張都蓋住2個黑格，而④蓋住了3個或1個黑格，因此，由4個1×1的小正方格組成的不同形狀的5個硬紙板，只能蓋住9或11個黑格，與10個黑格不符．所以顯然不能用左邊5個硬紙板拼成右邊的4×5的長方形．10．（10分）長度為L的一條木棍，分別用紅、藍(lán)、黑線將它等分為8，12和18段，在各劃分線處將木棍鋸開，問一共可以得到多少段？其中最短的一段的長是多少？【分析】要滿足條件，L一定是8，12和18的倍數(shù)，所以先求出三個數(shù)的公倍數(shù)，和兩兩的公倍數(shù)，從而得出重疊的段數(shù)，然后在根據(jù)容斥原理解答即可．【解答】解：假設(shè)L＝[8，12，18]＝72的K倍，即L＝72K．那么：紅線將木棍等分8等份（9個分點），每份長度9K；藍(lán)線將木棍等分12等份（13個分點），每份長度6K；黑線將木棍等分18等份（19個分點），每份長度4K；又知：[9K，6K]＝18K，重疊4段；[6K，4K]＝12K，重疊6段；[9K，4K]＝36K，重疊2段；[9K，6K，4K]＝36K，重疊2段．由容斥原理二得：一共分割的段數(shù)為：（8+12+18）﹣4﹣6﹣2+2＝28（段）；或總點數(shù)為：（9+13+19）﹣5﹣7﹣3+3＝29（分點），所以共有28段．那么，最短段為紅線與黑線的距離：L÷72＝．11．（10分）足球隊A，B，C，D，E進(jìn)行單循環(huán)賽（每兩隊賽一場），每場比賽勝隊得3分，負(fù)隊得0分，平局兩隊各得1分．若A，B，C，D隊總分分別是1，4，7，8，請問：E隊至多得幾分？至少得幾分？【分析】5只足球隊單循環(huán)比賽共賽4+3+2+1＝10場．從計分標(biāo)準(zhǔn)看，有勝負(fù)的場次得3分，平局的場次共得2分，題意中的問題是E隊最多得分和最少得分，顯然和整個比賽中平局的次數(shù)有關(guān)，平局越少，E隊得分會越高；平局越多，E隊得分會越低．假設(shè)全是3分，10場共計30分，每平局總分倒減1分．由A、B、C、D的得分不難分析．【解答】解：由題意得：A＝1＝1+0+0+0B＝4＝3+1+0+0＝1+1+1+1C＝7＝3+3+1+0D＝8＝3+3+1+1從得分看至少3局平局，全部比賽總分30﹣3＝27（分），E隊得分最多為27﹣1﹣4﹣7﹣8＝7（分）．從得分看最多5場平局，全部比賽總分30﹣5＝25（分），E隊得分最少為25﹣1﹣4﹣7﹣8＝5（分）．答：E隊至多得7分，至少得5分．12．（10分）華羅庚爺爺出生于1910年11月12日．將這些數(shù)字排成一個整數(shù)，并且分解成19101112＝1163×16424，請問這兩個數(shù)1163和16424中有質(zhì)數(shù)嗎？并說明理由．【分析】根據(jù)合數(shù)的概念，很容易判斷出16424是合數(shù)，然后再判斷1163是否是質(zhì)數(shù)，方法見解答．【解答】解：16424是合數(shù)，原因是16424的約數(shù)不止兩個，除了有1和本身外，還有2、4…等等．1163是質(zhì)數(shù)，判斷方法是：352＝1225，342＝1156，最接近1163，所以用小于34的所有質(zhì)數(shù)2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31去除1163都除不盡，所以可以判斷1163是質(zhì)數(shù)．三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）13．（15分）如圖中，六邊形ABCDEF的面積是2010平方厘米．已知△ABC，△BCD，△CDE，△DEF，△EFA，△FAB的面積都等于335平方厘米，6個陰影三角形面積之和為670平方厘米．求六邊形A1B1C1D1E1F1的面積．【分析】六邊形A1B1C1D1E1F1的面積＝六邊形ABCDEF的面積﹣兩個六邊形中間夾圈部分的面積，由此求解．【解答】解：根據(jù)容斥原理：兩個六邊形中間夾圈部分的面積＝（335×6+670）÷2＝2680÷2＝1340所以：六邊形A1B1C1D1E1F1的面積＝2010﹣1340＝670答：六邊形A1B1C1D1E1F1的面積是670．14．（15分）已知兩位自然數(shù)“虎威”能被它的數(shù)字之積整除，求出“虎威”代表的兩位數(shù)．【分析】由題目知，兩位數(shù)虎威要滿足：兩位自然數(shù)“虎威”能被它的數(shù)字之積整除，有了這兩個限制條件，依次進(jìn)行試驗即可得出結(jié)論．【解答】解：令虎為X、威為Y，則：題意為：10X+Y＝X×Y×K（K為整數(shù)）①Y＝1（K﹣10）X＝1